Czego nauczyłem się od wielu lat nauczania rachunku różniczkowego dla studentów pierwszego roku

czego nauczyłem się od wielu lat nauczania rachunku różniczkowego

dla studentów pierwszego roku

Konferencja AMTNJ

Keeping Mathematics on Track: Bridging the Gap

między matematyką w liceum i na uczelni

14 stycznia 2005

Joseph G. Rosenstein (Rutgers-NewBrunswick)

dlaczego tak wielu studentów pierwszego roku ma trudności z kalkulacją, kiedy wydają się być dobrze przygotowani?

ostatni raz uczyłem w pierwszym semestrze matematyki 41% Z 61 uczniów w klasie skończyło na stopniach C lub gorszych.

oto kilka danych. 82% uczniów w klasie miało semestr lub więcej matematyki w szkole średniej, a 73% miało rok lub więcej matematyki w szkole średniej. (35% miało nawet rok AP.) Pod każdym względem jest to grupa dobrze przygotowana do matury.

zła wiadomość jest taka, że jeśli zestawimy dane razem, możemy stwierdzić, że co najmniej 23% moich uczniów uczęszczało na kurs matematyki w liceum, ale nie udało mu się zrobić lepiej niż C w kursie matematyki incollege.

dlaczego jest tak wielu uczniów, którzy uczęszczali do szkoły średniej, ale nie zdali matury?

W tym krótkim wykładzie omówię trzy rodzaje kwestii –treść, proces i kwestie osobiste – wszystko w ciągu około 15 minut, a następnie otworzę głos do dyskusji.

W „treści” głównym problemem nie jest to, że uczniowie nie rozumieją pojęć rachunku, tylko to, że nie mają zaplecza z arytmetyką i algebrą.

jeden z uczniów zauważył kiedyś, że konkretny problem rozwiązał to, co nazwał „intensywną algebrą” – przez co miał na myśli, że miał dużo swojej wiedzy algebraicznej, aby przeprowadzić obliczenia w pojedynczym problemie. Dzieje się tak na przykład, gdy uczniowie muszą znaleźć pochodną funkcji f(x) =1/(x+3) z definicji – to znaczy, jak w przezroczystości, muszą znaleźć granicę ilorazu różnicy, ponieważ h idzie do zera. Zastanów się, jakie kroki muszą podjąć, aby rozwiązać ten problem. Muszą:

napisać poprawne wyrażenie dla f(x+h) pod warunkiem równania dla f (x);

połączyć dwa ułamki w liczniku w jeden ułamek;

połączyć sumę i różnicę pojęć;

przekształć ułamek, który ma ułamek w liczniku na taki, który nie ma;

znajdź wspólny współczynnik licznika i mianownika i wyróżnij go prawidłowo;

weź limit i wyraź wynik w odpowiednim formularzu.

nie tylko muszą być w stanie przeprowadzić każdy z tych etapów indywidualnie, ale także potrzebują funkcjonującego systemu monitorowania wysokiego poziomu, który widzi „duży obraz”, który jest zaangażowany w znalezienie pochodnej i który informuje ich, co muszą zrobić na każdym kroku.

jednak wielu z nich wciąż popełnia błędy, które występują od czasów Klasy średniej – np. niewłaściwie anuluje naruszenia terminów.

takie pytanie zadaje się w połowie i na końcu i chociaż wszyscy wiedzą, że to jest to, czego oczekuje się od nich, to wielu z nich nie jest w stanie poprawnie wykonać zadania.

kiedy mówimy o standardach NCTM, często działamy tak, jakby standardy procesowe zastąpiły standardy treści, które rozumienie zastąpiło facility. To nie jest sprawa. Chcemy skupić się na rozumowaniu i rozwiązywaniu problemów, ale chcemy również, aby nasi uczniowie mieli odpowiednią zdolność do wykonywania operacji matematycznych.

jaki obiekt jest „odpowiedni”? To zależy od ucznia. Ci, którzy mają zamiar skończyć biorąc kilkasemestrów rachunku w college ’ u zdecydowanie są w niekorzystnej sytuacji, jeśli mają trudności z arytmetyki i algebry.

Z drugiej strony ci, którzy raczej nie będą nadal obliczali, nie będą potrzebowali intensywnej algebry. Ale stwierdzenie, że dany uczeń jest w tej kategorii, może skończyć się wypełnianiem proroctwa.

dygresja na temat umiejętności algebraicznych. Wiele osób skrytykowało Test Rutgersa na podstawie tego, że nie jest zgodny ze standardami, z naszymi wysiłkami, ponieważ koncentruje się na umiejętnościach. Ale muszę wam powiedzieć, że jest to dobra miara prawdopodobieństwa sukcesu w obliczeniach przedliczbowych i rachunkowych, i tak było w ciągu ostatnich 20 lat, odkąd go wprowadziliśmy. Mierzy placówkę studentów z niezbędnymi umiejętnościami … ponieważ placówka z wymaganiami jest niezbędna do sukcesu na tych kursach.

podzielę się z Wami moim osobistym doświadczeniem. Kilka lat temu jedna z moich córek zaliczyła prekalkulus. Ponieważ mam trochę wpływu, udało mi się ją zapisać wprecalculus, argumentując, że jeśli miała trudności, miała dostęp do dobrego nauczyciela. To było poprawne … ale to był też błąd-skończyło się na udzielaniu wielu korepetycji. Nie była gotowa na kalkulację.

to koniec dygresji.

teraz potrzebne jest wyjaśnienie. Kiedy mówimy, że łatwość w algebrze jest niezbędna do sukcesu w rachunku różniczkowym, nie mamy na myśli tylko uczenia się zasad manipulacji. Facility inalgebra oznacza również zrozumienie matematyki, która leży u podstaw tych zasad. Kiedy uczniowie popełniają błędy, są one często wynikiem niezrozumienia matematyki, a my wszyscy musimy poświęcić więcej czasu na odkrywanie błędnych pomysłów, które doprowadziły do tych błędów, i pomóc uczniom zastąpić je dokładniejszymi zrozumieniami matematycznymi. Oznacza to omawianie błędów w klasie i z uczniami indywidualnie, a nie tylko oznaczanie ich poprawności w zadaniach domowych i testach.

umiejętność w algebrze oznacza również możliwość czerpania z własnego doświadczenia matematycznego, aby wymyślić odpowiedni następny krok wproblemie – to, o czym wspomniałem powyżej, jako monitorowanie postępów …wiedząc, co robić dalej.

to prowadzi nas do „problemów procesowych”.

wszyscy mamy tendencję do dzielenia się tym, czego się uczymy-po części dlatego, że natrafiamy na nowe informacje liniowo i musimy je gdzieś przechowywać. Ale bardzo ważne jest, aby nauka była połączona. Wszystko, co możemy zrobić jako nauczyciele, aby nawiązać połączenia między tematami, aby skupić uczniów na szerszym obrazie, jest bardzo ważne.

podawanie przykładów i zadań domowych, które łączą różne koncepcje, jest ważne, podobnie jak regularne egzaminy zbiorcze. W przeciwnym razie uczniowie dowiadują się, czego potrzebują, aby dowiedzieć się o tym w tym tygodniu quizu, a następnie o tym zapominają.

W niektórych szkołach sukces uczniów nagradzany jest m.in. egzaminami gimnazjalnymi i końcowymi. Uważam, że ta praktyka jest poważnym błędem – uczniowie nie mają szans na zebranie różnych elementów wiedzy, które zdobyli. Co więcej, nie przygotowuje ich do rutynowych egzaminów na studiach. W związku z tym, raport opublikowany trzy tygodnie temu zauważył, że zdawanie matury z matematyki w liceum nie było prognostykiem sukcesu w college ’ u, chociaż dobrze zdawał egzamin z matematyki.

Jedną z nich jestspartmentalizacja i integracja wiedzy, jak już omówiliśmy. Ale jest też kilka innych aspektów.

jednym z nich jest zachęcanie uczniów do Na przykład, powinni być zaznajomieni z różnymi aspektami idei funkcji – jako równania,jako reguły, jako wykresu, jako tabeli, jako maszyny wejścia-wyjścia – i być w stanie łatwo poruszać się tam iz powrotem między tymi reprezentacjami.

podobnie, powinny być w stanie poruszać się tam iz powrotem między algebrą i geometrią. Rozważając rozwiązanie równań liniowych jednocześnie, powinni rozpoznać, że jest to to samo, co pytanie, gdzie krzyżują się dwie linie. Kiedy podasz funkcję kwadratową, powinni być w stanie zwizualizować parabolę, którą definiuje – może nie wszystkie szczegóły,ale z pewnością powinni być świadomi, że definiuje parabolę i wiedzieć, czy otwiera się w górę, czy w dół. Nie tylko powinni być w stanie zwizualizować parabolę, ale powinni to faktycznie zrobić. Równanie i wykres powinny być dwoma widokami tego samego obiektu.

i kiedy znajdziesz rozwiązania równania kwadratowego, powinny one być w stanie przetłumaczyć to z łatwością na wykres funkcji quadratycznej – tak, że jeśli pierwiastki funkcji kwadratowej są, na przykład, 3 +/- sqrt2, powinny być w stanie zobrazować, gdzie wykres funkcji przecina oś X.

W pierwszym dniu zajęć daję uczniom mały skrawek papieru-1/8 arkusza 8, 5×11 i proszę ich o znalezienie stycznej kąta, którego sinus wynosi 3/5. Niektórzy uczniowie rysują Trójkąt; prawie wszyscy dostają właściwą odpowiedź. Niektórzy z nich nie rysują trójkąta; żaden z nich nie otrzymuje prawidłowej odpowiedzi.

ponieważ nie proszę ich o umieszczanie ich nazwisk na papierach, nie mogę odnosić rozwiązań tego problemu do ich ocen na kursie, ale moim zdaniem byłby wysoki stopień korelacji. Uczniowie, którzy mogą wizualizować algebrę, którzy mogą łatwo przejść od algebry do geometrii iz powrotem, prawdopodobnie odniosą sukces w obliczeniach.

na drugiej klasie zgłaszam uczniom wyniki tego eksperymentu i podkreślam znaczenie wizualizacji. Zachęcam ich, aby włączyli swój przełącznik wizualizacji, aby narysowali w swoim umyśle obraz każdej wypowiedzi, która jest w ich książce lub na planszy.

zaznaczam, że zdjęcie może zawierać wiele informacji. Na przykład, jeśli mogą wizualizować i interpretować wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens, to tylko muszą pamiętać o trzech faktach-że sin 30 = ½ , że tan 45 =1 i żesin2x + cos2x =1 . Prawie wszystko inne, co muszą wiedzieć o trygonometrii, można z nich wyciągnąć. W szczególności nie muszą zapamiętywać wielu faktów. To właśnie będą musieli zrobić, jeśli nie zrozumieją zdjęć. Niektórzy uważają, że trudno w to uwierzyć, a persistin próbuje zapamiętać wiele faktów na temat funkcji trygonometrycznych. Nic dziwnego, że czasami czują, żeich głowy są pełne.

istnieje około tuzina zdjęć, które zawierają wiele z pierwszego semestru rachunku różniczkowego – jeśli rozumiesz i potrafisz wyjaśnić, co jest w tych obrazkach,to bardzo dobrze sobie poradzisz z rachunkiem. Im też trudno w to uwierzyć.

Kolejną kwestią, o której krótko wspomnę, jest to, że uczniowie muszą mieć lepsze wyczucie, czy odpowiedź, którą generują, jest możliwa do uzyskania. Warunkiem tego jest oczywiście to, że zadają sobie pytanie, czy ich odpowiedzi nie są możliwe. Właściwie, jeśli zadają sobie pytanie, prawdopodobnie odpowiedzą odpowiednio. Więc celem jest, aby je zapytać thatquestion-czy ta odpowiedź jest rozsądna?

wreszcie uczniowie muszą mieć poczucie matematyki a język. Matematyka ma słowa isymbole i zasady dotyczące ich użycia. Często ignorujemy gramatykę matematyki i pozwalamy naszym uczniom mówić i pisać matematykę nieprawidłowo – praktyka, która nie byłaby dozwolona w klasie Hiszpańskiej. Więc w końcu nie używają rodziców, kiedy powinni i w rezultacie popełniają różnego rodzaju błędy. Nie używają znaku równości do rozdzielania wyrażeń w swoich matematycznych zdaniach, a w rezultacie ilości są rozdzielane z jednego wyrażenia na drugie. I często nie są w stanie przetłumaczyć swoich odpowiedzi na problemy z języka matematycznego na język angielski. Ta kwestia wymaga od nas większej uwagi.

i teraz dochodzimy do tego, co nazwałem problemami osobistymi. Poruszę cztery kwestie. Jednym z nich jest to, że wielu uczniów przychodzi do firstsemester rachunek myślenia, że znają rachunek już. To może być prawda – ale to prawda tylko dla niektórych z nich. Jest to jednak niebezpieczne założenie, dla tych, którzy wierzą, że przez pierwsze cztery tygodnie semestru nic nie zrobią … a potem uznają, że jest już za późno, by nadrobić zaległości.

proszę ostrzec swoich uczniów, że nawet jeśli mogą odnieść sukces w Twoim kursie, nie będą automatycznie odnosić sukcesu w Kursie o tym samym tytule w college ’ u. Chociaż oba kursy obejmują ten sam materiał, kurs uniwersytecki ma większą głębię.

druga kwestia to to, że studenci muszą wiedzieć, że będą musieli pracować w college ’ u. Niektórzy z nich będą w stanie poradzić sobie bez zbytniej pracy – w takim przypadku powinni być na trudniejszym kursie – ale większość z nich będzie miała swoje ręce z kursem, który podejmują – niezależnie od tego, czy jest to rachunek różniczkowy, czy prekalkulus czy algebra – czy dostali dobrą ocenę w tym kursie w liceum.

dowiedziałem się, że najlepszym predyktorem dobrej oceny jest uzyskanie dobrej oceny na pierwszym egzaminie. Spójrz na dane na wykresie. Pokazuje to, że 86% uczniów, którzy uzyskali 70% punktów na pierwszym egzaminie, uzyskało ocenę C+ lub lepszą za kurs. Z drugiej strony tylko 17% osób, które zdały mniej niż 70% pierwszego egzaminu, uzyskało ocenę C+ lub lepszą. Konsekwentna praca się opłaca. Ci, którzy dobrze zaczynają i pracują, konsekwentnie robią dobrze.

uczniowie moich klas 1

Jesień 1999, Jesień 2000, Jesień 2001, Jesień 2002

# studentów	70% lub więcej na pierwszym egzaminie	69 lub mniej na pierwszym egzaminie	razem
Klasyfikacja Końcowa: C+ lub wyższa	74	21	105
Klasa końcowa: C lub niższa	12	102	114
	86	123	219

86% ci, którzy uzyskali 70% lub lepiej na pierwszym teście, dostali C+ lub lepiej na kursie;17% z tych, którzy uzyskali 69% lub gorzej na pierwszym teście, dostało C+ lub lepiej w kursie

kolejną rzeczą, którą robię w pierwszym dniu zajęć, jest poproszenie każdego studenta o realistyczną ocenę tego, jaką ocenę spodziewa się dostać na kurs – biorąc pod uwagę różne rzeczy – i wręczenie tego na kolejnym małym karteczce. Każdy student, bez wyjątku, spodziewa się dostać B lub lepiej!

zgłaszam to uczniom z drugiej klasy, a potem pokazuję im ten wykres. Mówię im, że nie mogą zacząć semestru myśląc, że ponieważ znają wzory dla kilku pochodnych, znają rachunek. Mówię im, że muszą zacząć semestr od kalkulacji. Może to robi różnicę. Mówię im, że zrobię wszystko, co mogę, aby pomóc każdemu z nich uzyskać ocenę, na którą ma nadzieję-ale w końcu to zależy od nich.

to trzecia kwestia, którą chcę poruszyć – uczniowie muszą się uczyć, aby wziąć odpowiedzialność za własną edukację. W liceum widzisz ich każdego dnia i możesz nakłonić ich do poważnego potraktowania nauki. To świetnie. Ale kiedy pójdą na studia, są zdani na siebie, a jeśli nie nauczyli się brać odpowiedzialności za swoją edukację, będą mieli trudny czas.

Nie wiem, jak zmusić ich do wzięcia odpowiedzialności, ale jest skromny eksperyment, który możesz spróbować. Powiedz im, że nie będziesz zbierał zadań przez następne dwa tygodnie. Więc zrób im egzamin na materiale. Niektóre z nich nie wykonają zadań i będą źle radzić sobie na egzaminie. Być może ich wydajność na thatexam będzie przekazać im, że nie zbieranie pracy domowej nie powinny havebeen interpretowane jako ich nie trzeba to zrobić.

kolejnym aspektem brania odpowiedzialności za swoją edukację jest proszenie o pomoc i korzystanie z możliwości, które są dla nich dostępne. Mniej niż 20% mystudentów przychodzi do mnie, chociaż regularnie zachęcam ich do doso. Mniej niż 20% moich uczniów pisze do mnie ze swoimi pytaniami, chociaż mówię im, że najprawdopodobniej otrzymają odpowiedź w ciągu kilku godzin. Chociaż jedna trzecia moich uczniów skończy z D lub F, niewielu z nich będzie szukać różnych rodzajów pomocy, które są dla nich dostępne.

Wiekszosc uczniów nie dowiedziala sie jeszcze, ze jest ok dla nich pomoc-nie dowiedziala sie, ze jesli maja problemy na kursie, powinni jak najszybciej szukac pomocy. Muszą wiedzieć, że czekanie nie jest dobrą strategią. Być może twoje mówienie, że tothemowi coś zmieni.

to doprowadza mnie do końca moich uwag. Opowiedziałem trochę o kwestiach merytorycznych, problemach procesowych i problemach osobistych, które zakłócają sukces uczniów w kursach prekalkulu i rachunku różniczkowego, i dałem ci kilka wskazówek, jak możesz pomóc przygotować uczniów do przezwyciężenia przeszkód na drodze do ich sukcesu.

Dziękuję bardzo za uwagę, a teraz omówimy te kwestie.