vaste-puntstelling
vaste-puntstelling, een van de verschillende stellingen in de wiskunde die betrekking hebben op een transformatie van de punten van een verzameling in punten van dezelfde verzameling waar kan worden bewezen dat ten minste één punt vast blijft. Bijvoorbeeld, als elk reëel getal kwadraat is, blijven de getallen nul en één vast; terwijl de transformatie waarbij elk getal met één wordt verhoogd Geen Getal vast laat. Het eerste voorbeeld, de transformatie die bestaat uit het kwadrateren van elk getal, wanneer toegepast op het open interval van getallen groter dan nul en kleiner dan één (0,1), heeft ook geen vaste punten. De situatie verandert echter voor het gesloten interval, met de eindpunten inbegrepen. Een continue transformatie is er een waarin naburige punten worden omgezet in andere naburige punten. (Zie continuïteit. Brouwer ‘ s vaste puntstelling stelt dat elke continue transformatie van een gesloten schijf (inclusief de grens) in zichzelf ten minste één punt gefixeerd laat. De stelling geldt ook voor continue transformaties van de punten op een gesloten interval, in een gesloten bal, of in abstracte hogere dimensionale verzamelingen analoog aan de bal.
vaste-puntstellingen zijn zeer nuttig om uit te vinden of een vergelijking een oplossing heeft. Bijvoorbeeld, in differentiaalvergelijkingen, een transformatie genoemd een differentiële operator transformeert een functie in een andere. Het vinden van een oplossing van een differentiaalvergelijking kan dan worden geïnterpreteerd als het vinden van een functie onveranderd door een verwante transformatie. Door deze functies als punten te beschouwen en een verzameling functies te definiëren die analoog is aan de bovenstaande verzameling punten die een schijf omvat, kunnen stellingen die analoog zijn aan de vaste-puntstelling van Brouwer worden bewezen voor differentiaalvergelijkingen. De bekendste stelling van dit type is de stelling van Leray-Schauder, gepubliceerd in 1934 door de Fransman Jean Leray en de Pool Julius Schauder. Of deze methode al dan niet een oplossing oplevert (d.w.z. of er al dan niet een vast punt kan worden gevonden) hangt af van de exacte aard van de differentiële operator en de verzameling van functies waaruit een oplossing wordt gezocht.