固有値、固有ベクトル、および固有分解

まず、行列が非可逆であることとその行列式がゼロであることを知っておく必要があります。 ですから、価値を$\lambda$が$\eqref{eq:detAlI}$、$A-\lambda I$は非可逆(単数). そのような場合、get\eqref{eq：AlI}byの両側にinverse（a-\lambda I）by{-1}inverseを左乗算することはできません（逆数がないため）:$$\mathbf{v}=0のとき、$$るというのはいかかでしょうかその場合には、解決のための$\eqref{eq:Avlv}$から$\mathbf{v}=0$と$\lambda$が固有値の$A$.例

のは、行列の固有分解を見てみましょう：matrix EQREF{eq：detali}fromからleft A=\左from：d DET\左（\左\右) = 0$$$$(1-\ラムダ）（3-\ラムダ）=0directly我々は直接get lambda_1=1.とlamb lambda_2=3.を取得します。 上記の式は、通常、行列の特性多項式または特性方程式と呼ばれます。
Plug\lambda_1$をPlug\eqref{eq：Avlv}Avに差し込むと、次のようになります:v\left\left=1\left weからv v_{11}=-2v_{12}.が得られます。 それは、他のベクトル$\mathbf{v_1}=$が$v_{11}=-2v_{12}$はの情報を容易に入手することが期待$A$と固有値1.
差し込む$\lambda_2$入$\eqref{eq:Avlv}$のになります:$$\left\left=3\left$$した$v_{21}=0$と$v_{22}\in\mathbb{R}$. それは、他のベクトル$\mathbf{v_2}=$が$v_{21}=0$での情報を容易に入手することが期待$A$と固有値3.

なぜeigendecompositionは便利ですか？

前の例を参照すると、固有ベクトルと固有値の両方を単一の行列方程式に結合することができます:$”$A\left=\left\left=\left\left=\left\left$$まだまだ現役として活躍してい:$$\Lambda=\left$$$$V=\left$$ることも事実である:$$AV=V\Lambda$$$$\begin{式}A=V\Lambda V^{-1}\label{eq:AVLV}\end{式}$$Eigendecomposition分解行列$A$を入増倍のマトリクスのeigenvectors$V$、対角行列の固有値$\Lambda$. これは、行列が対角化可能である場合にのみ行うことができます。 実際の定義はdiagonalizable行列$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$を持たせることができる点にありeigendecomposed入$n$eigenvectorsう$V^{-1}AV=\Lambda$.

マトリクスの逆とeigendecomposition

から$\eqref{eq:AVLV}$:$$A^{-1}=V\Lambda^{-1}V^{-1}$$の逆数$\Lambda$が、逆の対角要素の固有値).

電力のマトリックスeigendecomposition

から$\eqref{eq:AVLV}$:$$A^2=V\Lambda V^{-1}V\Lambda V^{-1}=V\Lambda^{2}V^{-1}$$$$A^n=V\Lambda^n V^{-1}$$力の$\Lambda$がでの電力の対角要素となります。 これはAの乗算よりもはるかに簡単になります。

物件のeigendecomposition

• $det(A)=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i$(行列式のと同等の製品の固有値)
• $tr(A)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i$(traceのはお客様の送料のご負担を軽減固有値)
• の固有値の$A^{-1}$は$\lambda_i^{-1}$
• の固有値の$A^{n}$は$\lambda_i^{n}$
• 一般的には、固有値の$f(A)$は$f(\lambda_i)$
• のeigenvectorsの$A^{-1}$の場合と同じeigenvectorsの$A$.
• A A$がエルミート（その共役転置がそれ自身と等しい）でフルランク（すべての行または列が線形独立）の場合、固有ベクトルは相互に直交し（任意の2つの固有ベクトル間の内積はゼロである）、固有値は実数である。
• eigen A.は、すべての固有値がゼロと異なる場合は可逆であり、その逆も同様です。
• 行列A A$の固有値が異なる（繰り返されない）場合、Aは固有分解することができます。

どのようにeigendecompositionを計算するには？

特性多項式を計算し、それを固有値に関して解くことは、行列のサイズが大きくなるにつれて実用的ではありません。 実際には、反復アルゴリズムは行列を固有化するために使用されます。

Power iteration

Power iterationは、最も高い固有値とそれに関連する固有ベクトルを計算する反復法です。 唯一の最高値/ベクトルが発見されたので、限られた使用として、この方法。

まず、支配的な固有ベクトルまたはランダムベクトルの推測であるベクトルb b_0.から始めます。 次に、次の式を繰り返します。b b_{k+1}=\frac{A B_k}{\left\vert A B_k\right\vert}。$ $各反復で、ベクトルは行列a A.で左乗算され、正規化され、支配的な固有ベクトルに収束します。 この方法は、次の場合にのみ機能します:

• $A λは、他のすべての固有値より大きいか等しい固有値を持ちます。
• ベクトルb b_0dominantは、支配的な固有ベクトルの方向にゼロ以外の成分を持っています（つまり、それらの内積はゼロとは異なります)

私たちの例の行列A A andと初期ベクトルを使用して：最初のステップのためのb B_0=\左left:$$b_1=\frac{\left\left}{\left\ヴェール\left\left\right\Vert}=\frac{\left}{5}=\left$$次の手順で、再利用の$b$と$$b_2=\left、b_3=\left、b_4=\left、b_5=\left$$と$$\左\ヴェール、b_5\right\ヴェール=2.99$$場合はリコール 最高の固有値の$A$3とその情報を容易に入手することが期待が$\mathbf{v}=$,が$v_{21}=0$と$v_{22}$で、その値とします。

QRアルゴリズム

QRアルゴリズムは、qr分解を反復的に使用してeigendecompositionを作成します。 リコールのQR分解分解行列$A$を入れ直交行列$Q$び上三角行列$R$と$A=QR$.