Fixed-point theorem

Fixed-point theoremは、集合の点を同じ集合の点に変換し、少なくとも一つの点が固定されたままであることを証明することができる数学の様々な定理のいずれかである。 例えば、各実数が二乗されている場合、数はゼロと一つは固定されたままであるのに対し、各数が一つ増加する変換は固定された数を残さない。 最初の例である各数の二乗からなる変換は、ゼロより大きく1未満の数（0,1）の開区間に適用された場合、固定小数点もありません。 ただし、エンドポイントが含まれている閉じた間隔では状況が変化します。 連続変換は、隣接する点が他の隣接する点に変換される変換である。 （連続性を参照してください。 Brouwerの固定小数点定理は、閉じたディスク（境界を含む）のそれ自身への連続的な変換は、少なくとも1つの点を固定したままにすることを述べています。 この定理は、閉じた区間上の点の連続変換、閉じたボール内の点、またはボールに類似した抽象的な高次元集合の点の連続変換にも当てはまります。

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トポロジ: トポロジーの歴史

ブラウワーと彼の不動点定理。 フレーズ代数トポロジーは、最初のロシア生まれで1936年にやや後に使用されましたが。..

固定小数点定理は、方程式に解があるかどうかを調べるのに非常に便利です。 たとえば、微分方程式では、微分演算子と呼ばれる変換は、ある関数を別の関数に変換します。 微分方程式の解を見つけることは、関連する変換によって変更されない関数を見つけることと解釈することができます。 これらの関数を点として考え、上記の円板を構成する点の集合に類似した関数の集合を定義することによって、ブラウワーの固定小数点定理に類似した定理を微分方程式に対して証明することができる。 この種の最も有名な定理は、1934年にフランス人のJean LerayとPole Julius Schauderによって出版されたLeray-Schauder定理である。 この方法が解を得るかどうか（すなわち、固定小数点が見つかるかどうか）は、微分作用素の正確な性質と、解が求められる関数の集合に依存する。