Cholesky Dekomponering Med R Eksempel

BY admin
|

metode for å dekomponere en positiv-bestemt matrise. En positiv-bestemt matrise er definert som en symmetrisk matrise der for alle mulige vektorer \(x\), \(x ‘ Ax > 0\). Cholesky dekomponering og andre dekomponeringsmetoder er viktige da det ikke ofte er mulig å utføre matriseberegninger eksplisitt.

Cholesky dekomponering, også kjent som Cholesky faktorisering, er enmetode for dekomponering av en positiv definitematrix. Apositive-definitive matrise er definert som en symmetrisk matrise der for alle mulige vektorer \(x\), \(x ‘ Ax > 0\). Cholesky dekomponering og otherdecomposition metoder er viktig som det er ikke ofte mulig toperform matrise beregninger eksplisitt. Noen anvendelser Av Choleskydecompositioninkludere løse systemer av lineære ligninger, Monte Carlo simulering, ogkalman filtre.

Kolesky dekomponeringsfaktorer en positiv-bestemt matrise \(A\) inn i:

$ $ A = LL^T$ $

Hvordan Dekomponere En Matrise Med Cholesky Dekomponering

det finnes mange metoder for å beregne en matrise dekomponering medcolesky tilnærming. Dette innlegget tar en lignende tilnærming til detteimplementering.

trinnene i factoring matrisen er som følger:

  1. Beregne \(L_1 = \sqrt{a_{11}}\)

  2. For \(k = 2, \prikker, n\):

  3. Finn \(l_{k-1} l_k = a_k\) for \(l_k\)

  4. \(l_{kk} = \sqrt{a_{kk} – l_k^T l_k}\)
  5. \(L_k =
    \ beginn{bmatrix} l_{k-1} & 0 \ \ l_k^t & l_{kk}\end{bmatrix}

    \)

Et Eksempel På Cholesky Dekomponering

Vurder følgende matrise \(A\).

$ $ A = \begynne{bmatrix} 3 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{bmatrix} $ $

matrisen \(A\) ovenfor er hentet fra Øvelse 2.16 i boken Methods ofMultivariate Analysis Av Alvin Rencher.

Begynn med å finne \(L_1\).

$ $ L_1 = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{3} = 1.732051 $$

Neste finner vi \(l_2\)

$$ l_2 = \frac{a_{21}}{L_1} = \frac{4}{\sqrt{3}} = 2.309401 $$

deretter \(l_{22}\) kan beregnes.

$ $ l_{22} = \sqrt{a_{22} – l_2^t l_2} = \sqrt{8 – 2.309401^2} = 1.632993 $$

vi har nå \(L_2\) matrisen:

$ $ L_2 = \ beginn{bmatrix} L_1 & 0 \\ l_2^t & l_{22} \ end{bmatrix} = \ beginn{bmatrix}} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 \ end{bmatrix}$ $

siden matrisen er \(3 \ ganger 3\), krever vi bare en iterasjon.

med \(L_2\) beregnet, \(l_3\) kan bli funnet:

$$ l_3 = \frac{a_3}{L_2} = a_3 L_2^{-1} = \ beginn{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end{bmatrix}^{-1} \ beginn{bmatrix} 3 \ \ 6 \ end{bmatrix}$$
$$l_3 = \beginn{bmatrix} 1,7320508 \ \ 1,224745 \ end{bmatrix}$$

\(l_{33}\) er da funnet:

$ $ l_{33} = \sqrt{a_{33} – l_3^t l_3} = \sqrt{9 – \ begin{bmatrix}1.7320508 & 1.224745 \ end{bmatrix} \ begin{bmatrix}1.7320508 \ \ 1.224745 \ slutt{bmatrix}} = 2.12132 $$

Som gir oss\ (L_3\) matrisen:

$ $ L_3 = \ begin{bmatrix} 1.7320508 & 0 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 & 0 \\ 1.7320508 & 1.224745 & 2.12132\end{bmatrix}$ $

\(L_3\) matrisen kan da tas som løsningen. Transposing thedecomposition endrer matrisen til en øvre trekantet matrise.

Cholesky Dekomponering I R

funksjonen chol() utfører Cholesky dekomponering på apositive-definitive matrise. Vi definerer matrisen \(A\) som følger.

A = as.matrix(data.frame(c(3,4,3),c(4,8,6),c(3,6,9)))colnames(A) <- NULLA
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

deretter faktor matrisen med chol() – funksjonen.

A.chol <- chol(A)A.chol
## ## 1.732051 2.309401 1.732051## 0.000000 1.632993 1.224745## 0.000000 0.000000 2.121320

funksjonen chol() returnerer en øvre trekantet matrise. Transposing den dekomponerte matrisen gir en lavere trekantet matrise som i vårt resultat ovenfor.

t(A.chol)
## ## 1.732051 0.000000 0.00000## 2.309401 1.632993 0.00000## 1.732051 1.224745 2.12132

vårt resultat ovenfor samsvarer med utgangen av funksjonen chol().

vi kan også vise identiteten \(A = LL^T\) med resultatet.

t(A.chol) %*% A.chol
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

Sammendrag

Cholesky dekomponering brukes ofte når direkte beregning av en matrise ikke er optimal. Metoden er ansatt i en rekkeapplikasjoner som multivariat analyse på grunn av sin relativteffektiv natur og stabilitet.

(2011). Hentet frahttp://www.seas.ucla.edu/~vandenbe/103 / forelesninger / chol.pdf

Algoritme For Cholesky dekomponering. Hentet frahttp://www.math.sjsu.edu/~foster / m143m / cholesky.pdf

Cholesky dekomponering (2016). På Wikipedia. Hentet frahttps: / / en.wikipedia.org / wiki / Cholesky_decomposition

Rencher, Ac (2002). Metoder for multivariat analyse. New York: J. Wiley.

  • Kvadratisk Diskriminantanalyse Av Flere Grupper
  • Kvadratisk Diskriminantanalyse Av To Grupper
  • Diskriminantanalyse Av Flere Grupper
  • Lineær Diskriminantanalyse For Klassifisering Av Flere Grupper
  • Lineær Diskriminantanalyse For Klassifisering Av To Grupper