Hva Jeg Har Lært Fra Mange Års Undervisning Kalkulus Til Første-YearCollege Studenter

Hva Jeg Har Lært Fra Mange Års Undervisning Kalkulus

Til Første-Års Studenter

AMTNJ Conference

Holde Matematikk På Sporet: Bygge Bro Over Gapet

Mellom Videregående Skole Og Høyskole Matematikk

14 januar 2005

Brookdale Community College

Joseph G. Rosenstein (Rutgers-NewBrunswick))

Hvorfor har så mange førsteårsstudenter problemer medkalculus når de synes å være godt forberedt?

siste gang jeg lærte første semester kalkulus 41% av the61 studenter i klassen endte opp med grader Av C eller verre.

Her er noen flere data. 82% av elevene i klassen hadde et semester eller mer av kalkulator i videregående skole, og 73% hadde et år eller mer av kalkulator i videregående skole. (35% hadde TIL OG MED ET år MED AP-Kalkulator.) For alle kontoer er dette en gruppe som ergodt forberedt på høyskolekalkulator.

den dårlige nyheten er at hvis vi legger dataene sammen, kan vi konkludere med at minst 23% av elevene mine hadde tatt et kalkulus kurs i videregående skole, men ikke hadde klart å gjøre det bedre Enn C i et kalkulus kurs i college.

Hvorfor er det så mange studenter som har tatt substantialmath kurs i videregående skole, men er mislykket i kalkulus?

i denne korte talen vil jeg diskutere tre typer problemer-innhold, prosess og personlige problemer – alt om 15 minutter og deretter åpne gulvet for diskusjon.

under «innhold» er hovedproblemet ikke at studentene ikke forstår begrepene kalkulator, det er at de ikke har anlegg med aritmetikk og algebra.

en student observerte en gang at et bestemt problem innebar det han kalte «intens algebra» – som han mente at han måtte tegne på mye av sin algebra kunnskap for å utføre beregningene i asingle problem. Dette skjer foreksempel når elevene må finne derivatet av funksjonen f(x) =1 / (x + 3) fra definisjonen-det vil si som i gjennomsiktigheten, må definn grensen for en forskjellskvotient, da h går til null. Tenk på trinnene de må ta tilløse dette problemet. De må:

skrive et korrekt uttrykk for f (x+h) gitt ligningenfor f(x);

kombinere to fraksjoner i telleren til en enkeltfraksjon;

kombinere en sum og forskjell av vilkår;

transform en brøkdel som har en brøkdel i tellereninn i en som ikke gjør det;

finn en felles faktor for telleren og nevneren og avbryt det riktig;

ta en grense og uttrykk resultatet i passende form.

Ikke bare må de kunne utføre hver av disse trinnene individuelt, de trenger også et fungerende høyt nivå overvåkingssystem som ser det «store bildet» som er involvert i å finne derivatet og detforteller dem hva de trenger å gjøre i hvert trinn.

likevel gjør mange av dem fortsatt feil som har vært vedvarende siden mellomkarakterer-for eksempel feilaktig kansellering av vilkårbrudd.

et spørsmål som dette er gitt på midtveis og på finaleksamen, og selv om de alle vet at dette er hva de forventes å være i stand til å gjøre, er mange av dem ikke i stand til å fullføre oppgaven riktig.

Når vi snakker OM nctm-standardene, opptrer vi ofte som omprosess-standardene har erstattet innholdsstandardene, som forståelsehar erstattet anlegget. Det er ikke saken. Vi ønsker å fokusere på reasoningand problemløsning, men vi ønsker også våre studenter å ha appropriatefacility med matematiske operasjoner.

Hvilket anlegg er «passende»? Det avhenger av studenten. De som kommer til å ende opp med å ta fleresemestere av kalkulator på college er definitivt ulempe hvis de har problemer med aritmetikk og algebra.

på den annen side, de som er usannsynlig å fortsette å beregnevil ikke trenge intens algebra. Butassuming at en bestemt student er i den kategorien kan ende opp med å bli aselvoppfyllende profeti.

en digresjon på algebra ferdigheter. Mange har kritisert Rutgers ‘ placement test på grunnlag som ikke er i samsvar med standardene, med vårreform innsats, siden den fokuserer på ferdigheter. Men jeg må fortelle deg at det er et godt mål på sannsynligheten for suksess i precalculus og calculus, og har vært det de siste 20 årene siden vi introduserte det. Det måler studentenes anlegg med forutsetningskompetanse … fordi anlegg med forutsetninger er avgjørende for å lykkes i disse kursene.

jeg vil dele med deg min personlige erfaring. For noen år siden scorede en av mine døtre like under cut-off for precalculus. Siden jeg har litt innflytelse, var jeg i stand til å registrere henne inprecalculus, resonnement at hvis hun hadde problemer, hadde hun tilgang til agood tutor. Det var riktig … men det var også en feil – jeg endte med å gjøre mye veiledning. Hun var ikke klar for precalculus.

det er slutten på digresjonen.

nå er det nødvendig med en avklaring. Når vi sier at anlegget i algebra er viktig for suksess i kalkulator, mener vi ikke bare å lære regler for algebraiske manipulasjoner. Facility inalgebra betyr også å forstå matematikken som ligger til grunn for demregler. Når elevene gjør feil, er de ofte et resultat av misforståelse av matematikken, og vi trenger alle å bruke mer tid på å avdekke de feilaktige ideene som førte til disse feilene, og hjelpe elevene til å erstatte dem med mer nøyaktige matematiskforståelser. Det betyr å diskutere feil i klassen og med elevene individuelt, og ikke bare markere demfeil på lekser og tester.

Facility i algebra betyr også å kunne trekke på en ‘ sentire matematisk erfaring for å finne ut et passende neste trinn i aproblem – det er det jeg refererte til ovenfor som å overvåke ens fremgang …å vite hva de skal gjøre neste.

det bringer oss til «prosessproblemer».

vi har alle en tendens til å dele opp det vi lærer-delvis fordi vi kommer over ny informasjon lineært og vi må lagre detet sted. Men det er veldig viktig atlæringen er tilkoblet. Alt vi kan gjøre som lærere for å lage forbindelser mellom emner, for å fokusere elevene pådet store bildet, er veldig viktig.

Å Gi eksempler og lekser problemer som knytter differentconcepts er viktig, som gir vanlige kumulative undersøkelser. Ellers lærer elevene hva de trenger å vite for denne ukens quiz og så glem det.

i noen skoler belønnes elevenes suksess ved å unnta dem fra midtveis-og avsluttende eksamener. Ibelieve at denne praksisen er en alvorlig feil-studentene får ikke en sjanse til å trekke sammen de forskjellige kunnskapsstykkene de har tilegnet seg. Videre forbereder det seg ikke på kumulative undersøkelser som er rutinemessige på college. Langs disse linjene, en rapport utgitt threeweeks ago bemerket at å ta AP kalkulus i videregående skole var ikke en prediktor ofsuccess på college, selv om scoring godt PÅ AP eksamen var.

Vi må hjelpe våre studenter med å få det store bildet. En del av det innebærerdecompartmentalizing og integrere kunnskap, som vi har diskutert. Men det er også noen andre aspekter.

en oppfordrer elevene til å ha multipleperspectives. For eksempel bør devære kjent med ulike aspekter av ideen om en funksjon – som en ligning, som regel, som en graf, som et bord, som en inngangsutgangsmaskin-og kunneflytt frem og tilbake lett blant disse representasjonene.

på Samme måte bør de kunne bevege seg frem og tilbake mellom algebra og geometri. Når de diskuterer løsningen av samtidige lineære ligninger, bør de gjenkjenne at det er det samme som å spørre hvor to linjer krysser. Når du gir en kvadratisk funksjon, bør de kunne visualisere parabolen som den definerer – kanskje ikke alle detaljer, men de bør absolutt være oppmerksomme på at det definerer en parabola,og vet om den åpner opp eller ned. Ikke bare bør de kunne visualisere en parabola, de burde faktisk gjøre det. Ligningen oggrafen skal være to visninger av samme objekt.

Og når du finner løsningene av en kvadratisk ligning, bør de kunne oversette det med anlegg til grafen for den kvadratiske funksjonen-slik at hvis røttene til en kvadratisk funksjon er, for eksempel 3 +/- sqrt2, bør de kunne bilde om hvor grafen ofthe funksjonen krysser x-aksen.

på den første dagen i klassen gir jeg elevene et lite skrap avpapir-1/8 av et 8. 5×11 ark og be dem om å finne vinkelens tangenthvis sinus er 3/5. Noen av studentertegne en trekant; nesten alle av demda få det riktige svaret. Noen avstudentene tegner ikke en trekant; ingen av dem får det riktige svaret.

Siden jeg ikke ber dem om å sette navnene sine på avisene, kan Ican ikke relatere løsninger på dette problemet til karakterene i kurset, men myguess er at det ville være en høy grad av korrelasjon. Studenter som kan visualisere algebra, hvem kanflytt lett fra algebra til geometri og tilbake, vil trolig lykkes incalculus.

i andre klasse rapporterer jeg til studentene resultatene av dette eksperimentet og forsterker betydningen av visualisering. Jeg oppfordrer dem til å slå på deres visualiseringsbryter slik at de tegner et bilde i deres sinn av eachalgebraic uttrykk som er i boken eller på tavlen.

jeg påpeker at et bilde kan inneholde mye informasjon. For eksempel, hvis de kan visualisere og tolke grafene til sinus -, cosinus-og tangentfunksjonene, trenger de bare å huske tre fakta – at synd 30 =½, at tan 45 =1, og thatsin2x + cos2x =1 . Omtrent alt annet de trenger å vite om trigonometri kan avledesfra disse. Spesielt trenger de ikke å huske mange og mange fakta. Det er det de må gjøre hvis de ikke forstår bildene. Noen finner dette vanskelig å tro, og vedvarendei prøver å huske mange fakta om trigonometriske funksjoner. Det er ikke rart at de noen ganger føler dethodene deres er fulle.

det er omtrent et dusin bilder som innkapsler mye avførste semester kalkulator – hvis du forstår og kan forklare hva som er i dissebilder, så vil du gjøre det veldig bra i kalkulator. De finner dette vanskelig å tro også.

Et annet problem som jeg vil nevne kort, er at studentene må ha en bedre følelse av om et svar de genererer er rimelig. En forutsetning for at, ofcourse, er at de faktisk spørre seg selv om deres svar arereasonable. Egentlig, hvis de spørselv spørsmålet, vil de sannsynligvis svare på riktig måte. Så målet er å få dem til å spørre thatquestion – er det svaret rimelig?

til slutt må studentene ha følelsen av matematikk som språk. Matematikk har ord ogsymboler og regler om deres bruk. Vi ignorerer ofte matematikkens grammatikk, og lar våre studenter snakke og skrive matematikk feil – en praksis som ikke ville være tillatt i En Spanskklasse. Så de ender opp med å ikke bruke foreldre når de burde og gjør alle slags feil som et resultat. De bruker ikke likhetstegnet til å separere like uttrykk i deres matematiske setninger, og som et resultat, quantitieswander ut av ett uttrykk og inn i et annet. Og de er ofte ikke i stand til å oversette sine svar på problemer framatematisk språk til engelsk. Dette problemet krever mer oppmerksomhet fra alleav oss.

Og nå kommer vi til det jeg kalte personlige problemer. Jeg vil gjøre fire poeng. En er at mange studenter kommer til firstsemester kalkulus tenker at de vet kalkulus allerede. Det kan være sant-men det er bare sant fornoen av dem. Men det er en farlig antagelse, for de som trordette vil ikke gjøre noe for de første fire ukene av semesteret … og dafinn at det er for sent å hente seg.

vær så snill å advare elevene dine om at selv om de kan være vellykket i kurset ditt, vil de ikke automatisk lykkes i acourse med samme tittel på college. Selv om begge kursene dekker det samme materialet, går høyskolekurset inn i mer dybde.

et annet punkt er at elevene trenger å vite at de willhave å jobbe på college. Noen av dem vil kunne klare seg uten for mye arbeid – i så fall bør de ha en vanskeligere kurs-men de fleste vil ha hendene fulle med kurset de tar-enten det er kalkulator eller precalculus oreven algebra – om de fikk en god karakter i det kurset i videregående skole.

jeg har lært at den beste prediktoren for en god karakter inCalc 1 får en god karakter på den aller første eksamenen. Se på dataene i diagrammet. Det viser at 86% av studentene som scored70% på første eksamen fikk karakteren C + eller bedre for kurset. På den annen side fikk bare 17% av de som var mindre enn 70% på første eksamen en karakter På C + eller bedre for kurset. Konsekvent arbeid lønner seg. De som starter godt og jobberkonsekvent gjør det bra.

Studenter i Min Kalkulus 1 klasser

Høst 1999, Høst 2000, Høst 2001, Høst 2002

# av studenter	70% eller mer på første eksamen	69 eller mindre på første eksamen	Totalt
Endelig Karakter: C+ eller høyere	74	21	105
Endelig Karakter: C eller lavere	12	102	114
	86	123	219

86% ofthe som fikk 70% eller bedre på den første testen fikk En C + eller bedre i kurset;17% av de som fikk 69% eller verre på den første testen, fikk En C + eller bedre i kurset

en Annen ting jeg gjør på den første dagen i klassen, er å spørre hver student om å gjøre en realistisk vurdering av hvilken klasse han eller hun forventer å komme på kurset-ta alle slags ting i betraktning-og gi det på en annen liten papirlapp. Hver student, uten unntak, forventer å få En B eller bedre!

jeg rapporterer dette til elevene i andre klasse og såvis dem dette diagrammet. Jeg forteller dem at de ikke kan starte semesteret og tenke at fordi de kjenner formlene for noen få derivater de kjenner kalkulus. Jeg forteller dem at de må starte semesteret med å jobbe påkalkulus. Kanskje det gjør adifference. Jeg forteller dem at jeg vil gjøre alt jeg kan for å hjelpe hver og en med å få karakteren han eller hun håper å få-men til slutt er det opp til dem.

det er det tredje punktet jeg vil gjøre – elevene må lære å ta ansvar for sin egen utdanning. I videregående skole ser du themevery dag og kan overtale dem til å ta sine studier på alvor. Det er flott. Men når de kommer til college, er de alene, og hvis de har lært å ta ansvar for sin utdanning, vil de ha en tøff tid.

jeg er ikke sikker på hvordan jeg skal få dem til å ta ansvar, menher er et beskjedent eksperiment som du kan prøve. Fortell dem at du ikke skal samle oppdrag for de neste touker. Gi dem deretter en eksamen påmateriale. Noen av dem vil ikke gjøre oppgavene og vil gjøre dårlig påeksamen. Kanskje deres prestasjoner på thatexam vil formidle til dem at du ikke samle lekser bør ikke havebeen tolket som deres ikke trenger å gjøre det.

Et annet aspekt ved å ta ansvar for ens utdanning ber om hjelp, og utnytter mulighetene som er tilgjengelige for dem. Færre enn 20% av mystudents kommer til å se meg, selv om jeg regelmessig oppfordrer dem til å doso. Færre enn 20% av elevene mine everemail meg med sine spørsmål, selv om jeg forteller dem at de mest sannsynlig vil få svar innen få timer. Selv om en tredjedel av elevene mine vil ende Opp Med En D eller F, vil få av dem oppsøke de ulike typer hjelp som er tilgjengelige for dem.

de fleste studenter har ennå ikke lært at det er ok for dem å søke hjelp – de har ikke lært at hvis de har problemer med kurset, bør de søke hjelp så snart som mulig. De trenger å vite at venter ikke er brastrategi. Kanskje du forteller at tothem vil gjøre en forskjell.

det bringer meg til slutten av mine kommentarer. Jeg har snakket litt om innholdsproblemene, prosessproblemene og de personlige problemene som forstyrrer studenters suksess i precalculus og calculus kurs, og jeg har gitt deg noen forslag til hvordan du kan bidra til å forberede studentene til å overvinne hindringene for deres suksess.

Tusen Takk for din oppmerksomhet, og vi vil nå haen diskusjon om disse problemene.