Notacja naukowa i znaczące liczby
w poprzednim przykładzie powinieneś zauważyć, że odpowiedź jest przedstawiona w tak zwanej notacji naukowej.
notacja naukowa…
…to sposób wyrażania bardzo małych lub bardzo dużych liczb
…jest najczęściej używany w obliczeniach „naukowych”, gdzie analiza musi być bardzo dokładna
…składa się z dwóch części: Liczby i potęgi 10. Przykład: 1.22 x 103
aby liczba była w prawidłowej notacji naukowej, tylko jedna cyfra może być na lewo od dziesiętnego.
\ begin{align}1.22 & \ times 10^3 \text{ is correct} \ \ 12.2 & \times 10^2 \ text{ is not} \ end{align}
jak przekonwertować liczby nie wykładnicze na liczby wykładnicze:
przykład 1
$$ 234,999 $$
jest to duża liczba, a implikowany punkt dziesiętny znajduje się na końcu liczby.
$$ 234,999. $$
aby przekonwertować to na liczbę wykładniczą, musimy przesunąć dziesiętny w lewo, aż tylko jedna cyfra znajdzie się przed przecinkiem dziesiętnym. W tej liczbie przesuwamy punkt dziesiętny 5 razy.
$$ 2.34999 \text {(pięć liczb)} $$
…i tak wykładnik, który umieszczamy na potędze 10 wynosi 5. Otrzymaną liczbą wykładniczą jest wówczas:
$$2.34999 \czasy 10^5 $$
inne przykłady:
\ begin{align}21 & \to 2.1 \ times 10^1 \\16600.01 & \do 1.660001 \ razy 10^4 \\455 & \do 4.55 \ razy 10^2 \ end{align}
małe liczby mogą być zamienione na notację wykładniczą w podobny sposób. Po prostu przesuwasz dziesiętny w prawo, aż tylko jedna niezerowa cyfra znajdzie się przed przecinkiem dziesiętnym. Wykładnik jest równy liczbie cyfr, które trzeba było przekazać po drodze.
przykład 2
$$ 0.000556 $$
pierwsza niezerowa cyfra to 5, więc liczba staje się 5.56 i musieliśmy przekazać punkt dziesiętny przez 4 cyfry, aby dostać się do punktu, w którym była tylko jedna niezerowa cyfra z przodu liczby, więc wykładnik będzie -4. Otrzymaną liczbą wykładniczą jest wówczas:
$$ 5.56 \czasy 10^{-4} $$
inne przykłady
\ begin{align}0.0104 & \to 1.04 \times 10^{-2} \\0.0000099800 & \do 9.9800 \ razy 10^{-6} \\0.1234 & \do 1.234\razy 10^{-1} \ end{align}
podsumowując, przesunięcie punktu dziesiętnego w lewo daje dodatni wykładnik. Przesunięcie punktu dziesiętnego w prawo daje ujemny wykładnik.
innym powodem, dla którego często stosujemy notację naukową, jest konieczność zachowania odpowiedniej liczby znaczących liczb w naszych obliczeniach.
liczby znaczące
istnieją trzy zasady określania liczby znaczących w liczbie:
- cyfry niezerowe są zawsze znaczące.
- wszelkie zera pomiędzy dwiema cyframi znaczącymi są znaczące.
- końcowe zero lub końcowe zera w części dziesiętnej są znaczące.
- 2003 ma 4 znaczące liczby
- 00.00300 ma 3 znaczące liczby
- 00067000 ma 2 znaczące liczby
- 00067000.0 ma 6 znaczące liczby
dokładne liczby
dokładne liczby, takie jak liczba osób w pokoju, mają nieskończoną liczbę znaczących liczb. Dokładne liczby liczą, ile czegoś jest obecnych, nie są to pomiary wykonane przy pomocy przyrządów. Innym przykładem tego są liczby zdefiniowane, takie jak
$$ 1 \tekst{ stopa} = 12 \ tekst{ cale} $$
w jednej stopie jest dokładnie 12 cali. Dlatego też, jeśli liczba jest dokładna, nie ma to wpływu na dokładność obliczeń ani na precyzję wyrażenia. Kilka przykładów:
- jest 100 lat w stuleciu.
- co ciekawe, prędkość światła jest teraz określoną ilością. Z definicji, wartość wynosi 299,792,458 metrów na sekundę.
aby przedstawić wartość w odpowiedniej liczbie cyfr znaczących, często musisz zaokrąglić wartość do tej liczby cyfr. Poniżej znajdują się zasady, których należy przestrzegać podczas robienia tego:
zastosowanie zasad dotyczących liczb znaczących podczas wykonywania obliczeń jest ważne i istnieją różne sposoby ich stosowania w zależności od rodzaju wykonywanych obliczeń.
liczby znaczące i dodawanie lub odejmowanie
dodawanie i odejmowanie liczba liczb znaczących, które można podać, opiera się na liczbie cyfr w najmniej dokładnej podanej liczbie. W szczególności oznacza to, że liczba cyfr po przecinku określa liczbę cyfr, które można wyrazić w odpowiedzi.
przykład
liczby znaczące i mnożenie lub dzielenie
w mnożeniu i dzieleniu liczbę liczb znaczących określa się po prostu przez wartość najniższych cyfr. Oznacza to, że jeśli pomnożysz lub podzielisz trzy liczby: 2.1, 4.005 i 4.5654, wartość 2.1, która ma najmniejszą liczbę cyfr, oznaczałaby, że odpowiedź zostanie udzielona tylko dwóm liczbom znaczącym.