고정 소수점 정리
고정 소수점 정리,집합의 점을 동일한 집합의 점으로 변환하는 것을 다루는 수학의 다양한 정리 중 하나 적어도 하나의 점이 고정 된 상태로 유지된다는 것을 입증 할 수 있습니다. 예를 들어,각 실수가 제곱되면 숫자 0 과 1 은 고정 된 상태로 유지되는 반면 각 숫자가 1 씩 증가하는 변환은 고정 된 숫자를 남기지 않습니다. 첫 번째 예제에서는 0 보다 크고 1(0,1)보다 작은 숫자의 열린 간격에 적용 할 때 각 숫자를 제곱하는 것으로 구성된 변환도 고정 점이 없습니다. 그러나 끝점이 포함된 닫힌 간격에 대한 상황이 변경됩니다. 연속 변환은 이웃 점이 다른 이웃 점으로 변환되는 변환입니다. (연속성을 참조하십시오.)브루어의 고정 소수점 정리는 닫힌 디스크(경계 포함)를 자체적으로 연속 변환하면 적어도 하나의 포인트가 고정 된 상태로 남습니다. 이 정리는 닫힌 간격,닫힌 공 또는 추상적인 더 높은 차원 집합에서 볼과 유사한 점의 연속 변환에도 적용됩니다.
고정 소수점 정리는 방정식에 솔루션이 있는지 알아내는 데 매우 유용합니다. 예를 들어 미분 방정식에서 미분 연산자라는 변환은 한 함수를 다른 함수로 변환합니다. 미분 방정식의 솔루션을 찾는 것은 관련 변환에 의해 변경되지 않은 함수를 찾는 것으로 해석 될 수 있습니다. 이러한 함수를 포인트로 간주하고 디스크를 포함하는 위의 포인트 모음과 유사한 함수 모음을 정의함으로써 브루어의 고정 소수점 정리와 유사한 정리를 미분 방정식에 대해 입증 할 수 있습니다. 이 유형의 가장 유명한 정리는 1934 년 프랑스 인 장 레레이와 폴 줄리어스 샤우더가 출판 한 리레이-샤우더 정리입니다. 이 메서드가 솔루션을 생성하는지 여부(즉,고정 소수점을 찾을 수 있는지 여부)는 미분 연산자의 정확한 특성 및 솔루션을 찾는 함수의 컬렉션에 따라 다릅니다.