1 학년 학생들에게 미적분학을 가르치는 데 수년 동안 배운 것

1 학년 학생들에게 미적분학을 가르치는 데 수년 동안 배운 것

2005 년 1 월 14 일

브룩 데일 커뮤니티 칼리지

조셉 지. 로젠슈타인(럿거스-뉴브룬스윅)

왜 그렇게 많은 1 학년 학생들이 어려움을 겪고 있습니까?그들이 잘 준비되어있는 것처럼 보일 때 칼슘?

마지막으로 첫 학기 미적분학을 가르친 경우 수업 중 61 명의 학생 중 41%가 다 또는 더 나쁜 성적으로 끝났습니다.

여기에 더 많은 데이터가 있습니다. 82%의 학생들이 고등학교에서 한 학기 이상의 미적분을 가지고 있었고 73%는 고등학교에서 1 년 이상의 미적분을 가지고있었습니다. (35%는 1 년 동안 미적분학을했습니다.)모든 계정에 의해,이 그룹은잘 준비된 대학 미적분학.

나쁜 소식은 우리가 데이터를 합치면 적어도 23%의 학생들이 고등학교에서 미적분 과정을 수강했지만 대학 내에서 미적분 과정보다 더 잘하지 못했다고 결론 지을 수 있다는 것입니다.

왜 고등학교에서 실질 수학 과정을 수강했지만 미적분학에 실패한 학생들이 그렇게 많습니까?

이 짧은 강연에서는 내용,과정,개인 문제 등 세 가지 문제를 약 15 분 안에 모두 토론 한 다음 토론을위한 바닥을 엽니 다.

“내용”에서 주요 문제는 학생들이 미적분의 개념을 이해하지 못한다는 것이 아니라 산술 및 대수학을 갖춘 시설이 없다는 것입니다.

한 학생은 한 번 특정 문제가 그가”강렬한 대수학”이라고 부르는 것을 포함한다는 것을 관찰했습니다. 이 경우,예를 들어,학생들이 함수의 도함수를 찾을 필요가있을 때 에프(엑스)=1/(엑스+3)정의에서–즉,투명도에서와 같이,그들은해야합니다차이 지수의 한계를 찾을 수 있습니다. 그들이 취해야 할 단계에 대해 생각해보십시오.이 문제를 해결하십시오. 1595>

분자에서 두 분수를 단일 분절로 결합합니다.

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분자에 분수가 있는 분수를 그렇지 않은 분수로 변환합니다.

각 단계를 개별적으로 수행할 수 있어야 할 뿐만 아니라,도함수를 찾는 데 관여하는”큰 그림”을 보고 각 단계에서 수행해야 할 작업을 알려주는 기능 높은 수준의 모니터링 시스템이 필요합니다.

그러나 그들 중 많은 사람들이 여전히 중간 등급 이후 지속적으로 오류를 만들고 있습니다-예를 들어,부적절하게 용어 위반을 취소.

이 같은 질문은 중간 고사와 최종 고사에 주어지며,그들은 모두 이것이 그들이 할 수있을 것으로 예상되는 것임을 알고 있지만,많은 사람들이 작업을 올바르게 완료 할 수 없습니다.

우리가 노스 캐롤라이나 표준에 대해 이야기 할 때,우리는 종종 프로세스 표준이 컨텐츠 표준을 대체 한 것처럼 행동합니다. 즉,케이스가 아닙니다. 우리는 추론과 문제 해결에 초점을 맞추고 싶지만 학생들이 수학 연산에 적합한 특성을 갖기를 원합니다.

“적절한”시설은 무엇입니까? 그것은 학생에 달려 있습니다. 만약 그들이 산술 및 대수학 어려움 대학에서 미적분의 몇 학기를 복용 결국 하려고 하는 사람들 확실히 불이익에 있습니다.

반면에,계산을 계속할 가능성이없는 사람들강력한 대수가 필요하지 않습니다. 그러나 특정 학생이 그 범주에 속한다고 가정하면 결국 자기 충족 예언이 될 수 있습니다.

대수학 기술에 대한 여담. 이 기술에 초점을 맞추고 있기 때문에 많은 사람들이,우리의 지원 노력으로,표준에 부합되지 않는 이유로 럿 거스의 배치 테스트를 비판했다. 그러나 나는 그것이 사전 계산과 미적분학의 성공 가능성에 대한 좋은 척도이며,우리가 그것을 도입 한 이래로 지난 20 년 동안 그렇게되어 왔다고 말해야 만합니다. 그것은 필수 기술을 가진 학생의 시설을 측정합니다…이 과정에서 성공을 위해 필수 조건이있는 시설이 필수적이기 때문입니다.

나는 당신과 함께 내 개인적인 경험을 공유 할 것입니다. 몇 년 전,내 딸 중 한 명이 득점했습니다.미리 계산을위한 컷오프 바로 아래. 나는 약간의 영향을 가지고 있기 때문에,나는 그녀를 등록 할 수 있었다.계산,그녀가 어려움을 겪고 있다면,그녀는 좋은 교사에 접근 할 수 있다고 추론. 그것은 옳았습니다…그러나 그것은 또한 실수였습니다-나는 많은 과외를 끝냈습니다. 그녀는 준비가되지 않았습니다.계산.

이 여담의 끝입니다.

이제 설명이 필요합니다. 우리가 대수학의 시설이 미적분학의 성공에 필수적이라고 말할 때,우리는 단지 대수학 조작에 대한 규칙을 배우는 것을 의미하지 않습니다. 시설알제브라는 또한 그 기초가되는 수학을 이해하는 것을 의미합니다.규칙. 학생들이 실수를 할 때,그들은 종종 수학을 오해 한 결과이며,우리 모두는 그 오류로 이어진 잘못된 아이디어를 밝히는 데 더 많은 시간을 할애해야하며,학생들이 더 정확한 수학 이해로 대체 할 수 있도록 도와줍니다. 즉,수업 및 학생들과 개별적으로 오류를 토론하고 숙제 및 테스트에 잘못 표시 한 것이 아닙니다.

대수학의 시설은 또한 문제의 적절한 다음 단계를 알아 내기 위해 하나의 수학적 경험을 그릴 수 있다는 것을 의미합니다.

그것은 우리에게”프로세스 문제”를 가져옵니다.

우리 모두는 우리가 배운 것을 분류하는 경향이 있습니다-부분적으로 우리는 새로운 정보를 선형으로 접하고 그것을 어딘가에 저장해야하기 때문입니다. 그러나 그것은 매우 중요합니다.학습이 연결될 수 있습니다. 교사로서 할 수있는 모든 일은 주제 간의 연결을 만들고 학생들에게 큰 그림을 집중시키는 것이 매우 중요합니다.

서로 다른 개념을 연결하는 예제와 숙제 문제를 제공하는 것은 정기적 인 누적 시험을 제공하는 것과 마찬가지로 중요합니다. 그렇지 않으면 학생들은 필요한 것을 배웁니다.이번 주 퀴즈를 알고 잊어 버리십시오.

일부 학교에서는 학생들의 성공이 중간 고사 및 기말 시험에서 면제되어 보상을받습니다. 이 연습은 심각한 실수라고 생각합니다-학생들은 그들이 습득 한 다양한 지식을 함께 끌어낼 수있는 기회를 얻지 못합니다. 또한,그것은 대학에서 일상적인 수기 시험을 위해 그들을 준비 하지 않습니다. 그 라인을 따라,3 주 전에 발표 된 보고서는 고등학교에서 미적분을 취하는 것이 대학에서의 성공을 예측하는 요인이 아니라고 지적했습니다.

우리는 학생들이 큰 그림을 얻을 수 있도록해야합니다. 그 중 한 부분은우리가 논의한 바와 같이 지식을 분해하고 통합합니다. 그러나 몇 가지 다른 측면도 있습니다.

하나는 학생들이 다중 관점을 갖도록 장려하고 있습니다. 예를 들어,함수 아이디어의 다양한 측면(방정식,규칙,그래프,테이블,입출력 기계)에 익숙해 져야하며 이러한 표현 중에서 쉽게 앞뒤로 이동할 수 있어야합니다.

마찬가지로 대수와 기하학 사이를 앞뒤로 이동할 수 있어야합니다. 동시 선형 방정식의 솔루션을 논의 할 때,그들은 두 줄이 교차하는 곳을 묻는 것과 동일하다는 것을 인식해야합니다. 당신이 2 차 함수를 줄 때 그들은 정의 포물선을 시각화 할 수 있어야합니다-어쩌면 모든 세부 사항,하지만 그들은 확실히 그것이 포물선을 정의 않습니다 것을 알고 있어야합니다,그것은 위 또는 아래로 열리는지 여부를 알고. 그들은 포물선을 시각화 할 수 있어야 할뿐만 아니라실제로 그렇게해야합니다. 방정식과 그래프는 동일한 개체에 대한 두 개의 뷰여야 합니다.

그리고 2 차 방정식의 해법을 찾으면 2 차 함수의 그래프로 변환할 수 있어야 합니다.

수업 첫날,저는 학생들에게 종이–8 의 1/8 을 작은 조각으로주고 사인이 3/5 인 각도의 접선을 찾아달라고 요청합니다. 학생 중 일부는 삼각형을 그립니다.거의 모든 학생들이 올바른 답을 얻습니다. 일부 학생들은 삼각형을 그리지 않습니다;그들 중 누구도 정답을 얻을 수 없습니다.

나는 신문에 자신의 이름을 넣어달라고 요청하지 않기 때문에,아이는이 문제에 대한 해결책을 과정에서 자신의 성적에 관련시킬 수 없습니다,하지만 내 추측은 상관 관계의 높은 수준이 될 것입니다. 대수학을 시각화 할 수있는 학생,대수학에서 기하학으로 그리고 뒤로 쉽게 이동할 수있는 학생들은 성공적인 인 칼큘 러스가 될 것입니다.

두 번째 수업에서는 이 실험의 결과를 학생들에게 보고하고 시각화의 중요성을 강화합니다. 나는 그들이 그들의 책이나 칠판에 있는 각각의 해학적 표현에 대한 그들의 마음 속에 그림을 그릴 수 있도록 그들의 시각화스위치를 켜도록 격려한다.

나는 그림이 많은 정보를 포함 할 수 있다고 지적한다. 예를 들어,시각화하고 사인,코사인 및 탄젠트 함수의 그래프를 해석 할 수 있다면 세 가지 사실 만 기억해야합니다. 삼각법에 대해 알아야 할 다른 모든 것들은 이들로부터 파생 될 수 있습니다. 특히,그들은 많은 사실을 암기 할 필요가 없습니다. 그것은 그들이 그림을 이해하지 않는 경우에 해야 할 무슨이다. 어떤 사람들은 이것을 믿기 힘들며,삼각 함수에 대한 많은 사실을 기억하려고 노력합니다. 그들이 때때로 그것을 느끼는 것은 놀라운 일이 아닙니다.그들의 머리가 가득 차있다.

1 학기 미적분학을 많이 캡슐화하는 약 12 개의 그림이 있습니다-만약 당신이 그 그림에 무엇이 있는지 이해하고 설명 할 수 있다면,당신은 미적분학에서 아주 잘 할 것입니다. 이 또한 믿기 힘들다.

내가 간략하게 언급 할 또 다른 문제는 학생들이 생성하는 대답이 합리적인지 여부를 더 잘 이해할 필요가 있다는 것입니다. 물론 그 전제 조건은 그들이 실제로 그들의 대답이 합리적인지 여부를 스스로에게 묻는 것입니다. 실제로,그들이 묻는다면자신에게 질문,그들은 적절하게 반응 할 가능성이 있습니다. 그래서 목표는 그들에게 그 질문을 얻는 것입니다.질문–그 대답은 합리적입니까?

마지막으로,학생들은 수학 아사 언어의 감각이 필요합니다. 수학에는 단어와그들의 사용에 관한 기호 및 규칙. 우리는 종종 수학의 문법을 무시하고 학생들이 수학을 잘못 말하고 쓸 수있게 해줍니다.이 연습은 스페인 클래스에서 허용되지 않습니다. 그래서 그들은 해야 할 때 부속품을 사용하지 않고 결과적으로 모든 종류의 실수를합니다. 그들은 수학 문장에서 동등한 표현식을 분리하기 위해 등호를 사용하지 않으며,결과적으로 한 표현식에서 다른 표현식으로 양수를 변환합니다. 그리고 그들은 종종 문제에 대한 답을 번역 할 수 없습니다.수학 언어를 영어로. 이 문제는 모두에게 더 많은 관심이 필요합니다.우리.

그리고 이제 우리는 내가 개인적인 문제라고 부르는 것에 도달합니다. 나는 네 점을 만들 것입니다. 하나는 많은 학생들이 먼저 왔다는 것입니다.미적분학은 이미 미적분을 알고 있다고 생각합니다. 그것은 사실 일 수 있지만 그 중 일부는 사실입니다. 그러나,그 믿는 사람들을 위해,위험한 가정이 학기의 첫 4 주 동안 아무것도하지 않습니다…

학생들이 코스에서 성공하더라도 대학에서 동일한 제목을 가진 코스에서 자동으로 성공하지는 않을 것이라고 경고하십시오. 두 과정 모두 동일한 자료를 다루지 만 대학 과정은더 깊이.

두 번째 요점은 학생들이 대학에서 일할 것이라는 것을 알아야한다는 것입니다. 그들 중 일부는 너무 많은 작업없이 얻을 수있을 것입니다–어떤 경우에 그들은 더 어려운 과정을 복용해야합니다–하지만 그들 대부분은 그들이 가지고 과정을 자신의 손 가득해야합니다–그것은 미적분 또는 사전 계산 또는 대수학 여부-그들은 고등학교에서 그 과정에서 좋은 성적을 가지고 있는지 여부.

나는 좋은 학년의 가장 좋은 예측 인자가 첫 번째 시험에서 좋은 성적을 얻고 있음을 배웠다. 차트의 데이터를 확인합니다. 2015 년 12 월 15 일에 확인함. 다른 한편으로,첫 번째 시험에서 70%미만의 점수를 얻은 사람들 중 17%만이 코스에 대해 더 나은 점수를 받았습니다. 일관된 일은 갚는다. 잘 시작하고 일하는 사람들일관되게 잘한다.

미적분학 학생 1 수업

1999 년 가을,2000 년 가을,2001 년 가을 2002

# 학생	70% 또는 첫 번째 시험에 더	69 또는 첫 번째 시험에 덜	전체보기
최종 학년: 씨+또는 더 높은	74	21	105
마지막 급료: 기음 또는 더 낮은	12	102	114
	86	123	219

86% 첫 번째 시험에서 70%이상을 얻은 사람들은 코스에서+또는 더 나은 것을 얻었습니다.;1595>

첫 번째 시험에서 69%이상을 얻은 사람들 중 17%는 수업 첫날에 하는 또 다른 일은 각 학생에게 모든 종류의 것들을 고려하여 코스에서 어떤 학년을 받기를 기대하는지 현실적인 평가를 하고 또 다른 작은 종이에 손을 대는 것입니다. 모든 학생,예외없이,나 또는 더 나은 얻을 것으로 예상!

나는 두 번째 클래스의 학생들에게 이것을보고 한 다음 그들에게 이 차트를 보여줍니다. 나는 그들이 몇 가지 파생 상품에 대한 공식을 알고 있기 때문에 그들이 미적분을 알고 있다고 생각하는 학기를 시작할 수 없다고 말합니다. 나는 그들이 한 학기를 시작할 필요가 있다고 말한다. 아마도 그것은 무관심 할 것입니다. 나는 각자가 그 또는 그녀가 희망하는 학년을 얻을 수 있도록 할 수있는 모든 것을 할 것이라고 말합니다.하지만 결국 그것은 그들에게 달려 있습니다.

이것이 내가 만들고 싶은 세 번째 요점입니다–학생들은 자신의 교육에 대한 책임을 져야합니다. 고등학교에서 당신은 매일 볼 심각하게 자신의 연구를 복용으로 그들을 부추 수 있습니다. 좋아요 그러나 그들이 대학에 갈 때,그들은 그들 자신의 것이고,그들이 그들의 교육에 대한 책임을지는 것을 배웠다면,그들은 힘든 시간을 가질 것입니다.

나는 그들이 책임을 어떻게 얻을 수 있는지 잘 모르겠지만,당신이 시도 할 수있는 겸손한 실험이 있습니다. 다음 2 주 동안 과제를 수집하지 않을 것이라고 말하십시오. 그런 다음 그들에게 물질에 대한 시험을 제공하십시오. 그들 중 일부는 과제를하지 않을 것이며,에 제대로 할 것입니다. 아마 저것에 그들의 성과는 너의 숙제를 모으지 않는것이 그들의 그것을 한것을 필요로 하지 않는것과 같이 해석해 달라고 하면 안된다 고 그들에게 전할 것이다.

자신의 교육에 대한 책임을지는 또 다른 측면은 도움을 청하고 그들에게 제공되는 기회를 이용하는 것입니다. 20%미만이 저를 만나러 왔습니다. 내 학생들의 20%미만이 자신의 질문에 저를 이메일을 보내,나는 그들이 가장 가능성이 몇 시간 내에 응답을 얻을 것이라고 그들에게 있지만. 제 학생 중 3 분의 1 이 디 또는 에프로 끝날 것이지만,그들 중 몇몇은 그들에게 가능한 다양한 종류의 도움을 구할 것입니다.

대부분의 학생들은 아직 도움을 구하는 것이 괜찮다는 것을 배우지 못했습니다. 그들은 기다리는 것이 좋은 전략이 아니라는 것을 알아야합니다. 아마도 당신의 말은그들은 차이를 만들 것입니다.

그것은 나의 발언의 끝으로 나를 데려 간다. 저는 사전 계산 및 미적분 과정에서 학생들의 성공을 방해하는 콘텐츠 문제,프로세스 문제 및 개인적인 문제에 대해 조금 이야기했으며,학생들이 자신의 성공에 대한 장애물을 극복 할 수 있도록 준비하는 방법에 대한 몇 가지 제안을했습니다.

관심을 가져 주셔서 대단히 감사 드리며,이제 이러한 문제에 대해 논의 할 것입니다.