Sistemi di controllo – Nyquist Plots

I grafici di Nyquist sono la continuazione dei grafici polari per trovare la stabilità dei sistemi di controllo a circuito chiuso variando ω da – ∞ a ∞. Ciò significa che i grafici Nyquist vengono utilizzati per disegnare la risposta in frequenza completa della funzione di trasferimento ad anello aperto.

Criterio di stabilità Nyquist

Il criterio di stabilità Nyquist funziona sul principio dell’argomento. Afferma che se ci sono poli P e zeri sono racchiusi dal percorso chiuso del piano “s”, allora il corrispondente piano corresponding G(s)H(s) must deve circondare l’origine times P − Z times volte. Quindi, possiamo scrivere il numero di accerchiamenti N come,

N N = P-Z$$

• Se il percorso chiuso del piano ” s “chiuso contiene solo poli, la direzione dell’accerchiamento nel piano G G(s)H(s) will sarà opposta alla direzione del percorso chiuso chiuso nel piano “s”.

• Se il percorso chiuso del piano ” s “chiuso contiene solo zeri, la direzione dell’accerchiamento nel piano G G(s)H(s) will sarà nella stessa direzione di quella del percorso chiuso chiuso nel piano “s”.

Applichiamo ora il principio dell’argomento all’intera metà destra del piano ” s ” selezionandolo come un percorso chiuso. Questo percorso selezionato è chiamato contorno Nyquist.

Sappiamo che il sistema di controllo ad anello chiuso è stabile se tutti i poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso si trovano nella metà sinistra del piano “s”. Quindi, i poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso non sono altro che le radici dell’equazione caratteristica. All’aumentare dell’ordine dell’equazione caratteristica, è difficile trovare le radici. Quindi, correliamo queste radici dell’equazione caratteristica come segue.

• I Poli dell’equazione caratteristica sono uguali a quelli dei poli della funzione di trasferimento ad anello aperto.

• Gli zeri dell’equazione caratteristica sono uguali a quelli dei poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso.

Sappiamo che il sistema di controllo ad anello aperto è stabile se non vi è alcun polo ad anello aperto nella metà destra del piano “s”.

cioè, P P=0 \Rightarrow N=-Z

Sappiamo che il sistema di controllo ad anello chiuso è stabile se non c’è un polo ad anello chiuso nella metà destra del piano “s”.

cioè, Z Z=0 \Rightarrow N=P

Il criterio di stabilità di Nyquist afferma che il numero di accerchiamenti sul punto critico (1+j0) deve essere uguale ai poli dell’equazione caratteristica, che non è altro che i poli della funzione di trasferimento ad anello aperto nella metà destra del piano “s”. Lo spostamento in origine a (1+j0) dà il piano di equazione caratteristica.

Regole per disegnare grafici Nyquist

Seguire queste regole per tracciare i grafici Nyquist.

• Individuare i poli e gli zeri della funzione di trasferimento ad anello aperto-G(s)H (s) – nel piano “s”.

• Disegna la trama polare variando omega \ omega from da zero a infinito. Se il polo o lo zero sono presenti a s = 0, quindi variando $ \ omega from da 0 + a infinito per disegnare la trama polare.

• Disegna l’immagine speculare del diagramma polare sopra per valori di omega\omega ranging che vanno da −∞ a zero (0− se qualsiasi polo o zero presente a s=0).

• Il numero di semicerchi a raggio infinito sarà uguale al numero di poli o zeri all’origine. Il semicerchio a raggio infinito inizierà nel punto in cui termina l’immagine speculare della trama polare. E questo semicerchio a raggio infinito terminerà nel punto in cui inizia la trama polare.

Dopo aver disegnato la trama di Nyquist, possiamo trovare la stabilità del sistema di controllo ad anello chiuso utilizzando il criterio di stabilità di Nyquist. Se il punto critico (-1+j0) si trova al di fuori dell’accerchiamento, il sistema di controllo ad anello chiuso è assolutamente stabile.

Analisi di stabilità utilizzando i grafici Nyquist

Dai grafici Nyquist, possiamo identificare se il sistema di controllo è stabile, marginalmente stabile o instabile in base ai valori di questi parametri.

• Gain cross over frequency e phase cross over frequency
• Gain margin and phase margin

Phase Cross over Frequency

La frequenza alla quale il grafico di Nyquist interseca l’asse reale negativo (l’angolo di fase è 1800) è nota come phase cross over frequency. È indicato con om \ omega_ {pc}$.

Gain Cross over Frequency

La frequenza alla quale il grafico di Nyquist ha la grandezza di uno è nota come gain cross over frequency. È indicato con om \ omega_{gc}$.

La stabilità del sistema di controllo basata sulla relazione tra frequenza di cross over di fase e frequenza di cross over di guadagno è elencata di seguito.

• Se la frequenza di cross over di fase $ \ omega_ {pc} is è maggiore della frequenza di cross over di guadagno \ \ omega_ {gc}$, il sistema di controllo è stabile.

• Se la frequenza di cross over di fase $ \ omega_ {pc} is è uguale alla frequenza di cross over di guadagno frequency \ omega_ {gc}$, allora il sistema di controllo è marginalmente stabile.

• Se la frequenza di cross over di fase $ \ omega_ {pc} is è inferiore alla frequenza di cross over di guadagno frequency \ omega_ {gc}$, il sistema di controllo è instabile.

Margine di guadagno

Il margine di guadagno GM GM is è uguale al reciproco della grandezza del grafico di Nyquist alla frequenza di cross over di fase.

GM GM = \frac {1} {M_{pc}}$$

Dove, M M_ {pc} is è la grandezza in scala normale alla frequenza di cross over di fase.

Margine di fase

Il margine di fase PM PM PM è uguale alla somma di 1800 e l’angolo di fase al guadagno cross over frequenza.

PM PM=180^0+\phi_{gc}

Dove, Where\phi_{gc} is è l’angolo di fase alla frequenza di cross over del guadagno.

La stabilità del sistema di controllo basata sulla relazione tra il margine di guadagno e il margine di fase è elencata di seguito.

• Se il margine di guadagno GM GM GM è maggiore di uno e il margine di fase PM PM is è positivo, il sistema di controllo è stabile.

• Se il margine di guadagno GM GM GM è uguale a uno e il margine di fase PM PM degrees è zero gradi, allora il sistema di controllo è marginalmente stabile.

• Se il margine di guadagno GM GM is è inferiore a uno e / o il margine di fase PM PM is è negativo, il sistema di controllo è instabile.