Wetenschappelijke notatie en significante cijfers
In het vorige voorbeeld zou u hebben opgemerkt dat het antwoord wordt gepresenteerd in wat wetenschappelijke notatie wordt genoemd.
wetenschappelijke notatie …
… is een manier om zeer kleine of zeer grote getallen
uit te drukken…wordt meestal gebruikt in “wetenschappelijke” berekeningen waarbij de analyse zeer nauwkeurig moet zijn
…bestaat uit twee delen: een getal en een macht van 10. Voorbeeld: 1,22 x 103
om een getal in de juiste wetenschappelijke notatie te laten staan, mag slechts één cijfer links van het decimaalteken staan. Dus,
\ begin{align}1.22 & \ times 10^3 \ text{ is correct} \ \ 12.2 & \ times 10^2 \ text{ is not} \ end{align}
niet-exponentiële getallen converteren naar exponentiële getallen:
Voorbeeld 1
$$ 234,999 $$
Dit is een groot getal en de geïmpliceerde komma staat aan het einde van het getal.
$$ 234,999. $$
om dit om te zetten naar een exponentieel getal moeten we de decimaal naar links verplaatsen totdat er slechts één cijfer voor de decimale punt staat. In dit nummer verplaatsen we de komma 5 keer.
$$ 2.34999 \ text {(vijf getallen)} $$
…en dus is de exponent die we op de macht van 10 plaatsen 5. Het resulterende exponentiële getal is dan:
$$2.34999 \tijden 10^5 $$
andere voorbeelden:
\ begin{align}21 & \ to 2,1 \ times 10^1 \\16600.01 & \tot 1,660001 \ keer 10^4 \\455 & \aan 4,55 \ keer 10^2 \ end{align}
kleine getallen kunnen op dezelfde manier worden geconverteerd naar exponentiële notatie. U verplaatst gewoon de decimaal naar rechts totdat slechts één niet-nul cijfer vóór de decimale punt staat. De exponent is dan gelijk aan het aantal cijfers dat je onderweg moest doorgeven.
Voorbeeld 2
$$ 0.000556 $$
het eerste niet-nul cijfer is 5 dus het getal wordt 5,56 en we moesten de decimale punt door 4 cijfers geven om het tot het punt te krijgen waar er slechts één niet-nul cijfer aan de voorzijde van het getal was, zodat de exponent -4 zal zijn. Het resulterende exponentiële getal is dan:
$$ 5.56 \tijden 10^{-4} $$
andere voorbeelden
\ begin{align}0,0104 & \to 1,04 \ times 10^{-2} \\0.0000099800 & \tot 9.9800 \ keer 10^{-6} \\0.1234 & \tot 1.234 \ times 10^{-1} \ end{align}
om samen te vatten, geeft het verplaatsen van de komma naar links een positieve exponent. Het verplaatsen van de komma naar rechts levert een negatieve exponent op.
een andere reden waarom we vaak wetenschappelijke notatie gebruiken is om tegemoet te komen aan de noodzaak om het juiste aantal significante cijfers in onze berekeningen te behouden.
significante cijfers
er zijn drie regels om te bepalen hoeveel significante cijfers in een getal voorkomen:
- niet-nul cijfers zijn altijd significant.
- nullen tussen twee significante cijfers zijn significant.
- een laatste nul of achterliggende nullen in het decimale gedeelte zijn alleen significant.
Voorbeelden
- 2003 heeft 4 significante cijfers
- 00.00300 heeft 3 significante cijfers
- 00067000 heeft 2 significante cijfers
- 00067000.0 heeft 6 significante cijfers
Exacte Getallen
Exacte cijfers, zoals het aantal mensen in een ruimte, een oneindig aantal significante cijfers. Exacte getallen tellen bij hoeveel van iets aanwezig zijn, het zijn geen metingen met instrumenten. Een ander voorbeeld hiervan zijn gedefinieerde getallen, zoals
$$ 1 \text{ foot} = 12 \ text{ inches} $$
er zijn precies 12 inches in één voet. Als een getal dus exact is, heeft dit geen invloed op de nauwkeurigheid van een berekening, noch op de precisie van de uitdrukking. Enkele voorbeelden:
- er zijn 100 jaar in een eeuw.
- interessant is dat de lichtsnelheid nu een bepaalde hoeveelheid is. Per definitie is de waarde 299.792.458 meter per seconde.
om een waarde in het juiste aantal significante cijfers weer te geven, moet u de waarde vaak afronden op dat aantal cijfers. Hieronder zijn de regels te volgen bij het doen van dit:
de toepassing van significante cijfers regels tijdens het voltooien van berekeningen is belangrijk en er zijn verschillende manieren om de regels toe te passen op basis van het type berekening dat wordt uitgevoerd.
significante cijfers en optellen of aftrekken
bij optellen en aftrekken is het aantal significante cijfers dat kan worden gerapporteerd gebaseerd op het aantal cijfers in het minst nauwkeurige getal. Dit betekent in het bijzonder dat het aantal cijfers na de komma het aantal cijfers bepaalt dat in het antwoord kan worden uitgedrukt.
voorbeeld
significante cijfers en vermenigvuldiging of deling
bij vermenigvuldiging en deling wordt het aantal significante cijfers eenvoudig bepaald door de waarde van de laagste cijfers. Dit betekent dat als je drie getallen vermenigvuldigt of deelt: 2.1, 4.005 en 4.5654, de waarde 2.1 die het minste aantal cijfers heeft, zou verplichten dat het antwoord slechts op twee significante cijfers wordt gegeven.