微積分
このトピックでは、三角関数の積とべき乗を含む特定の組み合わせをどのように統合するかを研究します。
\(8\)の場合を考えます。異なる引数を持つ正弦と余弦の積の積分を評価するために、次の恒等式を適用します。\({\large\int\normalsize}{{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}\)
ここで、べき乗\(m\)と\(n\)は負でない整数であると仮定します。\(n\)は負ではない整数であると仮定します。\(n\)は負ではない整数であると仮定します。\(n\)は負ではない整数であると仮定します。\(n\)は負ではない整数であると仮定します。\(n\)は負ではない整数であると仮定します。\(n\)は負ではない整数であると仮定します。\(n\)は負ではない整数であると仮定します。
この形式の積分を見つけるには、次の置換を使用します:\(\Int{{{\sin}n n}xdx}\)と\(\int{{{\cos}n n}xdx}\)の積分は、還元式で評価することができます
\
\
三角恒等式\(1+{\tan^2}x={\sec^2}x\)と還元式を使用して被積分関数のべき乗を減らすことができます。\({\large\int\normalsize}{{\tan^n}xdx}\)の形の積分は、次のようになります。\(\large\int\normalsize}{{\tan^n}xdx}\)
\
積分は、三角恒等式\(1+{\cot^n}x={\csc^n}x\)を使用して被積分関数のべき乗を減らすことができます。\(\large\int\normalsize}{{{\cot}n n}xdx}\)の形の積分は、次のようになります。\(\large\int\normalsize}{{{\cot}n n}xdx}\)
還元式
\
\(\large\int\normalsize}{{\sec^n}xdx}\)
このタイプの積分は、還元式の助けを借りて単純化することができます:
\
{\large\int\normalsize}{{\csc^n}xdx}\)
という形式の積分は、前の例と同様に、このタイプの積分は次の式で単純化できます
\
the\int_{\tan^m}x\、{\sec^n}xdx}\）の形式の積分
\（{\large\int_{\cot^m}x\、{\csc^n}xdx}\）の形式の積分
\（{\large\int_{\cot^m}x\、{\csc^n}xdx\）の形式の積分
\（{\large\int_{\cot^m}x\、{\csc^n}xdx\）の形式の積分
} \)
解決済みの問題
問題をクリックまたはタップして解決策を確認します。
例1.
積分\({\large\int\normalsize}{{\sin^3}xdx}を計算します。\)
\(U=\cos x,\)\(du=-\sin xdx\)とします。次に、
例2。
積分\({\large\int\normalsize}{{\cos^5}xdx}を評価します。\)
\(U=\sin x,\)\(du=\cos xdx\)を代入し、恒等式\({\cos^2}x=1-{\sin^2}x,\)を使用すると、
が得られます例3。
積分\({\large\int\normalsize}{{\sin^6}xdx}を見つけます。\)
{\Sin^2}x={\large\frac{{1–\cos2x}}{2}\normalsize}\)と\({\cos^2}x={\large\frac{{1+\cos2x}}{2}\normalsize},\)を使用して、次のように書くことができます。
後者の式で積分を計算します。
\
積分\({\large\int\normalsize}{{\cos^3}2xdx},\)を見つけるために、置換\(u=\sin2x,\)\(du=\)\(2\cos2xdx.したがって、初期積分は
例4です。The int{{{\sin}x2}x\,{{{\cos}x3}x}dx}Findのような積分を見つけます。\)
余弦のべき乗は奇数なので、置換を行います
\
積分を\(\sin x\)で書き直すと、次のようになります。:
例5.
計算を一体\({\多\int\normalsize}{{{\sin}^2}x\,{{\cos}^4}xdx}.\)
:
\
次の恒等式を使用して被積分関数を変換します
\
これにより、
例6が生成されます。Integral\int{{{\sin}x3}x\、{{\cos}4 4}xdx}を評価します。\)
正弦のべき乗が奇数であるため、置換を使用します
\
積分は次のように書かれています
\
ピタゴラスの恒等式によって,
\
したがって、
例7。Integral\int{{{\sin}x3}x\、{{\cos}5 5}xdx}を評価します。\)
したがって、\(u=\sin x\)または\(u=\cos x\)のいずれかを代入することができます。\)最小の指数を選択すると、次のようになります
\
積分は次の形式をとります
\
ピタゴラス恒等式の使用,
\
例8と書くことができます。Integral\int{{{\sin}x3}x\、{{\cos}3 3}xdx}を評価します。\)
\
ピタゴラスの恒等式によって,
\
従って私達は得ます