Całki trygonometryczne
w tym temacie zbadamy, jak integrować pewne kombinacje obejmujące produkty i potęgi funkcji trygonometrycznych.
rozważamy\ (8\) przypadków.
aby obliczyć całki produktów sinusa i cosinusa z różnymi argumentami, stosujemy tożsamości
całki postaci \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}\)
Zakładamy, że potęgi \(M\) i \(n\) są liczbami całkowitymi nieujemnymi.
aby znaleźć całkę tej postaci, użyj następujących podstawień:
całki typu \(\int {{{\sin} ^n} xdx}\) i \(\INT {{{\cos} ^n}xdx}\) można obliczyć za pomocą wzorów redukcyjnych
\
\
całki postaci \({\large\int\normalsize} {{\tan^n} xdx}\)
potęgę całki można zmniejszyć za pomocą tożsamości trygonometrycznej \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) i wzoru redukcji
\
całki postaci \({\large\int \ normalsize} {{{\cot }^n}xdx}\)
potęgę całki można zmniejszyć za pomocą tożsamości trygonometrycznej \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^n}x\) i formuła redukcji
\
całki postaci \({\large\int \ normalsize} {{\sec^n}xdx} \)
ten typ całek można uprościć za pomocą wzoru redukcyjnego:
\
całki postaci \({\large\int \ normalsize} {{\csc^n}xdx}\)
podobnie jak w poprzednich przykładach, tego typu całki można uprościć wzorem
\
całki postaci \({\large\int \ normalsize} {{\tan^m} x\, {\sec^n}xdx} \)
całki postaci \({\large\int \ normalsize} {{\cot^m} x\, {\csc^n}xdx} \)
rozwiązany problemy
kliknij lub dotknij problemu, aby zobaczyć rozwiązanie.
przykład 1.
Oblicz całkę \({\large\int \ normalsize} {{\sin^3}xdx}.
rozwiązanie.
Let \(U = \cos x,\) \ (du = – \sin xdx.\) Następnie
Przykład 2.
Oceń całkę \({\large\int\normalsize} {{\cos^5}xdx}.
rozwiązanie.
dokonując podstawienia \(u = \ sin x,\) \(du = \ cos XDX\) i używając tożsamości \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x,\) otrzymujemy
przykład 3.
Znajdź całkę \({\large\int \ normalsize} {{\sin^6}xdx}.
rozwiązanie.
używając tożsamości \({\sin ^2}x = {\large \ frac{{1 – \ cos 2x}}{2} \ normalsize}\) i \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\) możemy napisać:
obliczyć całki w tym drugim wyrażeniu.
\
aby znaleźć całkę \({\large\int \ normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) wykonujemy podstawienie \(u = \sin 2x,\) \(du=\) \ (2\cos 2xdx.\) Następnie
stąd początkowa Całka to
przykład 4.
Znajdź całkę \(\int {{{\Sin} ^2} x\,{{{\cos }^3} x} dx}.
rozwiązanie.
potęga cosinusa jest nieparzysta, więc podstawiamy
\
przepisujemy całkę w postaci \(\sin x\), aby uzyskać:
przykład 5.
Oblicz całkę \({\large\int \ normalsize} {{{\sin} ^2} x\, {{\cos }^4} xdx}.
rozwiązanie.
możemy napisać:
\
konwertujemy integrand za pomocą tożsamości
\
daje to
przykład 6.
Oceń całkę \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos} ^4}xdx}.
rozwiązanie.
ponieważ potęga sinusa jest nieparzysta, używamy podstawienia
\
Całka zapisana jest jako
\
przez tożsamość Pitagorasa,
\
stąd
przykład 7.
Oceń całkę \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^5} xdx}.
rozwiązanie.
widzimy, że obie potęgi są nieparzyste, więc możemy zastąpić \(u = \ sin x\) lub \(u = \ cos x.\) Wybierając najmniejszy wykładnik, mamy
\
Całka przyjmuje postać
\
Korzystanie z tożsamości pitagorejskiej,
\
możemy napisać
przykład 8.
Oceń całkę \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos} ^3} xdx}.
rozwiązanie.
\
przez tożsamość Pitagorasa,
\
więc otrzymujemy