Wat ik heb Geleerd van Vele Jaren Lesgeven Calculus Eerste YearCollege Studenten

Wat ik heb Geleerd van Vele Jaren Lesgeven Calculus

om het Eerste Jaar Studenten

AMTNJ Conferentie

het Houden van Wiskunde op de Track: de Overbrugging van de Kloof

Tussen middelbare School en universiteit Wiskunde

14 Januari 2005

Brookdale Community College

Joseph G. Rosenstein (Rutgers-NewBrunswick ))

Waarom hebben zoveel eerstejaarsstudenten moeite metcalculus als ze goed voorbereid lijken te zijn?

de laatste keer dat ik eerste semester calculus doceerde, kreeg 41% van de 61 studenten in de klas cijfers van C of slechter.

hier zijn wat meer gegevens. 82% van de leerlingen in de klas had een semester of meer van calculus op de hoge school, en 73% had een jaar of meer van calculus op de middelbare school. (35% had zelfs een jaar AP Calculus.) Door alle accounts, dit is een groep die goed is voorbereid voor college calculus.

het slechte nieuws is dat als we de gegevens samenvoegen, we kunnen concluderen dat ten minste 23% van mijn studenten een calculus cursus op de middelbare school had gevolgd, maar er niet in geslaagd was om het beter te doen dan C in een calculus cursus incollege.

Waarom zijn er zo veel studenten die op de middelbare school aanzienlijke math cursussen hebben gevolgd, maar die geen succes hebben in wiskunde?

in deze korte talk bespreek ik drie soorten kwesties –inhoud, proces en persoonlijke kwesties – allemaal in ongeveer 15 minuten en open vervolgens het woord voor discussie.

onder “inhoud” is het belangrijkste probleem niet dat studenten de begrippen calculus niet begrijpen,het is dat ze geen mogelijkheden hebben voor rekenkunde en algebra.

een student merkte ooit op dat een bepaald probleem een “intense algebra” inhield – waarmee hij bedoelde dat hij veel van zijn algebrakennis moest gebruiken om de berekeningen in een enkel probleem uit te voeren. Dit gebeurt bijvoorbeeld wanneer studenten de afgeleide van de functie f(x) =1/(x+3) uit de definitie moeten vinden – dat wil zeggen, net als in de transparantie, dat ze de limiet van een verschil quotiënt moeten vinden, aangezien h naar nul gaat. Denk na over de stappen die ze moeten nemen om dit probleem op te lossen. Ze moeten:

Schrijf een correcte uitdrukking voor f (x+h) gegeven de Equation voor f (x);

combineer twee breuken in de teller tot een enkele breuk;

combineer een som en verschil van termen;

transformeer een breuk die een breuk in de teller heeft in een breuk die dat niet heeft;

vind een gemeenschappelijke factor van de teller en noemer en annuleer deze correct;

neem een limiet en druk het resultaat uit in de juiste vorm.

ze moeten niet alleen elk van deze Steps afzonderlijk kunnen uitvoeren, ze hebben ook een functionerend monitoringsysteem op hoog niveau nodig dat het “grote plaatje” ziet dat betrokken is bij het vinden van het derivaat en dat hen vertelt wat ze bij elke stap moeten doen.

toch maken veel van hen nog steeds fouten die al sinds de middelste rangen bestaan – bijvoorbeeld het onjuist annuleren van termen overtredingen.

een vraag als deze wordt gegeven op de tussentijdse toets en op het eindexam, en hoewel ze allemaal weten dat dit is wat ze geacht worden te kunnen doen, zijn velen van hen niet in staat om de taak correct te voltooien.

wanneer we het hebben over de NCTM-normen, doen we vaak alsof de processtandaarden de contentstandaarden hebben vervangen, die de faciliteit hebben vervangen. Dat is niet het geval. We willen ons richten op redeneren en probleemoplossen, maar we willen ook dat onze studenten de juiste vaardigheid hebben met wiskundige bewerkingen.

welke faciliteit is “geschikt”? Dat hangt van de student af. Degenen die zullen eindigen met het nemen van verschillende semesters calculus op de universiteit zijn zeker in het nadeel als ze problemen hebben met rekenkunde en algebra.

aan de andere kant hebben degenen die waarschijnlijk niet doorgaan met rekenen geen intense algebra nodig. Maar denken dat een bepaalde student in die categorie zit, kan eindigen als een zichzelf vervullende profetie.

een uitweiding over algebravaardigheden. Veel mensen hebben kritiek Rutgers ‘ plaatsingstest op het terrein dat niet is afgestemd op de normen, met onze hervormingsinspanningen, omdat het zich richt op vaardigheden. Maar ik moet u zeggen dat het een goede graadmeter is voor de waarschijnlijkheid van succes in de precalculus en calculus, en dat is de afgelopen 20 jaar sinds wij het hebben ingevoerd. Het meet de faciliteiten voor studenten met de vereiste vaardigheden … omdat faciliteiten met de vereisten essentieel zijn voor succes in deze cursussen.

Ik zal mijn persoonlijke ervaring met u delen. Een paar jaar geleden scoort een van mijn dochters net onder de grens voor precalculus. Omdat ik een beetje invloed heb, kon ik haar inschrijven inprecalculus, redenerend dat als ze problemen had, ze toegang had tot een goede tutor. Dat was juist … maar het was ook een vergissing-ik heb uiteindelijk veel bijles gegeven. Ze was niet klaar voor Precalculus.

dat is het einde van de uitweiding.

nu is een verduidelijking nodig. Als we zeggen dat de faciliteit in de algebra essentieel is voor succes in de calculus, bedoelen we niet alleen het leren van regels voor algebraïsche manipulaties. Faciliteit inalgebra betekent ook het begrijpen van de wiskunde die ten grondslag ligt aan deze regels. Wanneer studenten fouten maken, zijn ze vaak een gevolg van het onbegrip van de wiskunde, en we moeten allemaal meer tijd besteden aan het blootleggen van de verkeerde ideeën die tot die fouten hebben geleid, en de studenten helpen ze te vervangen door nauwkeurigere wiskundeonderstandingen. Dat betekent dat je fouten moet bespreken in de klas en met leerlingen afzonderlijk, en niet alleen Ze moet markeren op hun huiswerk en toetsen.

faciliteit in de algebra betekent ook het kunnen putten uit iemands volledige wiskundige ervaring om een geschikte volgende stap in aproblem uit te vinden – dat is wat ik hierboven noemde als het volgen van iemands vooruitgang …weten wat te doen.

dat brengt ons bij “proces problemen”.

we hebben allemaal de neiging om wat we leren te compartimenteren-deels omdat we nieuwe informatie lineair tegenkomen en we moeten het ergens opslaan. Maar het is heel belangrijk dat het leren verbonden is. Alles wat we als leraren kunnen doen om verbanden te leggen tussen onderwerpen, om de leerlingen te richten op het grote geheel, is erg belangrijk.

het geven van voorbeelden en huiswerkproblemen die verschillende concepten met elkaar verbinden, is belangrijk, evenals het geven van regelmatige cumulatieve examens. Anders leren studenten wat ze moeten weten voor de quiz van deze week en dan vergeten.

in sommige scholen wordt het succes van de leerlingen beloond door hen vrij te stellen van de examens voor het Midden-en eindexamen. Ik geloof dat deze praktijk een ernstige fout is – de studenten krijgen geen kans om de verschillende stukken kennis die ze hebben verworven bij elkaar te brengen. Bovendien bereidt het hen niet voor op de cumulatieve examens die routine zijn op de universiteit. Langs deze lijnen, een rapport vrijgegeven drie weken geleden merkte op dat het nemen van AP calculus op de middelbare school was niet een voorspeller van succes op de universiteit, hoewel scoren goed op de AP examen was.

we moeten onze studenten helpen het grote plaatje te krijgen. Een deel daarvan houdt in dat kennis wordt gedecompartimenteerd en geïntegreerd, zoals we hebben besproken. Maar er zijn nog een paar andere aspecten.

Eén ervan is het aanmoedigen van studenten om multipleperspectieven te hebben. Ze zouden bijvoorbeeld vertrouwd moeten zijn met verschillende aspecten van het idee van een functie – als een vergelijking,als regel, als een grafiek, als een tabel, als een input-output machine – en in staat moeten zijn om gemakkelijk heen en weer te bewegen tussen deze representaties.

evenzo moeten zij heen en weer kunnen bewegen tussen algebra en meetkunde. Wanneer ze de oplossing van simultane lineaire vergelijkingen bespreken, zouden ze moeten erkennen dat dat hetzelfde is als vragen waar twee lijnen elkaar kruisen. Als je een kwadratische functie geeft, moeten ze in staat zijn om de parabool te visualiseren die het definieert – misschien niet alle details,maar ze moeten zeker weten dat het een parabool definieert, en weten of het zich opent of omlaag. Ze moeten niet alleen een parabool kunnen visualiseren, ze moeten het ook daadwerkelijk doen. De vergelijking en de grafiek moeten twee weergaven van hetzelfde object zijn.

en als je de oplossingen van een kwadratische vergelijking vindt, moeten ze in staat zijn om die met faciliteit te vertalen naar de grafiek van de kwadratische functie – zodat als de wortels van een kwadratische functie bijvoorbeeld 3 +/- sqrt2 zijn, ze in staat moeten zijn om een beeld te krijgen over waar de grafiek van de functie de x-as kruist.

op de eerste lesdag geef ik de leerlingen een klein stukje papier – 1/8 van een 8, 5×11 vel en vraag hen om de tangens van de hoek te vinden die sinus 3/5 is. Sommige studenten tekenen een driehoek; bijna allemaal krijgen ze dan het juiste antwoord. Sommige van destudenten tekenen geen driehoek; geen van hen krijgt het juiste antwoord.

omdat ik hen niet vraag hun namen op de papers te zetten, kan ik oplossingen voor dit probleem niet relateren aan hun cijfers in de cursus, maar mijn vermoeden is dat er een hoge mate van correlatie zou zijn. Studenten die algebra kunnen visualiseren, die gemakkelijk van algebra naar meetkunde en terug kunnen bewegen, zijn waarschijnlijk succesvol incalculus.

in de tweede klas rapporteer ik aan de leerlingen de resultaten van dit experiment en versterk ik het belang van visualisatie. Ik moedig ze aan om hun visualisatieschakelaar aan te zetten, zodat ze in hun hoofd een beeld tekenen van elke algebraïsche uitdrukking die in hun boek of op het bord staat.

ik wijs erop dat een afbeelding veel informatie kan bevatten. Als ze bijvoorbeeld de grafieken van de sinus -, cosinus-en raakfuncties kunnen visualiseren en interpreteren, hoeven ze alleen maar drie feiten te onthouden – die sin 30=½, die tan 45 = 1, en die sin 2x + cos2x =1 . Zo ‘ n beetje alles wat ze moeten weten over trigonometrie kan hiervan afgeleid worden. In het bijzonder hoeven ze niet veel feiten te onthouden. Dat is wat ze moeten doen als ze de foto ‘ s niet begrijpen. Sommigen vinden dit moeilijk te geloven, en persistin proberen om veel feiten over trigonometrische functies te herinneren. Het is geen wonder dat ze soms het gevoel hebben dat hun hoofd vol zit.

er zijn ongeveer een dozijn foto ’s die veel van de eerste semester calculus bevatten – als je begrijpt en kunt uitleggen wat er in deze foto’ s staat, dan zul je het heel goed doen in calculus. Ze vinden dit ook moeilijk te geloven.

een ander probleem dat ik kort zal noemen, is dat studenten beter moeten weten of een antwoord dat ze genereren redelijk is. Een voorwaarde daarvoor is natuurlijk dat ze zich daadwerkelijk afvragen of hun antwoorden seizoensafhankelijk zijn. Als ze zelf de vraag stellen, zullen ze waarschijnlijk adequaat reageren. Dus het doel is om ze die vraag te laten stellen-is dat antwoord redelijk?

ten slotte moeten studenten het gevoel van wiskunde als taal hebben. Wiskunde heeft woorden en symbolen en regels over het gebruik ervan. We negeren vaak de grammatica van de wiskunde, en laten onze studenten toe om wiskunde verkeerd te spreken en te schrijven – een praktijk die niet zou worden toegestaan in een Spaanse klasse. Dus uiteindelijk gebruiken ze geen ouders wanneer ze zouden moeten en maken ze allerlei fouten als gevolg. Ze gebruiken het gelijken-teken niet om in hun wiskundige zinnen kwalitatieve uitdrukkingen te scheiden, en als gevolg daarvan verdwijnen kwantiteiten van de ene uitdrukking naar de andere. En ze zijn vaak niet in staat om hun antwoorden op problemen van de pathetische taal te vertalen naar de Engelse taal. Deze kwestie vraagt meer aandacht van ons allemaal.

en nu komen we bij wat ik persoonlijke kwesties noemde. Ik wil vier opmerkingen maken. Een daarvan is dat veel studenten naar firstsemester calculus denken dat ze calculus al kennen. Dat kan waar zijn-maar het is alleen waar voor een aantal van hen. Echter, dat is een gevaarlijke veronderstelling, voor degenen die geloven dat dit niets zal doen voor de eerste vier weken van het semester … en dan vinden dat het te laat is om in te halen.

waarschuw uw studenten dat, ook al slagen zij in uw cursus, zij niet automatisch slagen in een cursus met dezelfde titel op de universiteit. Hoewel beide cursussen hetzelfde materiaal bestrijken, gaat de college cursus dieper.

een tweede punt is dat studenten moeten weten dat zij aan de universiteit moeten werken. Sommigen van hen zullen het zonder al te veel werk kunnen redden – in dat geval zouden ze een moeilijkere cursus moeten hebben gevolgd – maar de meesten van hen zullen hun handen vol hebben met de cursus die ze volgen – of het nu calculus of precalculus of Algebra is – of ze al dan niet een goed cijfer hebben behaald in die cursus op de middelbare school.

ik heb geleerd dat de beste voorspeller van een goede graad in Calc 1 het behalen van een goede graad op het allereerste examen is. Kijk naar de gegevens in de grafiek. Het toont aan dat 86% van de studenten die scoorden 70% op het eerste examen kreeg een cijfer van C+ of beter voor de cursus. Aan de andere kant, slechts 17% van degenen die minder dan 70% op het eerste examen kreeg een cijfer van C+ of beter voor de cursus. Consequent werk loont. Degenen die goed beginnen en consequent werken, doen het goed.

Studenten in mijn Calculus 1 klassen

Val 1999, Herfst 2000, Najaar 2001, Vallen 2002

# studenten	70% of meer op het eerste examen	69 of minder op eerste examen	Totaal
Eindcijfer: C+ of hoger	74	21	105
eindcijfer: C of lager	12	102	114
	86	123	219

86% ofthose die kreeg 70% of beter bij de eerste test kreeg een C+ of beter in de cursus;17% van degenen die 69% of slechter kregen op de eerste toets kreeg een C+ of beter in de cursus

een ander ding dat ik doe op de eerste dag van de klas is elke student vragen om een realistische beoordeling te maken van de graad die hij of zij verwacht te krijgen in de cursus – rekening houdend met allerlei dingen – en hand dit op een ander klein stukje papier. Elke student, zonder uitzondering, verwacht een B of beter te krijgen!

ik rapporteer dit aan de leerlingen van de tweede klas en toon hen vervolgens deze grafiek. Ik vertel ze dat ze niet kunnen beginnen met het semester te denken dat omdat ze de formuleringen voor een paar derivaten kennen ze calculus kennen. Ik vertel ze dat ze het semester moeten beginnen met oncalculus. Misschien maakt het een verschil. Ik vertel hen dat ik alles zal doen wat ik kan om iedereen te helpen het cijfer te krijgen dat hij of zij hoopt te krijgen – maar uiteindelijk is het aan hen.

dat is het derde punt dat ik wil maken – studenten moeten leren om verantwoordelijkheid te nemen voor hun eigen onderwijs. Op de middelbare school zie je ze elke dag en kan je ze overhalen om hun studie serieus te nemen. Dat is geweldig. Maar als ze naar de universiteit gaan, staan ze er alleen voor, en als ze nog niet geleerd hebben om verantwoordelijkheid te nemen voor hun opleiding, zullen ze het moeilijk hebben.

ik weet niet zeker hoe ze hun verantwoordelijkheid moeten nemen, maar er is een bescheiden experiment dat je zou kunnen proberen. Zeg ze dat je geen opdrachten verzamelt voor de volgende twee weken. Geef ze dan een onderzoek naar het materiaal. Sommigen van hen doen de opdrachten niet en doen het slecht op theexam. Misschien hun prestaties op thatexam zal overbrengen aan hen dat je niet het verzamelen van het huiswerk moet niet zijn geïnterpreteerd als hun niet nodig om het te doen.

een ander aspect van het nemen van verantwoordelijkheid voor het onderwijs is het om hulp vragen en gebruik maken van de mogelijkheden die hen ter beschikking staan. Minder dan 20% van de mystudenten komen me ooit opzoeken, ook al moedig ik ze regelmatig aan om te doso. Minder dan 20% van mijn studenten e-mailen me met hun vragen, hoewel ik hen vertel dat ze het meest waarschijnlijk binnen een paar uur een antwoord zullen krijgen. Hoewel een derde van mijn studenten zal eindigen met een D of F, weinigen van henzal op zoek naar de verschillende soorten hulp die beschikbaar zijn voor hen.

de meeste studenten hebben nog niet geleerd dat het voor hen goed is om hulp te zoeken – ze hebben nog niet geleerd dat als ze problemen hebben in een cursus, ze zo snel mogelijk hulp moeten zoeken. Ze moeten weten dat wachten geen goede strategie is. Misschien maakt het verschil als je ze dat vertelt.

dat brengt mij bij het einde van mijn opmerkingen. Ik heb een beetje gesproken over de inhoud kwesties,de proces kwesties, en de persoonlijke kwesties die interfereren met het succes van studenten in precalculus en calculus cursussen, en ik heb je een paar suggesties voor hoe je zou kunnen helpen de studenten voor te bereiden om de obstakels voor hun succes te overwinnen.

Hartelijk dank voor uw aandacht, en we zullen deze kwesties nu bespreken.