고유 값,고유 벡터 및 고유 구성
이 주제를 이해하기 위해 알아야 할 사항은 무엇입니까?
- 선형 대수학의 기초
섹션
- 고유 무엇?
- 고유 구성
- 예제
- 고유 구성이 유용한 이유는 무엇입니까?
- 행렬 역
- 행렬의 검정력
- 고유 구성 속성
- 고유 구성을 계산하는 방법은 무엇입니까?
- 전력 반복
고유 무엇?
고유는 자신 또는 자아를 의미합니다. 에 선형 대수학,고유 값,고유 벡터 과 고유 구성 본질적으로 관련된 용어입니다. 고유구성은 제곱 행렬을 고유값과 고유벡터로 분해하는 방법이다. 행렬$의 경우,$$는 행렬의 고유 벡터이고$\람다$는 해당 고유 값입니다. 즉,행렬$에이$에 벡터를 곱하고 결과가 동일한 벡터의 크기 조정 버전 인 경우$에이$의 고유 벡터이고 크기 조정 인자는 고유 값입니다.
고유 구성
그렇다면 행렬의 고유 벡터를 어떻게 찾을 수 있습니까? 이 예제에서는 람다 행렬(행렬)이 행렬 행렬(행렬)으로 변환되고,행렬(행렬)은 행렬 행렬(행렬)으로 변환됩니다. 람다(람다)는 람다(람다)와 람다(람다)의 값입니다. 이 방정식은:이 행렬의 행렬식은 행렬의 행렬식입니다.이 행렬의 행렬식은 행렬의 행렬식입니다.이 행렬의 행렬식은 행렬의 행렬식입니다.행렬의 행렬식은 행렬의 행렬식입니다.행렬의 행렬식은 행렬의 행렬식입니다.행렬의 행렬식은 행렬의 행렬식입니다.행렬의 행렬식은 행렬의 행렬식입니다.행렬의 행렬식은 행렬의 행렬식입니다.예를 들어,람다 함수를 호출하면 람다 함수를 호출 할 수 있습니다.}=0$
연결$\lambda_2$로$\eqref{eq:Avlv}$,우리가 얻을:$$\left\left=3\left$$에서 우리가 얻$v_{21}=0$및$v_{22}\\에서 mathbb{R}$. 즉,모든 벡터는 고유 값 3 을 가진$의 고유 벡터입니다.
고유 컴포지션이 유용한 이유는 무엇입니까?
이전 예제를 참조하면 단일 행렬 방정식에서 고유 벡터와 고유 값을 모두 결합 할 수 있습니다:$$A\left=\left\left=\left\left=\left\left$$면 우리는 바꾸기:$$\Lambda=\left$$$$V=\left$$그것은 또한 사실:$$AV=V\Lambda$$$$\을 시작{식}A=V\Lambda V^{-1}\라벨{eq:AVLV}\끝{식}$$Eigendecomposition 분해되는 행렬$A$로의 곱셈 매트릭스의 고유 벡터$V$와 행렬의 대각선의 고유값$\Lambda$. 이 작업은 행렬이 대각선 인 경우에만 수행 할 수 있습니다. 이 행렬(1)은 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(람다$의 역수는 각 대각선 요소(고유 값)의 역수에 불과합니다.이 행렬은 각 대각선 요소(고유 값)의 역수입니다.
전원의 행렬 eigendecomposition
에서$\eqref{eq:AVLV}$:$$^2=V\Lambda V^{-1}V\Lambda V^{-1}=V\Lambda^{2}V^{-1}$$$$는^n=V\Lambda^n V^{-1}$$의 힘$\Lambda$은 서로의 힘을 대각선 요소입니다. 이것은 곱셈보다 훨씬 간단 해집니다.
고유 컴포지션의 속성
- $(1269)(1269)(1269)(203)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)람다^{-1}$
- 예를 들어,람다(1269)는 람다(1269)와 동일하며,람다(1269)는 람다(1269)와 동일하다.
- $에이$가 헤르미트(그 공액 전치는 자신과 동일 함)와 전체 순위(모든 행 또는 열이 선형 적으로 독립적임)인 경우 고유 벡터는 서로 직교합니다(두 고유 벡터 사이의 도트 곱은 0 임)고유 값은 실제입니다.
- $모든 고유 값이 0 과 다르고 그 반대의 경우$는 반전됩니다.
- 행렬$에이$의 고유 값이 고유(반복되지 않음)인 경우 고유 분해 될 수 있습니다.
고유 구성을 계산하는 방법?
행렬의 크기가 증가함에 따라 특성 다항식을 계산 한 다음 고유 값과 관련하여 해결하는 것은 비실용적입니다. 실제로 반복 알고리즘은 행렬을 고유하게 구성하는 데 사용됩니다.
전력 반복
전력 반복은 가장 높은 고유 값과 관련 고유 벡터를 계산하는 반복적 인 방법입니다. 만 가장 높은 값/벡터가 발견,그래서 제한된 사용으로이 방법.이 벡터는 지배적 인 고유 벡터 또는 무작위 벡터에 대한 교육 된 추측 일 수 있습니다. 그런 다음 다음 방정식을 반복합니다.$$각 반복에서 벡터는 행렬$에이$에 의해 왼쪽 곱해지고 정규화되어 지배적 인 고유 벡터로 수렴됩니다. 이 방법은 다음과 같은 경우에만 작동합니다:
- $$는 다른 모든 것과 크거나 같은 고유 값을 갖습니다.
- 벡터$비 _0$는 지배적 인 고유 벡터의 방향으로 0 이 아닌 성분을 가지고 있습니다(즉,도트 곱은 0 과 다릅니다)
우리의 예제 행렬을 사용하여$에이$및 초기 벡터:$$비 _0=\왼쪽$$첫 번째 단계:다음 단계를 위해 마지막$비$를 다시 사용하고:$$비 _2=왼쪽,비 _3=왼쪽,비 _4=왼쪽,비 _5=왼쪽$$및$$왼쪽$$를 다시 사용합니다.이 경우$는 0 과$의 값을 가질 수 있습니다.이 알고리즘의 경우,이 알고리즘의 각 구성 요소마다 고유 분해를 생성 할 수 있습니다. 이 행렬은 직교 행렬$큐$와 상부 삼각 행렬$아르 자형$로 분해됩니다.