고유 값,고유 벡터 및 고유 구성

먼저 행렬이 행렬식이 0 인 경우에만 역변환이 불가능하다는 것을 알아야 합니다. 그래서,$의 값에 대해$\람다$그$\식{식:디탈리}$보유,$-\람다 나는$는 비 반전(단수)입니다. 이 경우$의 양변을 왼쪽 곱할 수 없습니다.:즉,이 경우 람다$는$의 고유 값이며,람다$는$의 고유 값입니다.예를 들어,행렬에 대한 고유 한 구성을 살펴 보겠습니다.이 예에서는 행렬에 대한 고유 한 구성을 살펴 보겠습니다.) = 0$$$$(1-\람다(3-\람다)=0$$우리는 직접$\람다 _1=1$와$\람다 _2=3$를 얻습니다. 위의 표현식은 일반적으로 행렬의 특성 다항식 또는 특성 방정식이라고합니다.이 경우 람다 함수를 호출 할 수 있습니다.:이 경우 왼쪽은 1000000 입니다. 즉,모든 벡터는 고유 값 1 을 가진$의 고유 벡터입니다.
연결$\lambda_2$로$\eqref{eq:Avlv}$,우리가 얻을:$$\left\left=3\left$$에서 우리가 얻$v_{21}=0$및$v_{22}\\에서 mathbb{R}$. 즉,모든 벡터는 고유 값 3 을 가진$의 고유 벡터입니다.

고유 컴포지션이 유용한 이유는 무엇입니까?

이전 예제를 참조하면 단일 행렬 방정식에서 고유 벡터와 고유 값을 모두 결합 할 수 있습니다:$$A\left=\left\left=\left\left=\left\left$$면 우리는 바꾸기:$$\Lambda=\left$$$$V=\left$$그것은 또한 사실:$$AV=V\Lambda$$$$\을 시작{식}A=V\Lambda V^{-1}\라벨{eq:AVLV}\끝{식}$$Eigendecomposition 분해되는 행렬$A$로의 곱셈 매트릭스의 고유 벡터$V$와 행렬의 대각선의 고유값$\Lambda$. 이 작업은 행렬이 대각선 인 경우에만 수행 할 수 있습니다. 이 행렬(1)은 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(1)의 각 행렬(람다$의 역수는 각 대각선 요소(고유 값)의 역수에 불과합니다.이 행렬은 각 대각선 요소(고유 값)의 역수입니다.

전원의 행렬 eigendecomposition

에서$\eqref{eq:AVLV}$:$$^2=V\Lambda V^{-1}V\Lambda V^{-1}=V\Lambda^{2}V^{-1}$$$$는^n=V\Lambda^n V^{-1}$$의 힘$\Lambda$은 서로의 힘을 대각선 요소입니다. 이것은 곱셈보다 훨씬 간단 해집니다.

고유 컴포지션의 속성

• $(1269)(1269)(1269)(203)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)(1269)람다^{-1}$
• 예를 들어,람다(1269)는 람다(1269)와 동일하며,람다(1269)는 람다(1269)와 동일하다.
• $에이$가 헤르미트(그 공액 전치는 자신과 동일 함)와 전체 순위(모든 행 또는 열이 선형 적으로 독립적임)인 경우 고유 벡터는 서로 직교합니다(두 고유 벡터 사이의 도트 곱은 0 임)고유 값은 실제입니다.
• $모든 고유 값이 0 과 다르고 그 반대의 경우$는 반전됩니다.
• 행렬$에이$의 고유 값이 고유(반복되지 않음)인 경우 고유 분해 될 수 있습니다.

고유 구성을 계산하는 방법?

행렬의 크기가 증가함에 따라 특성 다항식을 계산 한 다음 고유 값과 관련하여 해결하는 것은 비실용적입니다. 실제로 반복 알고리즘은 행렬을 고유하게 구성하는 데 사용됩니다.

전력 반복

전력 반복은 가장 높은 고유 값과 관련 고유 벡터를 계산하는 반복적 인 방법입니다. 만 가장 높은 값/벡터가 발견,그래서 제한된 사용으로이 방법.이 벡터는 지배적 인 고유 벡터 또는 무작위 벡터에 대한 교육 된 추측 일 수 있습니다. 그런 다음 다음 방정식을 반복합니다.$$각 반복에서 벡터는 행렬$에이$에 의해 왼쪽 곱해지고 정규화되어 지배적 인 고유 벡터로 수렴됩니다. 이 방법은 다음과 같은 경우에만 작동합니다:

• $$는 다른 모든 것과 크거나 같은 고유 값을 갖습니다.
• 벡터$비 _0$는 지배적 인 고유 벡터의 방향으로 0 이 아닌 성분을 가지고 있습니다(즉,도트 곱은 0 과 다릅니다)

우리의 예제 행렬을 사용하여$에이$및 초기 벡터:$$비 _0=\왼쪽$$첫 번째 단계:다음 단계를 위해 마지막$비$를 다시 사용하고:$$비 _2=왼쪽,비 _3=왼쪽,비 _4=왼쪽,비 _5=왼쪽$$및$$왼쪽$$를 다시 사용합니다.이 경우$는 0 과$의 값을 가질 수 있습니다.이 알고리즘의 경우,이 알고리즘의 각 구성 요소마다 고유 분해를 생성 할 수 있습니다. 이 행렬은 직교 행렬$큐$와 상부 삼각 행렬$아르 자형$로 분해됩니다.