Kalkulus
I dette emnet vil vi studere hvordan vi integrerer visse kombinasjoner som involverer produkter og krefter av trigonometriske funksjoner.
vi vurderer \(8\) tilfeller.
for å evaluere integraler av produkter av sinus og cosinus med forskjellige argumenter, bruker vi identitetene
Integraler av skjemaet \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}\)
vi antar her at kreftene \(m\) og \(n\) er ikke-negative heltall.
for å finne et integral i dette skjemaet, bruk følgende substitusjoner:
integralene av typen \(\int {{{\sin }^n}xdx} \) og \(\int {{{\cos }^n}xdx} \) kan evalueres med reduksjonsformler
\
\
Integraler av formen \({\large\int\normalsize} {{\tan^n}xdx} \)
integandets kraft kan reduseres ved hjelp av trigonometrisk identitet \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) og reduksjonsformelen
\
Integraler av skjemaet \({\large\int\normalsize} {{{\cot }^n}xdx} \)
integandens kraft kan reduseres ved hjelp av trigonometrisk identitet \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^n}x\) og reduksjonsformelen
\
Integraler av skjemaet \({\large \ int \ normalsize} {{\sec^n}xdx}\)
denne typen integraler kan forenkles ved hjelp av reduksjonsformelen:
\
Integraler av skjemaet \({\large \ int \ normalsize} {{\csc^n}xdx}\)
på Samme måte som de forrige eksemplene, kan denne typen integraler forenkles med formelen
\
Integraler av skjemaet \({\large\int\normalsize} {{\tan^m}x\, {\sec^n}xdx}\)
Integraler av skjemaet \({\large\int \ normalsize} {{\cot^m}x\, {\csc^n}xdx} \)
Løst Problemer
Klikk eller trykk på et problem for å se løsningen.
Eksempel 1.
Beregn integralet \({\large\int \ normalsize} {{\sin^3}xdx}.\)
Løsning.
La \(u = \cos x,\) \(du = -\sin xdx.\ ) Deretter
Eksempel 2.
Evaluer integralet \({\large\int\normalsize} {{\cos^5}xdx}.\)
Løsning.
Å gjøre substitusjonen \(u = \ sin x,\) \(du = \cos xdx\) og bruke identiteten \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x,\) får vi
Eksempel 3.
Finn integralet \({\large\int\normalsize} {{\sin^6}xdx}.\)
Løsning.
ved å Bruke identiteter \({\sin ^2}x = {\large\frac{{1 – \cos 2x}}{2}\normalsize}\) og \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\) kan vi skrive:
Beregn integralene i sistnevnte uttrykk.
\
For å finne integralet \({\large \ int \ normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) gjør vi substitusjonen \(u = \sin 2x,\) \(du=\) \ (2 \ cos 2xdx.\ ) Så
derfor er det første integralet
Eksempel 4.
Finn integralet \(\int {{{\sin }^2}x\, {{{\cos }^3}x}dx}.\)
Løsning.
kraften til cosinus er merkelig, så vi gjør substitusjonen
\
vi omskriver integralet i form av \(\sin x\) for å oppnå:
Eksempel 5.
Beregn integralet \({\large \ int \ normalsize} {{{\sin }^2}x\, {{\cos }^4}xdx}.\)
Løsning.
Vi kan skrive:
\
vi konverterer integranden ved hjelp av identitetene
\
Dette gir
Eksempel 6.
Evaluer integralet \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^4}xdx}.\)
Løsning.
da sinusens kraft er merkelig, bruker vi substitusjonen
\
integralet er skrevet som
\
Den Pythagoranske identitet,
\
Derfor
Eksempel 7.
Evaluer integralet \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^5}xdx}.\)
Løsning.
vi ser at begge krefter er merkelige, så vi kan erstatte enten \(u = \ sin x\) eller \(u = \cos x.\ ) Å velge den minste eksponenten, har vi
\
integralet tar formen
\
Bruk Av Pythagoras identitet,
\
vi kan skrive
Eksempel 8.
Evaluer integralet \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^3}xdx}.\)
Løsning.
\
Den Pythagoranske identitet,
\
så vi får