Element tożsamości

każdy obiekt matematyczny, który po zastosowaniu operacji, takiej jak dodawanie lub mnożenie, do innego obiektu matematycznego, takiego jak liczba, pozostawia drugi obiekt bez zmian, nazywany jest elementem tożsamości. Dwa najbardziej znane przykłady to 0, które po dodaniu do liczby daje liczbę, i 1, który jest elementem tożsamości do mnożenia.

bardziej formalnie, element tożsamości jest definiowany w odniesieniu do danej operacji i danego zbioru elementów. Na przykład, 0 jest elementem tożsamości do dodawania liczb całkowitych; 1 jest elementem tożsamości do mnożenia liczb rzeczywistych. Z tych przykładów jasno wynika, że operacja musi obejmować dwa elementy, tak jak dodawanie, a nie pojedynczy element, jako takie operacje, jak przyjmowanie potęgi.

czasami zestaw nie ma elementu tożsamości dla jakiejś operacji. Na przykład zbiór liczb parzystych nie ma elementu tożsamości do mnożenia, chociaż istnieje element tożsamości do dodawania. Większość systemów matematycznych wymaga elementu tożsamości. Na przykład grupa przekształceń nie mogłaby istnieć bez elementu tożsamości, który jest transformacją, która pozostawia element grupy niezmieniony.