Calculus II – Mer Om Sekvenser
Vis Mobil Varsel Vis Alle Notater Skjul Alle Notater
Seksjon 4-2 : Mer Om Sekvenser
i forrige avsnitt introduserte vi begrepet en sekvens og snakket om grenser for sekvenser og ideen om konvergens og divergens for en sekvens. I denne delen vil vi ta en rask titt på noen ideer som involverer sekvenser.
La oss starte med noen terminologi og definisjoner.
Gitt noen sekvens \(\venstre \ { {{a_n}} \ høyre\}\) har vi følgende.
- vi kaller sekvensen som øker hvis \ ({a_n} < {a_{n + 1}}\) for hver \(n\).
- vi kaller sekvensen avtagende hvis \({a_n} > {a_{n + 1}}\) for hver \(n\).
- hvis \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) er en økende sekvens eller \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) er en avtagende sekvens vi kaller den monotonisk.
- hvis det finnes et tall \(m\) slik at \(m \le {a_n}\) for hver \(n\) sier vi at sekvensen er begrenset nedenfor. Tallet \(m\) kalles noen ganger en nedre grense for sekvensen.
- hvis det finnes et tall \(M\) slik at \({a_n} \ le m\) for hver \(n\) sier vi at sekvensen er begrenset ovenfor. Tallet \(M\) kalles noen ganger en øvre grense for sekvensen.
- hvis sekvensen er både avgrenset under og avgrenset over, kaller vi sekvensen avgrenset.
Merk at for at en sekvens skal øke eller redusere, må den øke / redusere for hver \(n\). Med andre ord, en sekvens som øker for tre vilkår og deretter avtar for resten av vilkårene, er IKKE en avtagende sekvens! Vær også oppmerksom på at en monotonisk sekvens alltid må øke eller den må alltid reduseres.
før vi går videre, bør vi gjøre et raskt punkt om grensene for en sekvens som er begrenset over og / eller under. Vi vil gjøre poenget om lavere grenser, men vi kan like gjerne gjøre det om øvre grenser.
en sekvens er avgrenset nedenfor hvis vi kan finne et tall \(m\) slik at \(m \le {a_n}\) for hver \(n\). Merk imidlertid at hvis vi finner et tall \(m\) å bruke for en nedre grense, vil et tall som er mindre enn \(m\) også være en nedre grense. Også, bare fordi vi finner en nedre grense som ikke betyr at det ikke vil være en «bedre» nedre grense for sekvensen enn den vi fant. Med andre ord er det et uendelig antall nedre grenser for en sekvens som er begrenset under, noen vil være bedre enn andre. I min klasse alt som jeg er ute etter vil være en lavere grense. Jeg trenger ikke nødvendigvis den beste nedre grensen, bare et tall som vil være en nedre grense for sekvensen.
La oss ta en titt på et par eksempler.
- \(\venstre \ { {- {n^2}} \ høyre\} _ {n = 0}^ \ infty \)
- \(\venstre\ { {{{\venstre ({- 1} \ høyre)}^{n + 1}}} \ høyre\}_{n = 1}^ \ infty \)
- \(\venstre\{ {\displaystyle \frac{2} {{n^2}}} \høyre\}_{n = 5}^\infty \)
Vis Alle Løsninger Skjul Alle Løsninger
denne sekvensen Er en synkende sekvens (og dermed monotonisk) fordi,
\
for hver \(n\).
også, siden sekvensbetingelsene vil være enten null eller negativ, er denne sekvensen begrenset over. Vi kan bruke et positivt tall eller null som bundet, \(M\), men det er standard å velge minst mulig bundet hvis vi kan, og det er et fint tall. Så, vi velger \(M = 0\) siden,
\
denne sekvensen er ikke begrenset under, men siden vi alltid kan komme under ethvert potensial bundet ved å ta \(n\) stort nok. Derfor, mens sekvensen er avgrenset over det er ikke avgrenset.
som et sidenotat kan vi også merke at denne sekvensen divergerer (til \ (- \infty \) hvis vi vil være spesifikke).
b \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Vis Løsning
sekvensbetingelsene i denne sekvensen veksler mellom 1 og -1 og så sekvensen er verken en økende sekvens eller en avtagende sekvens. Siden sekvensen verken er en økende eller avtagende sekvens, er den ikke en monotonisk sekvens.
sekvensen er avgrenset, men siden den er avgrenset over med 1 og avgrenset under med -1.
Igjen kan vi merke seg at denne sekvensen også er divergerende.
c \(\venstre \ { {\displaystyle \ frac{2} {{n^2}}} \høyre\}_{n = 5}^\infty \) Vis Løsning
denne sekvensen er en synkende sekvens (og dermed monotonisk) siden,
\
termene i denne sekvensen er alle positive og så er den avgrenset under med null. Også, siden sekvensen er en avtagende sekvens, vil den første sekvensperioden være den største, og så kan vi se at sekvensen også vil bli begrenset over \(\frac{2}{{25}}\). Derfor er denne sekvensen begrenset.
Vi kan også ta en rask grense og merke seg at denne sekvensen konvergerer og grensen er null.
La Oss nå jobbe med et par flere eksempler som er utformet for å sikre at vi ikke blir for vant til å stole på vår intuisjon med disse problemene. Som vi nevnte i forrige avsnitt, kan vår intuisjon ofte føre oss på villspor med noen av konseptene vi skal se på i dette kapitlet.
- \(\venstre \ { {\displaystyle \ frac{n}{{n + 1}}} \høyre\}_{n = 1}^ \ infty \)
- \(\venstre\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}} {{n^4} + 10000}} \høyre\}_{n = 0}^\infty \)
Vis Alle Løsninger Skjul Alle Løsninger
vi starter med den begrensede delen av dette eksemplet først og deretter komme tilbake og håndtere det økende/avtagende spørsmålet siden det er der elevene ofte gjør feil med denne typen sekvens.
først er \(n\) positiv og så sekvensbetingelsene er alle positive. Sekvensen er derfor begrenset under med null. På samme måte er hver sekvensbetegnelse kvotienten til et tall dividert med et større tall, og det er garantert å være mindre enn en. Sekvensen er da begrenset over av en. Så, denne sekvensen er begrenset.
la Oss nå tenke på det monotoniske spørsmålet. For det første vil studentene ofte gjøre feilen ved å anta at fordi nevneren er større, må kvotienten reduseres. Dette vil ikke alltid være tilfelle, og i dette tilfellet ville vi være feil. Denne sekvensen øker som vi ser.
for å bestemme den økende / avtagende naturen til denne sekvensen må vi ty Til Kalkulus i-teknikker. Først vurdere følgende funksjon og dens deriverte.
\
Vi kan se at det første derivatet alltid er positivt, og så fra Kalkulator jeg vet vi at funksjonen da må være en økende funksjon. Så, hvordan hjelper dette oss? Legg merke til at
\
Derfor fordi \(n < n + 1\) og \(f\venstre( x \høyre)\) øker, kan vi også si at
\
med andre ord må sekvensen øke.
Merk at nå som vi vet at sekvensen er en økende sekvens, kan vi få en bedre nedre grense for sekvensen. Siden sekvensen øker, må den første termen i sekvensen være den minste termen, og siden vi starter ved \(n = 1\), kan vi også bruke en nedre grense av \(\frac{1}{2}\) for denne sekvensen. Det er viktig å huske at et tall som alltid er mindre enn eller lik alle sekvensbetingelsene, kan være en nedre grense. Noen er imidlertid bedre enn andre.
en rask grense vil også fortelle oss at denne sekvensen konvergerer med en grense på 1.
Før du går videre til neste del er det et naturlig spørsmål som mange studenter vil ha på dette punktet. Hvorfor brukte Vi Kalkulator for å bestemme sekvensens økende / avtagende natur når vi bare kunne ha plugget inn et par \(n\) og raskt bestemt det samme?
svaret på dette spørsmålet er neste del av dette eksemplet!
b \(\venstre\{ {\displaystyle \frac {{n^3}}} {{n^4} + 10000}} \høyre\}_{n = 0}^\infty \) Vis Løsning
dette er en rotete utseende sekvens, men det må være for å gjøre poenget med denne delen.
legg først merke til at, som med forrige del, er sekvensbetingelsene alle positive og vil alle være mindre enn en (siden telleren er garantert å være mindre enn nevnen) og så er sekvensen begrenset.
La Oss nå gå videre til det økende / avtagende spørsmålet. Som med det siste problemet, vil mange studenter se på eksponentene i telleren og nevnen og bestemme basert på at sekvensbetingelsene må reduseres.
Dette er imidlertid ikke en avtagende sekvens. La oss ta en titt på de første vilkårene for å se dette.
\
de første 10 betingelsene i denne sekvensen er alle økende og så klart kan sekvensen ikke være en avtagende sekvens. Husk at en sekvens bare kan reduseres dersom ALLE vilkårene minker.
nå kan Vi ikke gjøre en annen vanlig feil og anta at fordi de første vilkårene øker, må hele sekvensen også øke. Hvis vi gjorde det, ville vi også ta feil, da dette heller ikke er en økende sekvens.
denne sekvensen er verken avtagende eller økende. Den eneste sikre måten å se dette på er Å gjøre Kalkulatoren i tilnærming til økende / avtagende funksjoner.
I dette tilfellet trenger vi følgende funksjon og dens derivat.
\
denne funksjonen har følgende tre kritiske punkter,
\{{30000}} \ca 13.1607,\hspace{0.25 in}\,\,\,\, x = – \sqrt {{30000}} \ ca – 13.1607\]
hvorfor kritiske punkter? Husk at disse er de eneste stedene hvor derivatet kan endre tegn! Vår sekvens starter ved \(n = 0\) og så kan vi ignorere den tredje siden den ligger utenfor verdiene til \(n\) som vi vurderer. Ved å plugge inn noen testverdier av \(x\) kan vi raskt bestemme at derivatet er positivt for \(0 < x < \sqrt{{30000}} \ ca 13.16\) og så øker funksjonen i dette området. På samme måte kan vi se at derivatet er negativt for \(x > \sqrt{{30000}} \ ca 13,16\) og så vil funksjonen reduseres i dette området.
så vil vår sekvens øke for \(0 \ le n \ le 13\) og redusere for \(n \ ge 13\). Derfor er funksjonen ikke monotonisk.
til slutt, merk at denne sekvensen også vil konvergere og har en grense på null.
Så, som det siste eksemplet har vist, må vi være forsiktige med å gjøre antagelser om sekvenser. Vår intuisjon vil ofte ikke være tilstrekkelig til å få det riktige svaret, og VI KAN ALDRI gjøre antagelser om en sekvens basert på verdien av de første vilkårene. Som den siste delen har vist, er det sekvenser som vil øke eller redusere for noen få vilkår og deretter endre retning etter det.
Merk også at vi sa «første få vilkår» her, men det er helt mulig for en sekvens å redusere for de første 10.000 vilkårene og deretter begynne å øke for de resterende vilkårene. Med andre ord er det ingen «magisk» verdi av \(n\) som alt vi trenger å gjøre er å sjekke opp til det punktet, og så vet vi hva hele sekvensen vil gjøre.
den eneste gangen vi kan unngå Å bruke Kalkulus i-teknikker for å bestemme den økende/avtagende naturen til en sekvens, er i sekvenser som del (c) I Eksempel 1. I dette tilfellet økte \(n\) bare (faktisk økt) nevneren og så var vi i stand til å bestemme oppførselen til sekvensen basert på det.
i Eksempel 2 økte imidlertid økende \(n\) både nevneren og telleren. I tilfeller som dette er det ingen måte å avgjøre hvilken økning som vil «vinne ut» og føre til at sekvensbetingelsene øker eller reduseres, og så må vi ty Til Kalkulus i-teknikker for å svare på spørsmålet.
vi lukker denne delen med en fin setning som vi vil bruke i noen av bevisene senere i dette kapitlet.
Teorem
hvis \(\venstre\{ {{a_n}} \høyre\}\) er avgrenset og monotonisk, er \(\venstre \ { {{a_n}} \ høyre\}\) konvergent.
Vær forsiktig så du ikke misbruker denne setningen. Det sier ikke at hvis en sekvens ikke er begrenset og / eller ikke monotonisk at den er divergerende. Eksempel 2b er et godt eksempel. Sekvensen i det eksemplet var ikke monotonisk, men det konvergerer.
Merk også at vi kan lage flere varianter av denne setningen. Hvis \(\left \ { {{a_n}} \ right\}\) er avgrenset over og øker, så konvergerer den og likeledes hvis \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) er avgrenset under og avtar, så konvergerer den.