Fixed-point teorem
Fixed-point teorem, noen av ulike teoremer i matematikk som arbeider med en transformasjon av punktene i et sett i poeng av samme sett der det kan bevises at minst ett punkt forblir fast. For eksempel, hvis hvert reelt tall er kvadrert, forblir tallene null og en fast; mens transformasjonen hvor hvert tall økes med en, etterlater ingen tall fast. Det første eksemplet, transformasjonen som består av kvadrering av hvert tall, når det brukes på det åpne intervallet av tall større enn null og mindre enn ett (0,1), har heller ingen faste punkter. Situasjonen endres imidlertid for det lukkede intervallet, med endepunktene inkludert. En kontinuerlig transformasjon er en der nabopunkter forvandles til andre nabopunkter. (Se kontinuitet. Brouwers fastpunktsteorem sier at enhver kontinuerlig transformasjon av en lukket disk (inkludert grensen) i seg selv etterlater minst ett punkt fast. Teoremet gjelder også for kontinuerlige transformasjoner av punktene i et lukket intervall, i en lukket ball eller i abstrakte høyere dimensjonale sett som er analoge med ballen.
Fastpunkts teoremer er svært nyttige for å finne ut om en ligning har en løsning. For eksempel, i differensialligninger, forvandler en transformasjon kalt en differensialoperatør en funksjon til en annen. Å finne en løsning av en differensialligning kan da tolkes som å finne en funksjon uendret av en relatert transformasjon. Ved å vurdere disse funksjonene som poeng og definere en samling av funksjoner som er analog med den ovennevnte samlingen av punkter som omfatter en disk, kan teoremer som er analoge Med Brouwers fastpunktsteorem, bevises for differensialligninger. Den mest kjente teorem av denne typen Er leray-Schauder teorem, utgitt I 1934 Av Franskmannen Jean Leray Og Pole Julius Schauder. Hvorvidt denne metoden gir en løsning (dvs. om et fast punkt kan bli funnet eller ikke) avhenger av differensialoperatorens eksakte natur og samlingen av funksjoner som en løsning søkes fra.