Calculus II-meer over sequenties
mobiele kennisgeving tonen alle notities tonen alle notities verbergen
rubriek 4-2 : Meer over sequenties
in de vorige paragraaf introduceerden we het concept van een sequentie en spraken we over grenzen van sequenties en het idee van convergentie en divergentie voor een sequentie. In deze sectie willen we een snelle blik op een aantal ideeën met betrekking tot sequenties te nemen.
laten we beginnen met enkele terminologie en definities.
gegeven elke reeks \(\left \ { {{a_n}} \ right\}\) hebben we het volgende.
- we noemen de rij oplopend als \({a_n} < {a_{n + 1}}\) voor elke \(n\).
- we noemen de volgorde afnemend als \({a_n} > {a_{n + 1}}\) voor elke \(n\).
- als \(\left\{ {{a_n}} \ right\}\) een toenemende reeks is of \(\left\ { {{{a_n}} \right\}\) een afnemende reeks is noemen we het monotoon.
- als er een getal \(m\) bestaat zodanig dat \(M \ le {a_n}\) voor elke \(n\) zeggen we dat de reeks hieronder Begrensd is. Het getal \(m\) wordt soms een ondergrens voor de reeks genoemd.
- als er een getal \(M\) bestaat zodanig dat \({a_n} \le M\) voor elke \(n\) zeggen we dat de reeks hierboven Begrensd is. Het getal \(M\) wordt soms een bovengrens voor de reeks genoemd.
- als de reeks zowel onder als boven wordt begrensd noemen we de reeks Begrensd.
merk op dat om een reeks te laten stijgen of dalen deze moet verhogen/verlagen voor elke \(n\). Met andere woorden, een opeenvolging die drie termen verhoogt en dan voor de rest van de termen afneemt, is geen afnemende volgorde! Merk ook op dat een monotone reeks altijd moet toenemen of altijd moet afnemen.
voordat we verder gaan moeten we een snel punt maken over de grenzen voor een reeks die boven en/of onder wordt begrensd. We zullen het punt maken over ondergrenzen, maar we kunnen het net zo gemakkelijk maken over bovengrenzen.
een reeks wordt hieronder Begrensd als we elk getal \(m\) zo kunnen vinden dat \(m \le {a_n}\) voor elke \(n\). Merk echter op dat als we één getal \(m\) vinden om te gebruiken voor een ondergrens dan zal elk getal kleiner dan \(m\) ook een ondergrens zijn. Ook, alleen omdat we een ondergrens vinden dat betekent niet dat er geen “betere” ondergrens voor de reeks zal zijn dan degene die we vonden. Met andere woorden, er zijn een oneindig aantal ondergrenzen voor een reeks die hieronder wordt begrensd, sommige zullen beter zijn dan andere. In mijn klas zal alles wat ik zoek een ondergrens zijn. Ik heb niet per se de beste ondergrens nodig, alleen een getal dat een ondergrens voor de reeks zal zijn.
laten we een paar voorbeelden bekijken.
- \(\left\{ { – {n^2}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
Toon Alle Oplossingen Verbergen Alle Oplossingen
Deze sequentie is een aflopende reeks (en dus monotone) want,
\
voor elke \(n\).
ook, omdat de sequentietermen nul of negatief zullen zijn, wordt deze sequentietermen hierboven Begrensd. We kunnen elk positief getal of nul gebruiken als de gebonden, \(M\), maar het is standaard om de kleinst mogelijke gebonden te kiezen als we dat kunnen en het is een mooi getal. Dus kiezen we \(M = 0\) omdat
\
deze rij niet hieronder Begrensd is, omdat we altijd onder elke potentiaal kunnen komen die gebonden is door \(n\) groot genoeg te nemen. Daarom, terwijl de reeks is Begrensd boven het is niet Begrensd.
als kanttekening kunnen we ook opmerken dat deze volgorde divergeert (naar \( – \infty \) als we specifiek willen zijn).
b \(\left \{{{\left ({- 1} \ right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty\) Toon oplossing
de sequentietermen in deze sequentie wisselen af tussen 1 en -1 en dus is de sequentie geen toenemende of afnemende sequentie. Aangezien de rij geen stijgende of dalende rij is, is het geen monotone rij.
de reeks is echter Begrensd omdat ze boven door 1 en beneden door -1 wordt begrensd.
opnieuw kunnen we opmerken dat deze reeks ook divergent is.
c \(\left \{{\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}}\right\}_{n = 5}^ \ infty\) Toon oplossing
deze reeks is een afnemende reeks (en dus monotoon) aangezien
\
de termen in deze reeks allemaal positief zijn en dus onder nul wordt begrensd. Ook, omdat de rij een afnemende rij is zal de eerste rijterm de grootste zijn en dus kunnen we zien dat de rij ook hierboven begrensd wordt door \(\frac{2}{{25}}\). Daarom is deze reeks Begrensd.
we kunnen ook een snelle limiet nemen en merken op dat deze reeks convergeert en de limiet Nul is.
laten we nu nog een paar voorbeelden gebruiken die ontworpen zijn om ervoor te zorgen dat we niet al te gewend raken aan het vertrouwen op onze intuïtie met deze problemen. Zoals we in de vorige sectie hebben opgemerkt, kan onze intuïtie ons vaak op een dwaalspoor brengen met enkele van de concepten die we in dit hoofdstuk zullen bekijken.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{n}{{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
Toon Alle Oplossingen Verbergen Alle Oplossingen
We starten met de begrensde deel van dit voorbeeld eerst en dan terug te komen en om te gaan met de toenemende/afnemende vraag, aangezien dat is waar de studenten vaak fouten maken met dit type van de reeks.
Ten eerste is \(n\) positief en dus zijn de sequentietermen allemaal positief. De reeks wordt daarom onder nul Begrensd. Ook is elke sequentieterm het quotiënt van een getal gedeeld door een groter getal en is dus gegarandeerd kleiner dan één. De volgorde wordt dan hierboven begrensd door één. Dus deze reeks is Begrensd.
laten we nu eens nadenken over de monotone vraag. Ten eerste zullen studenten vaak de fout maken om aan te nemen dat, omdat de noemer groter is, het quotiënt moet afnemen. Dat zal niet altijd het geval zijn en in dit geval zouden we het mis hebben. Deze sequentie neemt toe, zoals we zullen zien.
om de toenemende/afnemende aard van deze sequentie te bepalen zullen we gebruik moeten maken van Calculus I-technieken. Overweeg eerst de volgende functie en zijn afgeleide.
\
we kunnen zien dat de eerste afgeleide altijd positief is en dus weten we uit Calculus I dat de functie dan een toenemende functie moet zijn. Hoe helpt dit ons? Merk op dat,
\
Daarom omdat \(n < n + 1\) en \(F\left (x \right)\) toeneemt, kunnen we ook zeggen dat,
\
met andere woorden, de reeks moet toenemen.
merk op dat nu we weten dat de reeks een toenemende reeks is, we een betere ondergrens voor de reeks kunnen krijgen. Aangezien de rij toeneemt, moet de eerste term in de rij de kleinste term zijn en dus omdat we beginnen bij \(n = 1\) kunnen we ook een ondergrens van \(\frac{1}{2}\) voor deze rij gebruiken. Het is belangrijk om te onthouden dat elk getal dat altijd kleiner is dan of gelijk is aan alle sequentietermen een ondergrens kan zijn. Sommige zijn echter beter dan andere.
een snelle limiet zal ons ook vertellen dat deze reeks convergeert met een limiet van 1.
voordat we naar het volgende deel gaan is er een natuurlijke vraag die veel studenten op dit punt zullen hebben. Waarom hebben we Calculus gebruikt om de toenemende/afnemende aard van de reeks te bepalen als we gewoon een paar \(n\)’s hadden kunnen inpluggen en snel hetzelfde konden bepalen?
het antwoord op deze vraag is het volgende deel van dit voorbeeld!
b \(\left \{{\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}}\right\}_{n = 0}^ \ infty\) Toon oplossing
Dit is een rommelige volgorde, maar dat moet het zijn om het punt van dit deel te maken.
merk eerst op dat, net als bij het vorige deel, de sequentietermen allemaal positief zijn en allemaal kleiner zullen zijn dan één (aangezien de teller gegarandeerd kleiner is dan de noemer) en dus de sequentietermen Begrensd zijn.
laten we nu overgaan tot de toenemende/afnemende vraag. Net als bij het laatste probleem, zullen veel studenten kijken naar de exponenten in de teller en noemer en bepalen op basis van dat die volgorde termen moeten afnemen.
dit is echter geen afnemende volgorde. Laten we eens kijken naar de eerste paar termen om dit te zien.
\
de eerste 10 termen van deze reeks nemen allemaal toe en dus kan de reeks geen afnemende reeks zijn. Bedenk dat een reeks alleen kan afnemen als alle termen afnemen.
nu kunnen we niet nog een veel voorkomende fout maken en aannemen dat, omdat de eerste paar termen toenemen, de hele reeks ook moet toenemen. Als we dat zouden doen, zouden we ons ook vergissen, want dit is ook geen toenemende volgorde.
deze volgorde neemt niet af of neemt niet toe. De enige zekere manier om dit te zien is om de Calculus I benadering van het verhogen / verlagen van functies te doen.
In dit geval hebben we de volgende functie en zijn afgeleide nodig.
\
deze functie heeft de volgende drie kritieke punten,
\{{30000}} \approx 13.1607,\hspace{0.25 in}\,\,\,\, x = – \ sqrt{{30000}} \ approx-13.1607\]
waarom kritieke punten? Vergeet niet dat dit de enige plaatsen zijn waar de afgeleide kan veranderen teken! Onze reeks begint bij \(n = 0\) en dus kunnen we de derde negeren omdat deze buiten de waarden van \(n\) Ligt die we overwegen. Door enkele testwaarden van \(x\) in te pluggen kunnen we snel vaststellen dat de afgeleide positief is voor \(0 < x < \sqrt{{30000}} \approx 13.16\) en dus neemt de functie in dit bereik toe. Evenzo kunnen we zien dat de afgeleide negatief is voor \(x > \sqrt{{30000}} \approx 13.16\) en dus zal de functie in dit bereik afnemen.
dus zal onze reeks toenemen voor \(0 \le n \le 13\) en afnemen voor \(n \ge 13\). Daarom is de functie niet monotoon.
ten slotte, merk op dat deze reeks ook convergeert en een limiet van nul heeft.
dus, zoals het laatste voorbeeld heeft aangetoond, moeten we voorzichtig zijn bij het maken van veronderstellingen over sequenties. Onze intuïtie zal vaak niet voldoende zijn om het juiste antwoord te krijgen en we kunnen nooit veronderstellingen maken over een volgorde gebaseerd op de waarde van de eerste paar termen. Zoals het laatste deel heeft aangetoond zijn er sequenties die zullen toenemen of afnemen voor een paar termen en dan van richting veranderen daarna.
merk ook op dat we hier “eerste paar termen” hebben gezegd, maar het is volledig mogelijk dat een reeks afneemt voor de eerste 10.000 termen en dan begint te stijgen voor de resterende termen. Met andere woorden, er is geen “magische” waarde van \(n\) waarvoor we alleen maar hoeven te controleren tot dat punt en dan weten we wat de hele reeks zal doen.
de enige keer dat we het gebruik van Calculus I-technieken kunnen vermijden om de toenemende/afnemende aard van een sequentie te bepalen, is in sequenties zoals Deel (c) van Voorbeeld 1. In dit geval veranderde het verhogen van \(n\) alleen (in feite verhoogd) de noemer en zo konden we op basis daarvan het gedrag van de reeks bepalen.
in Voorbeeld 2 verhoogde het verhogen van \(n\) echter zowel de noemer als de teller. In gevallen als deze is er geen manier om te bepalen welke toename zal “winnen” en ervoor zorgen dat de sequentietermen te verhogen of te verlagen en dus moeten we toevlucht nemen tot Calculus I technieken om de vraag te beantwoorden.
we sluiten deze sectie af met een mooie stelling die we later in dit hoofdstuk zullen gebruiken in enkele van de bewijzen.
stelling
als \(\left \{{{a_n}}\ right\}\) Begrensd en monotoon is dan is \(\left \{{{a_n}}\ right\}\) convergent.
pas op dat u deze stelling niet misbruikt. Het zegt niet dat als een reeks niet Begrensd en / of niet monotoon is dat het divergent is. Voorbeeld 2b is een goed voorbeeld. De volgorde in dat voorbeeld was niet monotoon, maar het convergeert wel.
merk ook op dat we verschillende varianten van deze stelling kunnen maken. Als \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) boven Begrensd is en toeneemt dan convergeert het en evenzo als \(\left \{{{a_n}}\ right\}\) beneden Begrensd is en afneemt dan convergeert het.