Calculus
In dit onderwerp zullen we onderzoeken hoe we bepaalde combinaties van producten en krachten van trigonometrische functies kunnen integreren.
we beschouwen \(8\) gevallen.
om integralen van producten van sinus en cosinus met verschillende argumenten te evalueren, passen we de identiteiten
Integralen van de vorm \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\, {\cos^n}xdx}\)
we nemen aan dat de machten \(m\) en \(n\) niet-negatieve gehele getallen zijn.
gebruik de volgende substituties om een integraal van dit formulier te vinden:
De integralen van type \(\int {{{\sin }^n}xdx} \) en \(\int {{{\cos }^n}xdx} \) geëvalueerd kan worden door vermindering van de formules
\
\
Integralen van de vorm \({\large\int\normalsize} {{\tan^n}xdx} \)
De kracht van de integrand kan worden verminderd met behulp van de goniometrische identiteit \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) en de vermindering van de formule
\
Integralen van de vorm \({\large\int\normalsize} {{{\kinderbedje }^n}xdx} \)
De kracht van de integrand kan worden verminderd met behulp van de goniometrische identiteit \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^n}x\) en de reductieformule
\
Integralen van de vorm \({\large \ int \ normalsize} {{\sec^n}xdx} \)
dit type integralen kan worden vereenvoudigd met behulp van de reductieformule:
\
Integralen van de vorm \({\large\int\normalsize} {{\csc^n}xdx} \)
zoals in de voorgaande voorbeelden, dit soort integralen kunnen worden vereenvoudigd door de formule
\
Integralen van de vorm \({\large\int\normalsize} {{\tan^m}x\,{\sec^n}xdx} \)
Integralen van de vorm \({\large\int\normalsize} {{\cot^m}x\,{\csc^n}xdx} \)
de oplossing van Problemen
Klik of tik op een probleem om de oplossing te zien.
Voorbeeld 1.
Bereken de integraal \({\large \ int \ normalsize} {{\sin^3}xdx}.\)
oplossing.
laat \(u = \ cos x,\) \(du = -\sin xdx.\ ) Dan
Voorbeeld 2.
Evalueer de integraal \({\large \ int \ normalsize} {{\cos^5}xdx}.\)
oplossing.
door de substitutie \(u = \sin x,\) \(du = \cos xdx\) en met behulp van de identiteit \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x,\) krijgen we
Voorbeeld 3.
Zoek de integraal \({\large \ int \ normalsize} {{\sin^6}xdx}.\)
oplossing.
met behulp van identiteiten \({\sin ^2}x = {\large \ frac{{1 – \ cos 2x}}{2} \ normalsize}\) en \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\) kunnen we schrijven:
Bereken de integralen in de laatste uitdrukking.
\
om de integraal \({\large\int\normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) te vinden maken we de substitutie \(u = \sin 2x,\) \(du =\) \( 2\cos 2xdx.\ ) Dan
vandaar dat de initiële integraal
Voorbeeld 4.
Zoek de integraal \(\int {{{\sin }^2}x\, {{{\cos }^3}x}dx}.\)
oplossing.
de macht van cosinus is oneven, dus maken we de substitutie
\
we herschrijven de integraal in termen van \(\sin x\) om te verkrijgen:
Voorbeeld 5.
Bereken de integraal \({\large \ int \ normalsize} {{{\sin }^2}x\, {{\cos }^4}xdx}.\)
oplossing.
we kunnen schrijven:
\
we converteren de integrand met behulp van de identiteiten
\
dit levert
Voorbeeld 6.
Evalueer de integraal \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^4}xdx}.\)
oplossing.
omdat de macht van sinus oneven is, gebruiken we de substitutie
\
de integraal wordt geschreven als
\
door de Pythagorese identiteit,
\
vandaar
Voorbeeld 7.
Evalueer de integraal \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^5}xdx}.\)
oplossing.
we zien dat beide machten oneven zijn, dus we kunnen \(u = \sin x\) of \(u = \cos x vervangen.\ ) Het kiezen van de minst exponent, we hebben
\
de integraal neemt de vorm aan
\
de Pythagoreaanse identiteit gebruiken,
\
we kunnen
voorbeeld 8 schrijven.
Evalueer de integraal \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^3}xdx}.\)
oplossing.
\
door de Pythagorese identiteit,
\
dus we verkrijgen