制御システム-ナイキストプロット

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ナイキストプロットは、ωを−πからπに変化させることによって閉ループ制御系の安定性を求めるための極座標プロットの続きです。つまり、ナイキストプロットは、開ループ伝達関数の完全な周波数応答を描画するために使用されます。

ナイキスト安定性基準

ナイキスト安定性基準は、引数の原則に基づいて動作します。 P極があり、Z零点が’s’平面の閉経路で囲まれている場合、対応するG G（s）H（s）plane平面は原点P P−Z times回を囲む必要があると述べています。したがって、包囲の数Nを次のように書くことができます。

≤n=P-Z$$

囲まれた’s’平面の閉じたパスに極のみが含まれている場合、plane G（s）H（s）plane平面の包囲の方向は、’s’平面の囲まれた閉じたパスの方向とは反対になります。
囲まれた’s’平面の閉じたパスにゼロのみが含まれている場合、$G（s）H（s）plane平面の包囲の方向は、’s’平面の囲まれた閉じたパスの方向と同じ方向になります。

ここで、引数の原理を閉じたパスとして選択することによって、’s’平面の右半分全体に適用しましょう。この選択されたパスはナイキスト輪郭と呼ばれます。

閉ループ伝達関数のすべての極が’s’平面の左半分にある場合、閉ループ制御システムは安定であることがわかります。したがって、閉ループ伝達関数の極は特性方程式の根に過ぎません。特性方程式の次数が増加するにつれて、根を見つけることは困難です。それでは、特性方程式のこれらの根を次のように相関させましょう。

「s」平面の右半分に開ループ極がない場合、開ループ制御システムは安定していることがわかります。つまり、P P=0\Rightarrow N=-Z.

‘s’平面の右半分に閉ループ極がない場合、閉ループ制御システムは安定していることがわかります。

、Ny Z=0\Rightarrow N=P.

ナイキスト安定性基準は、臨界点（1+j0）についての包囲の数は特性方程式の極に等しくなければならないと述べています。原点を(1+j0)にシフトすると、特性方程式平面が得られます。

ナイキストプロットを描画するためのルールに従います。

開ループ伝達関数G G（s）H（s）planeの極と零点を’s’平面に配置します。
omega\omega.をゼロから無限大に変えて極座標プロットを描きます。極またはゼロがs=0に存在する場合、極座標プロットを描画するために0\omega.を0+から無限大に変更します。
上記の極座標プロットの鏡像を、−∞からゼロ（0−s=0に存在する極またはゼロの場合）の範囲のomega\omega$の値を描画します。
無限の半径の半円の数は、原点での極または零点の数に等しくなります。無限の半径の半円は、極座標プロットの鏡像が終了する点から始まります。そして、この無限の半径の半円は、極座標プロットが始まる点で終わります。

ナイキストプロットを描画した後、ナイキスト安定性基準を使用して閉ループ制御システムの安定性を見つけることができます。臨界点（-1+j0）が包囲の外側にある場合、閉ループ制御システムは絶対に安定しています。

ナイキストプロットから、これらのパラメータの値に基づいて制御システムが安定か、わずかに安定か、または不安定かを特定することができます。

ナイキスト-プロットが負の実軸(位相角は1800)と交差する周波数を位相-クロス-オーバー周波数という。それはom omega_{pc}.で表されます。

ナイキストプロットの振幅が1の周波数は、ゲイン交差周波数として知られています。それはom omega_{gc}.で表されます。

位相交差周波数とゲイン交差周波数の関係に基づく制御システムの安定性を以下に示します。

ゲイン余裕GM GM GMは、位相交差周波数におけるナイキストプロットの大きさの逆数に等しくなります。

gm gm=\frac{1}{m_{pc}}$$

ここで、phase M_{pc}.は位相交差周波数での通常のスケールの大きさです。

位相余裕≤PM≤は、ゲイン交差周波数における位相角と1800の和に等しくなります。Pm pm=180^0+\phi_{gc}

ここで、gain phi_{gc}frequencyはゲイン交差周波数での位相角です。

ゲイン余裕と位相余裕の関係に基づく制御系の安定性を以下に示します。