controlesystemen – Nyquist-percelen

BY admin
|
advertenties

Nyquist plots zijn de voortzetting van polaire plots voor het vinden van de stabiliteit van de gesloten − lus regelsystemen door het variëren ω van – ∞ tot ∞. Dat betekent dat Nyquist plots worden gebruikt om de volledige frequentierespons van de open loop transfer functie te tekenen.

Nyquist Stabiliteitscriterium

het Nyquist stabiliteitscriterium werkt volgens het argument. Het stelt dat als er P Polen zijn en Z nullen omsloten zijn door het ‘ s ‘ vlak gesloten pad, dan moet het corresponderende $G(s)H(s)$ vlak de oorsprong $P − Z$ keer omcirkelen. Dus kunnen we het aantal omringen N schrijven als,

$$N=P-Z$$

  • als het ingesloten ‘s’ vlak gesloten pad alleen Polen bevat, dan zal de richting van de omcirkeling in het $G(s)H(s)$ vlak tegenovergesteld zijn aan de richting van het ingesloten gesloten pad in het ‘s’ vlak.

  • als het ingesloten ‘s’ – vlak gesloten pad alleen nullen bevat, dan zal de richting van de omcirkeling in het $G(s)H(s)$ – vlak in dezelfde richting zijn als die van het ingesloten gesloten pad in het ‘s’ – vlak.

laten we nu het principe van argument toepassen op de gehele rechterhelft van het ‘s’ vlak door het te selecteren als een gesloten pad. Dit geselecteerde pad wordt de Nyquist contour genoemd.

we weten dat het gesloten-lusregelsysteem stabiel is als alle polen van de gesloten-lusoverdrachtfunctie zich in de linkerhelft van het ‘s’ – vlak bevinden. De polen van de gesloten lusoverdrachtfunctie zijn dus niets anders dan de wortels van de karakteristieke vergelijking. Naarmate de volgorde van de karakteristieke vergelijking toeneemt, is het moeilijk om de wortels te vinden. Dus laten we deze wortels van de karakteristieke vergelijking als volgt correleren.

  • de polen van de karakteristieke vergelijking zijn hetzelfde als die van de polen van de open lusoverdrachtfunctie.

  • de nullen van de karakteristieke vergelijking zijn hetzelfde als die van de polen van de gesloten lusoverdrachtfunctie.

We weten dat het open-lus-besturingssysteem stabiel is als er geen open-lus-pool in de rechterhelft van het ‘s’ – vlak zit.

i. e.,$P=0 \ Rightarrow N= – Z$

we weten dat het closed loop control systeem stabiel is als er geen closed loop pool in de rechterhelft van het ‘s’ vlak.

d.w.z., $Z=0 \Rightarrow N=P$

Nyquist stabiliteitscriterium stelt dat het aantal omringen rond het kritische punt (1+j0) gelijk moet zijn aan de polen van de karakteristieke vergelijking, die niets anders is dan de polen van de open-lusoverdrachtfunctie in de rechterhelft van het ‘s’ vlak. De verschuiving in oorsprong naar (1 + j0)geeft het karakteristieke vergelijkingsvlak.

regels voor het tekenen van Nyquist Plots

volg deze regels voor het tekenen van de Nyquist plots.

  • Zoek de polen en nullen van open lus transfer functie $G(s)H (s)$ in ‘s’ vlak.

  • teken de poolgrafiek door $\omega$ te variëren van nul naar oneindig. Als pool of nul aanwezig is bij s = 0, dan varieert $\omega$ van 0+ tot oneindig voor het tekenen van polaire plot.

  • teken het spiegelbeeld van bovenstaande poolgrafiek voor waarden van $\omega$ variërend van – ∞ tot nul (0− als er een pool of nul aanwezig is bij s=0).

  • het aantal halve cirkels met oneindige straal is gelijk aan het aantal polen of nullen bij de oorsprong. De oneindige straal halve cirkel zal beginnen op het punt waar het spiegelbeeld van de poolplot eindigt. En deze oneindige straal halve cirkel zal eindigen op het punt waar de poolgrafiek begint.

na het tekenen van de Nyquist plot, kunnen we de stabiliteit van de closed loop control systeem met behulp van de Nyquist stabiliteit criterium te vinden. Als het kritieke punt (-1+j0) buiten de omcirkeling ligt, dan is het gesloten lusbesturingssysteem absoluut stabiel.

Stabiliteitsanalyse met behulp van Nyquist-Plots

van de Nyquist-plots kunnen we bepalen of het controlesysteem stabiel, marginaal stabiel of instabiel is op basis van de waarden van deze parameters.

  • Gain cross over frequency and phase cross over frequency
  • Gain margin and phase margin

Phase Cross over Frequency

de frequentie waarbij de Nyquist-grafiek de negatieve reële as snijdt (fasehoek is 1800) staat bekend als de phase cross over frequency. Het wordt aangeduid met $\omega_{pc}$.

Gain cross-over frequentie

de frequentie waarbij de Nyquist-grafiek de magnitude van één heeft, staat bekend als de gain cross-over frequentie. Het wordt aangeduid met $ \ omega_{gc}$.

de stabiliteit van het regelsysteem op basis van de relatie tussen fase-kruisfrequentie en versterkingsfrequentie wordt hieronder vermeld.

  • als de fase kruis over frequentie $\omega_{pc}$ groter is dan de gain kruis over frequentie $\omega_{gc}$, dan is het besturingssysteem stabiel.

  • als de fase kruis over frequentie $\omega_{pc}$ gelijk is aan de winst kruis over frequentie $\omega_{gc}$, dan is het besturingssysteem marginaal stabiel.

  • als phase cross over frequency $\omega_{pc}$ minder is dan gain cross over frequency $\omega_{gc}$, dan is het besturingssysteem onstabiel.

winstmarge

de winstmarge $GM$ is gelijk aan de reciproke van de grootte van de Nyquist-plot bij de fasekruisfrequentie.

$$GM= \ frac{1}{M_{pc}}$$

waarbij $M_{pc}$ de magnitude is in de normale schaal bij de fase kruis over frequentie.

Fasemarge

de fasemarge $PM$ is gelijk aan de som van 1800 en de fasehoek bij de gain cross over frequentie.

$$PM = 180^0+ \ phi_{gc}$$

waarbij $\phi_{gc}$ de fasehoek is bij de gain cross over frequentie.

de stabiliteit van het controlesysteem op basis van de relatie tussen de winstmarge en de fasemarge wordt hieronder vermeld.

  • als de winstmarge $GM$ groter is dan één en de fasemarge $PM$ positief is, dan is het controlesysteem stabiel.

  • als de winst marge $GM$ gelijk is aan één en de fase marge $PM$ is nul graden, dan is het controlesysteem marginaal stabiel.

  • als de winstmarge $GM$ minder is dan één en / of de fasemarge $PM$ negatief is, dan is het controlesysteem onstabiel.

advertenties