Teorema di punto fisso
Teorema di punto fisso, uno qualsiasi dei vari teoremi in matematica che si occupano di una trasformazione dei punti di un insieme in punti dello stesso insieme in cui si può dimostrare che almeno un punto rimane fisso. Ad esempio, se ogni numero reale è quadrato, i numeri zero e uno rimangono fissi; mentre la trasformazione per cui ogni numero è aumentato di uno non lascia alcun numero fisso. Il primo esempio, la trasformazione consistente nella quadratura di ciascun numero, quando applicata all’intervallo aperto di numeri maggiori di zero e minori di uno (0,1), non ha punti fissi. Tuttavia, la situazione cambia per l’intervallo chiuso, con gli endpoint inclusi. Una trasformazione continua è quella in cui i punti vicini vengono trasformati in altri punti vicini. (Vedi continuità.) Il teorema del punto fisso di Brouwer afferma che qualsiasi trasformazione continua di un disco chiuso (incluso il limite) in se stesso lascia almeno un punto fisso. Il teorema vale anche per le trasformazioni continue dei punti su un intervallo chiuso, in una palla chiusa o in insiemi astratti di dimensioni superiori analoghi alla palla.
I teoremi a punto fisso sono molto utili per scoprire se un’equazione ha una soluzione. Ad esempio, nelle equazioni differenziali, una trasformazione chiamata operatore differenziale trasforma una funzione in un’altra. Trovare una soluzione di un’equazione differenziale può quindi essere interpretato come trovare una funzione invariata da una trasformazione correlata. Considerando queste funzioni come punti e definendo una raccolta di funzioni analoghe alla precedente raccolta di punti che comprende un disco, teoremi analoghi al teorema del punto fisso di Brouwer possono essere dimostrati per le equazioni differenziali. Il teorema più famoso di questo tipo è il teorema di Leray-Schauder, pubblicato nel 1934 dal francese Jean Leray e dal polacco Julius Schauder. Se questo metodo produce o meno una soluzione (cioè se è possibile trovare o meno un punto fisso) dipende dalla natura esatta dell’operatore differenziale e dalla raccolta di funzioni da cui si cerca una soluzione.