Calculus II-シーケンスの詳細
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セクション4-2 : シーケンスの詳細
前のセクションでは、シーケンスの概念を導入し、シーケンスの限界とシーケンスの収束と発散のアイデアについて話しました。 このセクションでは、シーケンスを含むいくつかのアイデアを簡単に見てみたいと思います。
いくつかの用語と定義から始めましょう。任意のシーケンス\(\left\{{{a_n}}\right\}\)が与えられたとき、次のようになります。すべての\(n\)に対して\({a_n}<{a_{n+1}}\)の場合、シーケンスを増加させると呼びます。すべての\(n\)に対して\({a_n}>{a_{n+1}}\)の場合、減少するシーケンスを呼び出します。\(\Left\{{{a_n}}\right\}\)が増加数列であるか、\(\left\{{{a_n}}\right\}\)が減少数列であるならば、それを単調と呼びます。すべての\(n\)に対して\(m\le{a_n}\)となるような数\(m\)が存在する場合、シーケンスは以下に制限されていると言います。 数\(m\)は、シーケンスの下限と呼ばれることがあります。すべての\(n\)に対して\({a_n}\le M\)となるような数\(M\)が存在する場合、シーケンスは上に制限されていると言います。 数\(M\)は、シーケンスの上限と呼ばれることがあります。
シーケンスが増加または減少するためには、すべての\(n\)に対して増加/減少しなければならないことに注意してください。 言い換えれば、3つの項で増加し、残りの項で減少するシーケンスは減少するシーケンスではありません！ また、単調シーケンスは常に増加しなければならないか、常に減少しなければならないことに注意してください。
先に進む前に、上および/または下に境界があるシーケンスの境界について簡単にポイントを作成する必要があります。 下限についてはポイントを作成しますが、上限については簡単に行うことができます。すべての\(n\)に対して\(m\le{a_n}\)となるような任意の数\(m\)を見つけることができれば、シーケンスは以下に制限されます。 ただし、下限に使用する1つの数値\(m\)が見つかった場合、\(m\)より小さい数値も下限になります。 また、私たちが見つけたものよりもシーケンスの「より良い」下限がないという意味ではない1つの下限を見つけたからといって。 言い換えれば、下に制限されているシーケンスには無限の下限があり、他のものよりも優れているものもあります。 私のクラスでは、私が後にしていることはすべて下限になります。 私は必ずしも最良の下限を必要とせず、シーケンスの下限となる数値だけを必要とします。
いくつかの例を見てみましょう。
- \(\left\{{-{n^2}}\right\}_{n=0}^\infty\)
- \(\左\{{{{\left({-1}\right)}^{n+1}}}\right\}_{n=1}^\infty\)
- \(\左\{{\displaystyle\frac{2}{{{n^2}}}}\right\}_{n=5}^\infty\)
すべての解が非表示になソ
このシーケンスの長さは減少する配列が単) なので、
\
毎に\(n\).
また、シーケンス項はゼロまたは負のいずれかになるので、このシーケンスは上に制限されます。 任意の正の数またはゼロを境界として使用することができますが、可能であれば可能な限り最小の境界を選択するのが標準であり、それはいい数です。\(M\)は、任意の正の数またはゼロを境界として使用できますが、可能であれば最小の境界を選択するのが標準です。 したがって、\(M=0\)を選択します。
\
このシーケンスは、\(n\)を十分に大きくすることによって常に潜在的な境界を下回ることができるので、以下に制限されていません。 したがって、シーケンスは上に制限されていますが、制限されていません。
サイドノートとして、このシーケンスは（具体的にしたい場合は-\infty\）に発散することに注意することもできます。1669>
b\(\left\{{{{\left({-1}\right)}n{n+1}}}\right\}_{n=1}infty\infty\)解を表示します
このシーケンスのシーケンス項は1と-1の間で交互になるため、シーケンスは増加シーケンスでも減少シーケンスでもありません。 列は増加列でも減少列でもないので、単調列ではありません。
ただし、シーケンスは上に1で囲まれ、下に-1で囲まれているため、制限されています。
ここでも、このシーケンスも発散していることに注意することができます。
c\(\left\{{\displaystyle\frac{2}{{{n^2}}}}\right\}_{n=5}.\infty\)解を表示
このシーケンスは減少シーケンス（したがって単調）であるので、
\
このシーケンスの項はすべて正であるため、下にゼロで囲まれています。 また、シーケンスは減少シーケンスであるため、最初のシーケンス項は最大になりますので、シーケンスも上に\(\frac\)で囲まれていることがわかります。\(\frac\)は、\(\frac\)が\(\frac\)であることを示しています。{2}{{25}}\). したがって、この列は有界である。
また、簡単な限界を取ることができ、このシーケンスは収束し、その限界はゼロであることに注意することができます。
さて、私たちがこれらの問題で私たちの直感に頼ることにあまりにも慣れないように設計されたいくつかの例を見てみましょう。 私たちは前のセクションで述べたように、私たちの直感は、多くの場合、我々はこの章で見ているでしょう概念のいくつかに迷って私たちを導くことが
すべての解を表示すべての解を非表示
開始しますこの例の有界部分で最初に戻ってきて、学生がこのタイプのシーケンスで間違いを犯すことが多いので、増加/減少の質問に対処してください。
まず、\(n\)は正であるため、シーケンス項はすべて正です。 したがって、シーケンスはゼロで下に制限されます。 同様に、各シーケンス項は、より大きな数で除算された数の商であるため、1未満であることが保証されます。 その後、シーケンスは1で上に制限されます。 したがって、このシーケンスは制限されています。
さて、単調な質問について考えてみましょう。 まず、学生はしばしば、分母が大きいので商が減少しなければならないと仮定するミスを犯すでしょう。 これは必ずしもそうではなく、この場合、私たちは間違っています。 このシーケンスは、我々が見るように増加しています。
このシーケンスの増加/減少の性質を決定するには、微積分I技術に頼る必要があります。 まず、次の関数とその導関数を考えてみましょう。
\
一次導関数は常に正であることがわかりますので、微積分から私たちは関数が増加関数でなければならないことを知っています。 だから、これはどのように私たちを助けるのですか？ したがって、\(n<n+1\)と\(f\left(x\right)\)が増加しているため、
\
言い換えれば、シーケンスは増加している必要があります。
シーケンスが増加するシーケンスであることがわかったので、シーケンスのより良い下限を得ることができることに注意してください。 シーケンスが増加しているので、シーケンスの最初の項は最小の項でなければならないので、\(n=1\)で始まっているので、このシーケンスには\(\frac{1}{2}\)の下限を使用することもできます。 常にすべてのシーケンス項以下の任意の数が下限になる可能性があることを覚えておくことが重要です。 しかし、いくつかは他のものよりも優れています。
クイックリミットはまた、このシーケンスが1のリミットで収束することを教えてくれます。
次のパートに進む前に、多くの学生がこの時点で持っている自然な質問があります。 いくつかの\(n\)を接続してすぐに同じことを決定できたときに、シーケンスの増加/減少の性質を決定するために微積分を使用したのはなぜですか？
この質問に対する答えは、この例の次の部分です！Frac frac{{{n^3}}}{{{n^4}+10000}}}\right\}_{n=0}infty\infty\)解を表示する
これは厄介な見た目のシーケンスですが、この部分のポイントを作るためには必要です。
まず、前の部分と同様に、シーケンス項はすべて正であり、（分子は分母よりも小さいことが保証されているため）すべてが1未満になり、シーケンスが有界であることに注意してください。
さて、増加/減少の質問に移りましょう。 最後の問題と同様に、多くの学生は分子と分母の指数を見て、そのシーケンス項が減少しなければならないことに基づいて決定します。
しかし、これは減少するシーケンスではありません。 これを見るために最初のいくつかの用語を見てみましょう。
\
このシーケンスの最初の10項はすべて増加しているので、明らかにシーケンスは減少するシーケンスにすることはできません。 シーケンスは、すべての項が減少している場合にのみ減少することができることを思い出してくださ
さて、別のよくある間違いをすることはできず、最初のいくつかの用語が増加するので、シーケンス全体も増加しなければならないと仮定します。 私たちがそれをした場合、これも増加するシーケンスではないので、私たちも誤解されます。
このシーケンスは減少も増加もしていません。 これを確認する唯一の確実な方法は、関数の増減にアプローチする微積分を行うことです。
この場合、以下の関数とその導関数が必要になります。
\
この関数には、次の三つの重要なポイントがあります,
\{{30000}} \約13.1607、\hspace{0.25in}\,\,\,x=-\sqrt{{30000}}\approx-13.1607\]
なぜ重要な点？ これらは、誘導体が符号を変更することができる唯一の場所であることを覚えておいてください！ 私たちのシーケンスは\(n=0\)で始まるので、3番目のシーケンスは\(n\)の値の外側にあるので無視することができます私たちが検討しています。 X\)のいくつかのテスト値を差し込むことで、導関数が\(0<x<\sqrt{{30000}}\approx13.16\)に対して正であることをすぐに判断できます。 同様に、導関数は\(x>\sqrt{{30000}}\approx13.16\)に対して負であることがわかりますので、関数はこの範囲で減少します。したがって、シーケンスは\(0\le n\le13\)に対して増加し、\(n\ge13\)に対して減少します。 したがって、関数は単調ではありません。
最後に、このシーケンスも収束し、限界がゼロであることに注意してください。
したがって、最後の例が示したように、シーケンスについての仮定を行う際に注意する必要があります。 私たちの直感はしばしば正しい答えを得るのに十分ではなく、最初のいくつかの用語の値に基づいてシーケンスについて仮定することはできません。 最後の部分が示しているように、いくつかの用語のために増減し、その後方向を変えるシーケンスがあります。
ここでは”最初のいくつかの用語”と言っていますが、最初の10,000の用語でシーケンスが減少し、残りの用語で増加を開始することは完全に可能です。 言い換えれば、\(n\)の「魔法の」値はありませんが、その時点までチェックしてから、シーケンス全体が何をするのかを知るだけです。\(n\)の値は、\(n\)の値が\(n\)
シーケンスの増減の性質を決定するために微積分I技術を使用することを避けることができる唯一の時間は、例1のパート（c）のようなシーケンスです。 この場合、\(n\)を増やすと分母が変更される（実際には増加する）だけなので、それに基づいてシーケンスの動作を決定することができました。
ただし、例2では、\(n\)を増加させると、分母と分子の両方が増加しました。 このような場合、どの増加が「勝つ」かを決定し、シーケンス項を増減させる方法はないため、質問に答えるために微積分I技術に頼る必要があります。
私たちは、この章の後半で証明のいくつかで使用する素敵な定理でこのセクションを閉じます。\(\Left\{{{a_n}}\right\}\)が有界かつ単調であれば、\(\left\{{{a_n}}\right\}\)は収束します。
この定理を悪用しないように注意してください。 シーケンスが有界でない場合、および/または単調でない場合、それは発散しているとは言いません。 例2bは、ポイントの良いケースです。 その例のシーケンスは単調ではありませんでしたが、収束します。
この定理のいくつかの変形を作ることができることにも注意してください。 \(\Left\{{{a_n}}\right\}\)が上に制限されて増加すると収束し、同様に\(\left\{{{a_n}}\right\}\)が下に制限されて減少すると収束します。