1.2量指定子
式は、真理値がいくつかの変数の値に依存するステートメントであることを思い出してください。 たとえば、
“”x\le5\land x”とします> 3$”
is x=4.に対して真であり、false x=6.に対して偽である。 これを文
“すべてのx x x、le x\le5\land xについて”と比較してください>3$,”
これは間違いなく偽であり、文
“x x\le5\land x thatのようなx x$が存在します>3$,”
それは間違いなく本当です。 この言葉は”毎$x$”(時”のためのすべての$x$”)はcalledaユニバーサル概とによって示される$\forall x$. 「存在するようなx x$が存在する」というフレーズは、existentialquantifierと呼ばれ、den exists x.によって示されます。 変数を含む式は、これらの変数のそれぞれが量指定子によって束縛されていない限り、単純にtrueまたはfalseではありません。 変数が存在しない場合、式の真理値は変数に代入された値に依存する。
セクション1.1では、複合文の真理値を正確に定義するように注意しました。 私たちはfor forall x\、P（x）andとexists exists x\、P（x）.についても同じことをしますが、これらの意図された意味は明らかです。ユニバーサル概
文$\forall x\,P(x)$がtrueの場合にだけ、そ$P(x)$はtrue nomatter価値というものから、宇宙論は置換$x$.例1.2.1
bullet\bullet x\forall x（x^2\ge0）for、つまり、”任意の数の二乗は負ではありません。”
bullet\bullet for\forall x\、\forall y（x+y=y+x）addition、すなわち、加法の可換法。Bullet\bullet x\forall x\、\forall y\、\forall z（（x+y）+z=x+（y+z））addition、すなわち、加算の連想法則。
$\square$
“すべて”形式。の普遍的な概には頻繁に遭遇し、以下のコンテクスト:$$\forall x(P(x)\Qを含意する(x)),$$る場合には”すべての$x$を満たす$P(x)$を満たすことが求め$Q(x)$.”すべて”形式とfor\forall x\、P（x）\は\forall x\、Q（x）impliesを意味し、(（\forall x\、P（x））\はQ（x）.を意味します。
後者の式は、universal\forall x\、P（x）\impliesQ（x）.と書くこともできます。 この式の意味最初は明確ではありません。 を$x$は$P(x)$はtheuniversal概すが、$x$が$Q(x)$いません。 式$(\forall x\,P(x)\Qを含意する(x)$を$(\forallx\,P(x)\Qを含意する(y)$、その真の価値assignedtoの変数に$Q\cdot)$.
例1.2.2
$\弾$$\forall x$($x$は四角$\こ$$x$は矩形)、すなわち、”全てのマス目が矩.”
$\弾$$\forall x$($x$暮らワラワラ$\こ$$x$住ワシントン)は、”すべての人にワラワラに生ます。”
$\square$
この構成は、「これならば、それならば」という形式の非数学的な文を「理解された」量指定子で表現するために使用されることがあります。
例1.2.3
$\弾$い”と言う場合は$x$はマイナスでは、そのキューブ”weusuallyう”毎負$x$の負ュールをご用意しております。”これはsymbol\forall x（（x
bullet\bullet$”2つの数字が同じ正方形を持つ場合、それらは同じ絶対値を持ちます”はwritten\forall x\、\forall y（（x^2=y^2）\implies（\vert x\vert=\vert y\vert））.と書くべきです。
$\弾$”If$x=y$、$x+z=y+z$”は$\forall x\,\forally\,\forall z(x=y)\る(x+z=y+z)$.
$\スクエア$
ば$S$セットの文章で”毎$x$は$S$を満たす$P(x)$”iswritten正式部局として$$\forall x(x\in S)\るP(x))$$めの明確性、簡潔、これは非常$\forall x\,{\in}\S\,(P(x))$. 式for\forallx\、{\in}\、S\、（P（x））properlyを正しく理解して操作するには、sometimes\forall x（（X\In S）\impliesP（x））.として書き直す必要があることがあります。例1.2.4
bullet\bullet for\forall x\in（\sqrt x\ge x）forはstands\forall x（x\in\implies\sqrt x\ge x）を表します。$
$\弾$$\forall x
$\スクエア$
の存在で概
文$\存在するx\,P(x)$がtrueの場合に限りがある場合leastone値$x$(宇宙からの談話そ$P(x)$trueです。
例1.2.5
bullet\bullet x\exists x（x\ge x^2）existsはsolution x=0solutionが解であるため真です。 他にもたくさんあります。
bullet bullet x\exists x\、\exists y（x^2+y^2=2xy）trueはtrue x=y=1manyが多くの解決策の1つであるため真です。
$\square$
“いくつかの”フォーム。 のexistentialquantifierは頻繁に遭遇し、以下のコンテクスト:$$\存在するx\(P(x)\地Q(x)),$$る場合には”あ$x$を満たす$P(x)$alsosatisfies$Q(x)$.”
例1.2.6
$\弾$$\存在するx\,\hbox{($x$は$\土$$x$は共和国)}$が、”一部の教授には共和党.”
$\弾$$\存在するx\,\hbox{($x$は素数$\土$$x$をも)}$,すなわち、”総理番号です。”
$\スクエア$
でいること”であ$x$を満たす$P(x)$を満たす$Q(x)$”も利用できるようになるとして$$\存在するx(P(x)\Qを含意する(x)),$$ように、普遍的な概. なぜこのなか$P(x)=\hbox{“$x$はapple”}$と$Q(x)=\hbox{“$x$はanorange.”}Sentence文”いくつかのリンゴはオレンジです”は確かに偽ですが、exists\exists x（P（x）\はq（x）を意味します）trueは真です。 これを見るには、x x_0.が特定のオレンジ色であるとします。 次に、Q P（x_0）\はQ（x_0）impliesがT hbox{F}\implies\hbox{T}Tに評価されることを意味し、これはTであり、存在量指定子が満たされます。
私たちは、”すべて”形式のものと同じように、”いくつかの”形式の略語を使用します。
例1.2.7
$\弾$$\存在するx
$\弾$$\存在するx\in(2x^2+x=1)$は$\存在するx(x\in)\土地(2x^2+x=1))$$\スクエア$
が$\forall$に対応する”すべて”となり、$\存在し$に対応する”も”必要となる第三の概への対応”なし”? 以下に示すように、これは必要ありません:
例1.2.8
$\弾$”No民主党は共和党は、書$\forall x$($x$は民主党$\こ$$x$はない共和党).
$\弾$”の三角形は、矩形、”書き込みでき$\forall x$($x$は三角$\こ$$x$は矩形).
$\スクエア$
一般的には、計算書”no$x$を満たす$P(x)$を満たす$Q(x)$”書き込みでき$$\forall x(P(x)\こ\lnot Q(x)).$ $（なぜexists\lnot\exists x\、（P（x）\land q（x））.を使用しないのだろうかと思うかもしれません。 実際、私たちはできました—それはfor forall x（P（x）\implies\lnot Q（x））.と同等です。)
演習1.2
これらの問題では、談話の宇宙はそこの数であると仮定します。
Ex1.2.1量指定子を含む式として以下を表現する:
a）第四の累乗に上昇した任意の数は非負です。
b)3乗に上げた数が負の数である。
c）角度の正弦は常に$+1andと–1.の間にあります。
d）角度の割線は厳密に$+1andと–1.の間にはありません。
Ex1.2.2X X.とY Y.が集合であるとします。 量指定子を含む式として以下を表現する。
a）X X.のすべての要素はY Y.の要素です。
b）X X.のいくつかの要素はY Y.の要素です。
c）X X.のいくつかの要素はY Y.の要素ではありません。
d）X X.の要素はY Y.の要素ではありません。例1.2.3Recall forall a\forall b（a
a）f f.が減少している場合、関数f f$が増加していることを（微積分から）思い出してください。
b）f f constantは一定です。
c）f f zeroにはゼロがあります。
Ex1.2.4以下の法則を象徴的に表現する:
a)乗法の可換法
b)乗法の結合法
C)分配法
Ex1.2.5次の文は真か偽ですか？X\forall y\forall z\ne0（xz=yz\はx=yを意味します）c
c）exists\が存在するx
d）exists\が存在するx\が存在するy\が存在するz（x^2+y^2+z）d2+y^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^2+z^^2=2xy-2+2z)$
例1.2.6Suppose P（x）andとQ Q（y）.が式であるとします。A）はfor forall x\forall y（P（x）\はQ（y）を意味します）for forall x（P（X））\は\forall y（Q（y））forを意味しますか？B p（x）\land Q（y）existsはland p（X）\land q（y）existsに相当しますか？