私が何年もの微積分を教えてから学んだこと1年生の学生に

私が何年もの微積分を教えてから学んだこと1年生の学生に

私が何年もの微積分を教えてから学んだこと

AMTNJカンファレンス

数学を軌道に乗せる：高校数学と大学数学のギャップを埋める

January14,2005

ブルックデールコミュニティカレッジ

ジョセフ-G- ローゼンシュタイン(ラトガース-ニューブランズウィック州)

なぜそんなに多くの初年度の学生が困難を抱えているのですか彼らはよく準備されているように見えるときの計算？

私が最後に最初の学期の微積分を教えたとき、クラスの41％の61人の学生がC以上の成績で終わった。

ここにいくつかのより多くのデータがあります。 クラスの学生の82％は高校で1学期以上の微積分を持っていました、そして73％は高校で1年以上の微積分を持っていました。 （35％もAP微積分の年を持っていました。）で、これは大学の微積分学のためによく準備されているグループです。

悪いニュースは、データをまとめると、少なくとも23％の学生が高校で微積分コースを受講していたが、微積分コースでCよりも優れたことができなかったこと

なぜ高校で実質的な数学のコースを取ったが、微積分で失敗している学生がこんなに多いのですか？

この短いトークでは、内容、プロセス、個人的な問題の三種類について、約15分で議論し、議論のためのフロアを開きます。

“コンテンツ”の下で、主な問題は、学生が微積分の概念を理解していないということではなく、算術と代数の機能を持っていないということです。

ある学生は、ある特定の問題が彼が”強烈な代数”と呼ぶものに関与していることを観察しました–それによって、彼はasingle問題で計算を行うために多くの代数学の知識を持っていたことを意味していました。 これは、例えば、学生が定義から関数f（x）=1/（x+3）の導関数を見つける必要があるときに起こります–つまり、透明度のように、hがゼロになるにつれて、差商の極限を見つける必要があります。 彼らが取る必要がある手順について考えてみてくださいこの問題を解決する。 それらはする必要があります：

正しい式を書くf(x+h)与えられたequationfor f(x);

分子内の2つの分数を単一に結合しますfraction;

項の和と差を結合します;

分子に分数がある分数をそうでない分数に変換します。

分子と分母の共通因子を見つけて適切にキャンセルします。

制限を取り、結果を適切な形で表現します。

それぞれのステップを個別に実行できるだけでなく、デリバティブを見つけることに関わる”全体像”を見て、各ステップで何をする必要があるかを

しかし、それらの多くはまだ中学年以来存在しているエラーを作っています–例えば、不適切な用語の違反をキャンセルします。

このような質問は中間と最終のexamに与えられており、彼らはすべてこれが彼らが行うことが期待されていることを知っていますが、彼らの多くは

私たちがNCTM規格について話すとき、私たちはしばしばプロセス規格がコンテンツ規格に取って代わったかのように行動します。 それはケースではありません。 私たちは、推論と問題解決に焦点を当てたいのですが、私たちはまた、私たちの学生が数学的演算と適切な能力を持っていることを望んでいます。

どのような施設が”適切”なのでしょうか？ それは学生に依存します。 彼らは算術と代数とhavedifficulty場合、大学で微積分のseveralsemestersを取って終了しようとしている人は間違いなく不利になっています。

一方、計算を続けそうにない人は、強い代数を必要としません。 しかし、特定の学生がそのカテゴリーにあることを仮定すると、自己達成の預言として終わる可能性があります。

代数スキルの余談。 多くの人々は、それがスキルに焦点を当てているので、Ourreformの努力で、基準と整合していない理由でラトガースのplacementテストを批判しています。 しかし、私はそれが前計算と微積分の成功の可能性の良い尺度であり、私たちがそれを導入して以来、過去20年にわたってそうであったことをあなたに それは前提条件の設備がtheprerequisitesの設備がこれらのコースの成功のために必要であるので前提条件の技術のmeasureststudentsの設備…。

私はあなたと私の個人的な経験を共有します。 数年前、私の娘の一人が得点しましたちょうど前計算のためのカットオフの下に。 私は少し影響力があるので、私は彼女が困難を抱えていた場合、彼女はagood家庭教師へのアクセスを持っていたと推論し、彼女のinprecalculusを登録することができま それは正しかった…しかし、それはまた間違いだった–私は多くの家庭教師をやってしまった。 彼女は準備ができていませんでしたprecalculus。

それが余談の終わりです。

今、明確化が必要です。 代数学の機能が微積分学の成功に不可欠であると言うとき、代数的操作のための規則を学ぶだけではありません。 また、数学の基礎となる数学を理解することも意味している。 学生がエラーを作るとき、彼らはしばしば数学を誤解した結果であり、私たちは皆、それらのエラーにつながった間違ったアイデアを暴くために多くの時間を費やす必要があり、学生がより正確なmathematicalunderstandingsに置き換えるのを助けます。 それは、クラスや学生と個別に議論することを意味し、宿題やテストに正しいことをマークするだけではありません。

代数の機能はまた、aproblemの適切な次のステップを把握するために自分の精神的な数学的経験に描画することができることを意味します–それは私が上で自分の進捗状況を監視することと呼んだものです…次に何をすべきかを知ることです。

それは”問題を処理する”ことに私たちをもたらします。

私たちは皆、私たちが学んだことを区分化する傾向があります–部分的には、新しい情報に線形的に遭遇し、その場所を保存する必要があるためです。 しかし、それは非常に重要です学習は接続されています。 トピック間の接続を作成するために教師として行うことができます何か,全体像に学生を集中するために,非常に重要です.

異なる概念をリンクする例や宿題の問題を与えることは、定期的な累積試験を与えているように重要です。 それ以外の場合は、生徒は今週のクイズのために必要なものを学び、それを忘れてしまいます。

いくつかの学校では、学生の成功は中間試験と最終試験から免除されて報われています。 この練習は重大な間違いであることをIbelieve–学生はchancetoを得ない彼らが得た知識の異なった部分を一緒に引っ張る。 さらに、それは大学でルーチンであるthecumulative試験のためにそれらを準備しません。 これらの線に沿って、3週間前に発表された報告書は、高校でAP微積分を取ることは大学での成功の予測因子ではなかったと指摘しましたが、AP試験ではよく得点していました。

私たちは、学生が全体像を得るのを助ける必要があります。 その一部には、我々が議論したように、知識の分割化と統合が含まれています。 しかし、他にもいくつかの側面があります。

たとえば、関数の考え方のさまざまな側面に精通している必要があります–方程式として、原則として、グラフとして、テーブルとして、入出力マシンとして-

同様に、彼らは代数と幾何学の間を前後に移動することができるはずです。 連立一次方程式の解を議論するとき、彼らはそれが2つの線が交差する場所を尋ねるのと同じであることを認識すべきです。 あなたが二次関数を与えるとき、それが定義する放物線を視覚化することができるはずです–多分すべての詳細ではありませんが、彼らは確かに放物線を定義していることを認識し、それが上下に開くかどうかを知る必要があります。 放物線を視覚化できるだけでなく、実際にそれを行う必要があります。 方程式とグラフは、同じオブジェクトの2つのビューでなければなりません。

そして、二次方程式の解を見つけると、それをファシリティで四次関数のグラフに変換できるはずです–二次関数の根が例えば3+/-sqrt2であれば、関数のグラフがx軸を横切る場所を描くことができるはずです。

クラスの最初の日に、私は学生に小さなスクラップを与えます紙–1/8の8.5×11シートとそれらを求める角度の正接その正弦は3/5です。 生徒の中には三角形を描いている人もいますが、ほとんどすべての人が正しい答えを得ています。 生徒の中には三角形を描かない人もいますが、どれも正しい答えを得ません。

私は彼らに論文に名前を付けるように頼んでいないので、この問題の解決策をコースの成績に関連付けることはできませんが、私の推測では、高い相関 代数を視覚化することができ、代数から幾何学に簡単に移動して戻ることができる学生は、成功した計算になる可能性があります。

第二のクラスでは、この実験の結果を学生に報告し、視覚化の重要性を強化します。 私は彼らが彼らの本やボード上にあるそれぞれの代数的表現の心の中で絵を描くように彼らの可視化スイッチをオンにすることをお勧めします。

写真には多くの情報が含まれていることを指摘しています。 たとえば、正弦関数、余弦関数、および接線関数のグラフを視覚化して解釈できる場合、sin30=π、tan45=1、およびsin2x+cos2x=1の3つの事実を覚えておく必 彼らが三角法について知る必要がある他のすべてについては、これらから派生することができます。 特に、彼らは多くの事実と多くの事実を暗記する必要がありません。 それは彼らが写真を理解していない場合、彼らがしなければならないことです。 いくつかはこれを信じるのが難しいと感じ、persistinは三角関数に関する多くの事実を覚えようとしています。 彼らが時々それを感じるのは不思議ではありません彼らの頭はいっぱいです。

最初の学期の微積分の多くをカプセル化する十数枚の写真があります–あなたが理解し、それらの絵に何があるかを説明できれば、あなたは微積分 彼らはこれを信じるのも難しいと感じています。

私が簡単に言及するもう一つの問題は、学生が彼らが生成する答えが合理的であるかどうかのより良い感覚を持つ必要があるということです。 その前提条件は、もちろん、彼らが実際に彼らの答えが合理的であるかどうかを自分自身に尋ねることです。 実際には、彼らが自分自身に質問をすると、彼らは適切に対応する可能性があります。 だから目標は、彼らに質問をさせることです質問-その答えは合理的ですか？

最後に、学生は言語として数学の感覚を持っている必要があります。 数学には言葉があり、シンボルとその使用に関する規則。 私たちはしばしば数学の文法を無視し、私たちの学生が間違って数学を話すと書くことを許可します–スペイン語のクラスでは許可されない練習。 だから、彼らは彼らがすべきときにparenthesesを使用せず、結果としてあらゆる種類の間違いを犯すことになります。 彼らは数学的な文の中で等号をseparateequal式に使用せず、その結果、ある式から別の式にquantitieswanderします。 そして、彼らはしばしば問題に対する答えを数学的言語を英語に変換することができません。 この問題は、allof米国からのより多くの注意が必要です。

そして今、私たちは私が個人的な問題と呼んだものに来ます。 私は四つのポイントを作ります。 一つは、多くの学生がfirstsemester微積分に来て、彼らはすでに微積分を知っていると考えていることです。 それは本当かもしれません–しかし、それは唯一の真実ですそれらのいくつか。 しかし、それは危険な仮定であり、これは学期の最初の4週間は何もしないと信じている人にとっては…そして追いつくには遅すぎると感じます。

あなたのコースで成功するかもしれないにもかかわらず、彼らは自動的に大学で同じタイトルのacourseで成功することはありませんことをあなたの学生 どちらのコースも同じ材料をカバーしていますが、大学のコースはより深くなります。

第二のポイントは、学生が大学で働くことを知っておく必要があるということです。 それらのいくつかは、あまりにも多くの仕事なしで取得することができます–その場合、彼らはより困難なコースを取ってhavebeenべきである–しかし、それらのほ

私は良い成績の最高の予測因子inCalc1は非常に最初の試験で良い成績を取得していることを学びました。 グラフのデータを見てください。 これは、得点した学生の86％が最初の試験で70％がコースのc+以上の成績を得たことを示しています。 一方、最初の試験でC+以上の成績を得たのは、17％未満の70％のみであった。 一貫した仕事は報われる。 よく始めて仕事をする人永続的にうまくいく。

私の微積分1クラスの学生

1999年秋、2000年秋、2001年秋2002

# 学生の	70% または最初の試験でより多くの	69 または最初の試験で以下	合計
最終学年: C+以上	74	21	105
最終グレード： C以下	12	102	114
	86	123	219

86% 最初のテストで70％以上を得たofthoseは、コースでC+以上を得ました;最初のテストで69％以上を得た人の17％がコースでC+以上を得た

私がクラスの最初の日に行うもう一つのことは、各学生に、コースでどのグレードを得ることを期待しているかを現実的な評価をしてもらい、あらゆる種類のものを考慮して、別の小さな紙にそれを渡すことです。 すべての学生は、例外なく、B以上を得ることを期待しています！

私はこれを第二のクラスの学生に報告し、このチャートを示します。 私は彼らがformulaを知っているので、彼らは微積分を知っているいくつかの導関数のために学期を始めることができないことを彼らに伝えます。 私は彼らがoncalculusの作業学期をオフに開始する必要があることを彼らに伝えます。 多分それはadifferenceを作る。 私はそれぞれが彼または彼女がtogetを望んでいる等級を得るのを助けるために私ができるすべてをすることをそれらに言う–しかし、最終的にそれは彼ら次第である。

それは私が作りたい第三のポイントです–学生は自分の教育のために責任を取るために学ぶ必要があります。 高校では、毎日それらを参照してくださいし、真剣に彼らの研究を取るにそれらをなだめることができます。 それは素晴らしいことです。 しかし、彼らは大学に入るとき、彼らは自分自身であり、彼らが教育の責任を取ることを学んでいない場合、彼らは厳しい時間を持つことになります。

私は彼らに責任を取らせる方法がわかりませんが、あなたが試してみるかもしれないささやかな実験があります。 あなたは次のtwoweeksのための割り当てを収集することはありませんことを彼らに伝えます。 その後、彼らに試験を与えます材料。 そのうちのいくつかは、割り当てを行わず、examで不十分に行います。 おそらくthatexam上の彼らのパフォーマンスは、あなたの宿題を収集していないことを彼らに伝えるでしょうhavebeenはそれを行う必要がないと解釈すべきでは

自分の教育に対する責任を取ることのもう一つの側面は、助けを求め、彼らに利用可能な機会を利用することです。 私は定期的に道草にそれらを奨励していても、mystudentsの20％未満は、私に会いに来ます。 私の学生の20％未満は、彼らの質問を私にメールしていますが、私は彼らが数時間以内に応答を最も可能性が高いと言います。 私の学生の三分の一は、DまたはFで終わるだろうが、それらのいくつかは、彼らに利用可能なヘルプの様々なタイプを模索します。

ほとんどの学生は、彼らが援助を受けることは大丈夫であることをまだ学んでいません–彼らはコースで困難を抱えている場合、できるだけ早く助け 彼らは待っていることが良いことではないことを知る必要があります戦略。 多分tothemが違いを生じることをあなたの言うこと。

それは私の発言の最後に私をもたらします。 私は、コンテンツの問題、プロセスの問題、および事前計算と微積分のコースでの学生の成功を妨げる個人的な問題について少し話している、と私はあなたが彼らの成功にtheobstaclesを克服するために学生を準備するのに役立つかもしれない方法のためのfewsuggestionsを与えています。

あなたの注意を非常にありがとう、そして私たちは今、これらの問題の議論を持っています。