Calculus II-więcej o sekwencjach
Pokaż powiadomienia mobilne Pokaż wszystkie notatki Ukryj wszystkie notatki
sekcja 4-2 : Więcej na temat sekwencji
w poprzedniej sekcji wprowadziliśmy pojęcie sekwencji i rozmawialiśmy o granicach sekwencji oraz idei zbieżności i dywergencji dla sekwencji. W tej sekcji chcemy rzucić okiem na kilka pomysłów dotyczących sekwencji.
Zacznijmy od terminologii i definicji.
biorąc pod uwagę dowolny ciąg \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) mamy następujący.
- nazywamy sekwencję zwiększającą if \({a_n} < {a_{n + 1}}\) dla każdego \(n\).
- nazywamy sekwencję malejącą if \({a_n} > {a_{n + 1}}\) dla każdego \(n\).
- jeśli \(\left \ {{{a_n}} \right\}\) jest sekwencją rosnącą lub \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) jest sekwencją malejącą, nazywamy ją monotoniczną.
- jeśli istnieje liczba \(m\) taka, że \(M \le {a_n}\) dla każdego \(n\) mówimy, że sekwencja jest ograniczona poniżej. Liczba \(m\) jest czasami nazywana dolną granicą sekwencji.
- jeśli istnieje liczba \(m\) taka, że \({a_n} \le M\) dla każdego \(n\) mówimy, że sekwencja jest ograniczona powyżej. Liczba \(M\) jest czasami nazywana górną granicą sekwencji.
- jeśli sekwencja jest ograniczona zarówno poniżej, jak i powyżej, nazywamy sekwencję ograniczoną.
zauważ, że aby Sekwencja była rosnąca lub malejąca, musi być rosnąca / malejąca dla każdego \(n\). Innymi słowy, sekwencja, która wzrasta dla trzech wyrazów, a następnie maleje dla reszty wyrazów, nie jest sekwencją malejącą! Zauważ również, że ciąg monotoniczny musi zawsze wzrastać lub zawsze maleć.
zanim przejdziemy dalej, powinniśmy szybko zwrócić uwagę na granice sekwencji, która jest ograniczona powyżej i/lub poniżej. Wspomnimy o dolnych granicach, ale równie dobrze możemy mówić o górnych granicach.
sekwencja jest ograniczona poniżej, jeśli możemy znaleźć dowolną liczbę \(m\) taką, że \(M \ le {a_n}\) dla każdego \(n\). Zauważ jednak, że jeśli znajdziemy jedną liczbę \(m\) do użycia dla dolnej granicy, to każda liczba mniejsza niż \(M\) będzie również dolną granicą. Ponadto, tylko dlatego, że znajdziemy jedną dolną granicę, nie oznacza to, że nie będzie „lepszej” dolnej granicy dla sekwencji niż ta, którą znaleźliśmy. Innymi słowy, istnieje nieskończona liczba niższych granic dla sekwencji, która jest ograniczona poniżej, niektóre będą lepsze niż inne. W mojej klasie wszystko, czego chcę, będzie niższe. Niekoniecznie potrzebuję najlepszej dolnej granicy, tylko liczby, która będzie dolną granicą dla sekwencji.
rzućmy okiem na kilka przykładów.
- \(\left \ {{- {n^2}} \right\}_{N = 0}^ \ infty \)
- \(\left\ {{{\left ({- 1} \ right)}^{n + 1}}} \ right\}_{n = 1}^ \ infty \)
- \(\left\ {{{\displaystyle \frac {2} {{{N^2}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
Pokaż wszystkie rozwiązania Ukryj wszystkie rozwiązania
ta sekwencja jest sekwencją malejącą (a więc monotoniczną), ponieważ,
\
dla każdego \(n\).
również, ponieważ terminy sekwencji będą zerowe lub ujemne, ta sekwencja jest ograniczona powyżej. Możemy użyć dowolnej liczby dodatniej lub zera jako granicy, \(M\), jednak standardem jest wybranie najmniejszej możliwej granicy, jeśli możemy i jest to ładna liczba. Wybierzemy \(m = 0\), ponieważ
\
ta sekwencja nie jest ograniczona poniżej, ponieważ zawsze możemy uzyskać poniżej dowolnego potencjału związanego, biorąc\ (n\) wystarczająco duży. Dlatego, podczas gdy sekwencja jest ograniczona powyżej, nie jest ograniczona.
na marginesie możemy również zauważyć, że ta sekwencja różni się (do \( – \infty\), jeśli chcemy być konkretni).
b \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{N = 1}^\infty \) Pokaż rozwiązanie
terminy sekwencji w tej sekwencji zmieniają się między 1 i -1, więc Sekwencja nie jest ani sekwencją rosnącą, ani malejącą. Ponieważ Sekwencja nie jest ani rosnącą, ani malejącą sekwencją, nie jest sekwencją monotoniczną.
sekwencja jest jednak ograniczona, ponieważ jest ograniczona powyżej przez 1, A Poniżej przez -1.
ponownie możemy zauważyć, że ta sekwencja jest również rozbieżna.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{N^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \) Pokaż rozwiązanie
ta sekwencja jest sekwencją malejącą (a więc monotoniczną), ponieważ
\
wszystkie wyrażenia w tej sekwencji są dodatnie, a więc jest ograniczona poniżej przez zero. Ponadto, ponieważ sekwencja jest sekwencją malejącą, pierwszy termin sekwencji będzie największy i widzimy, że sekwencja będzie również ograniczona powyżej przez \(\frac{2}{{25}}\). Dlatego ta sekwencja jest ograniczona.
możemy również wziąć szybki limit i zauważyć, że ciąg ten zbiega się, a jego granica wynosi zero.
teraz, opracujmy kilka przykładów, które są zaprojektowane tak, aby upewnić się, że nie przyzwyczaimy się zbytnio do polegania na naszej intuicji w tych problemach. Jak zauważyliśmy w poprzedniej sekcji, nasza intuicja może często prowadzić nas na manowce z niektórymi pojęciami, na które przyjrzymy się w tym rozdziale.
- \(\left \{{\displaystyle \ frac{n} {{n + 1}}} \right\}_{N = 1}^ \ infty \)
- \(\left \ {{\displaystyle \frac {{n^3}}} {{{N^4} + 10000}}}\right\}_{N = 0}^\infty\)
Pokaż wszystkie rozwiązania Ukryj wszystkie rozwiązania
zaczniemy od ograniczonej części tego przykładu, a następnie wrócimy i zajmiemy się rosnącym/malejącym pytaniem, ponieważ to właśnie tam uczniowie często popełniają błędy przy tego typu sekwencji.
po pierwsze, \(n\) jest dodatnie, a więc wszystkie wyrażenia sekwencji są dodatnie. Sekwencja jest zatem ograniczona poniżej przez zero. Podobnie, każdy termin sekwencji jest ilorazem liczby podzielonej przez większą liczbę, a więc jest gwarantowany jako mniejszy niż jeden. Sekwencja jest następnie ograniczona powyżej przez jeden. Więc ta sekwencja jest ograniczona.
teraz zastanówmy się nad monotonicznym pytaniem. Po pierwsze, uczniowie często popełniają błąd zakładając, że ponieważ mianownik jest większy, iloraz musi się zmniejszać. Nie zawsze tak będzie i w tym przypadku mylilibyśmy się. Ta sekwencja rośnie, jak zobaczymy.
aby określić rosnący / malejący charakter tej sekwencji, będziemy musieli skorzystać z technik rachunku różniczkowego I. Najpierw rozważ następującą funkcję i jej pochodną.
\
widzimy, że pierwsza pochodna jest zawsze dodatnia i tak z rachunku różniczkowego I wiemy, że funkcja musi być wtedy funkcją rosnącą. Jak to nam pomoże? Zauważ, że
\
dlatego, że\ (n < N + 1\) i\(F \left (x\ right)\) wzrasta, możemy również powiedzieć, że
\
innymi słowy, sekwencja musi wzrastać.
zauważ, że teraz, gdy wiemy, że sekwencja jest sekwencją rosnącą, możemy uzyskać lepszą niższą granicę dla sekwencji. Ponieważ Sekwencja zwiększa się, pierwszy wyraz w sekwencji musi być najmniejszym wyrazem, a więc ponieważ zaczynamy od \(N = 1\), Możemy również użyć dolnej granicy \(\frac{1}{2}\) dla tej sekwencji. Ważne jest, aby pamiętać, że każda liczba, która jest zawsze mniejsza lub równa wszystkim wyrażeniom ciągu, może być dolną granicą. Niektóre są jednak lepsze od innych.
szybki limit powie nam również, że ta sekwencja zbiega się z limitem 1.
przed przejściem do następnej części pojawia się naturalne pytanie, które wielu uczniów będzie miało w tym momencie. Dlaczego użyliśmy rachunku różniczkowego do określenia rosnącej / malejącej natury sekwencji, kiedy mogliśmy po prostu podłączyć kilka \(n\)’s i szybko określić to samo?
odpowiedzią na to pytanie jest kolejna część tego przykładu!
B \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{N^4} + 10000}}} \right\}_{N = 0}^\infty \) Pokaż rozwiązanie
to jest niechlujna Sekwencja, ale musi być, aby pokazać punkt tej części.
po pierwsze, zauważ, że, podobnie jak w poprzedniej części, wszystkie wyrażenia ciągu są dodatnie i wszystkie będą mniejsze niż jeden (ponieważ licznik jest gwarantowany jako mniejszy niż mianownik), a więc ciąg jest ograniczony.
Przejdźmy teraz do rosnącego/malejącego pytania. Podobnie jak w przypadku ostatniego problemu, wielu uczniów przyjrzy się wykładnikom w liczniku i mianowniku i określi na podstawie tego, że wyrażenia sekwencji muszą się zmniejszyć.
to jednak nie jest sekwencja malejąca. Rzućmy okiem na kilka pierwszych terminów, aby to zobaczyć.
\
pierwsze 10 wyrazów tej sekwencji wzrasta i tak wyraźnie Sekwencja nie może być sekwencją malejącą. Przypomnijmy, że sekwencja może być malejąca tylko wtedy, gdy wszystkie terminy maleją.
teraz nie możemy popełnić kolejnego częstego błędu i założyć, że ponieważ kilka pierwszych wyrażeń wzrasta, to cała sekwencja musi również wzrosnąć. Gdybyśmy to zrobili, również bylibyśmy w błędzie, ponieważ nie jest to również rosnąca Sekwencja.
ta sekwencja nie maleje ani nie wzrasta. Jedynym pewnym sposobem, aby to zobaczyć, jest zrobienie rachunku różniczkowego i podejście do zwiększania / zmniejszania funkcji.
w tym przypadku będziemy potrzebować następującej funkcji i jej pochodnej.
\
ta funkcja będzie miała następujące trzy punkty krytyczne,
\{{30000}} \approx 13.1607,\hspace{0.25 in}\,\,\,\, x = – \sqrt{{30000}} \approx – 13.1607\]
dlaczego punkty krytyczne? Pamiętaj, że to jedyne miejsca, w których pochodna może zmienić znak! Nasz ciąg zaczyna się od \(N = 0\), więc możemy zignorować trzeci, ponieważ leży poza wartościami \(n\), które rozważamy. Podłączając niektóre wartości testowe \(x\) możemy szybko określić, że pochodna jest dodatnia dla \(0 < x < \sqrt{{30000}} \approx 13.16\) i tak Funkcja rośnie w tym zakresie. Podobnie, możemy zobaczyć, że pochodna jest ujemna dla \(x > \ sqrt{{30000}}\ approx 13.16\) i tak funkcja będzie malała w tym zakresie.
więc nasza sekwencja będzie wzrastać dla \(0 \le n\ le 13\) i maleje dla \(n\GE 13\). Dlatego funkcja nie jest monotoniczna.
na koniec zauważ, że ta sekwencja również będzie się zbiegać i ma granicę zero.
tak więc, jak pokazał ostatni przykład, musimy być ostrożni w podejmowaniu założeń dotyczących sekwencji. Nasza intuicja często nie jest wystarczająca, aby uzyskać poprawną odpowiedź i nigdy nie możemy przyjąć założeń dotyczących sekwencji w oparciu o wartość pierwszych kilku terminów. Jak pokazała ostatnia część, istnieją sekwencje, które zwiększają się lub zmniejszają przez kilka terminów, a następnie zmieniają kierunek.
zauważ również, że powiedzieliśmy tutaj „kilka pierwszych terminów”, ale jest całkowicie możliwe, aby Sekwencja zmniejszyła się dla pierwszych 10 000 terminów, a następnie zaczęła wzrastać dla pozostałych terminów. Innymi słowy, nie ma „magicznej” wartości \(n\), dla której wszystko, co musimy zrobić, to sprawdzić do tego punktu i wtedy będziemy wiedzieć, co zrobi cała sekwencja.
jedynym czasem, w którym będziemy w stanie uniknąć użycia technik rachunku różniczkowego I do określenia rosnącej/malejącej natury sekwencji, są sekwencje takie jak część (C) przykładu 1. W tym przypadku zwiększenie \(n\) tylko zmieniło (w rzeczywistości zwiększyło) mianownik i na tej podstawie byliśmy w stanie określić zachowanie sekwencji.
w przykładzie 2 jednak zwiększenie \ (n\) zwiększyło zarówno mianownik, jak i licznik. W takich przypadkach nie ma sposobu na określenie, który wzrost „wygra” i spowoduje, że terminy sekwencji będą się zwiększać lub zmniejszać, dlatego musimy uciekać się do technik rachunku różniczkowego I, aby odpowiedzieć na pytanie.
zamkniemy tę sekcję ładnym twierdzeniem, którego użyjemy w niektórych dowodach w dalszej części tego rozdziału.
twierdzenie
jeśli \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) jest ograniczone i monotoniczne, to \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) jest zbieżne.
uważaj, aby nie nadużywać tego twierdzenia. Nie mówi, że jeśli ciąg nie jest ograniczony i/lub nie jest monotoniczny, to jest rozbieżny. Przykład 2b jest dobrym przykładem. Sekwencja w tym przykładzie nie była monotoniczna, ale zbieżna.
zauważ również, że możemy stworzyć kilka wariantów tego twierdzenia. Jeśli \(\left \ {{{a_n}} \right\}\) jest ograniczony powyżej i rośnie, to zbiega się i podobnie jeśli \(\left \{{{a_n}}\ right\}\) jest ograniczony poniżej i maleje, to zbiega się.