Rozkład Cholesky ’ ego na przykładzie R

BY admin
|

metoda rozkładu macierzy dodatnio-określonej. Macierz dodatnio-definiowana jest jako macierz symetryczna, gdzie dla wszystkich możliwych wektorów \(x\), \(x ’ AX > 0\). Rozkład Cholesky ’ ego i inne metody rozkładu są ważne, ponieważ nie jest często wykonalne bezpośrednie wykonywanie obliczeń macierzowych.

rozkład Cholesky 'ego, znany również jako rozkład Cholesky’ ego, jest metodą rozkładu dodatnio-definitywnej matrycy. Macierz Apositive-definiowana jest jako macierz symetryczna, gdzie dla wszystkich wektorów \ (x\), \(x ’ AX > 0\). Rozkład Cholesky ’ ego i inne metody dekompozycji są ważne, ponieważ nie jest to często wykonalne bezpośrednio do obliczeń matrycowych. Niektóre zastosowania Choleskydekompozycji obejmują rozwiązywanie układów równań liniowych, symulację Monte Carlo i filtry Kalmana.

czynniki rozkładu a macierz dodatnio-definitywna \(a\) na:

$$ A = LL^T$$

jak rozkładać macierz z rozkładem Cholesky 'ego

istnieje wiele metod obliczania rozkładu macierzy z podejściem Cholesky’ ego. Ten post ma podobne podejście do tegozastosowanie.

kroki w faktoringu macierzy są następujące:

  1. Compute \(L_1 = \sqrt{a_{11}}\)

  2. For \(k = 2, \dots, n\):

  3. Find \(l_{K-1} l_k = a_k\) for \(l_k\)

  4. \(l_{kk} = \sqrt{a_{KK} – l_k^t l_k}\)
  5. \(L_k =
    \begin{bmatrix} L_{k-1} & 0 \\ l_k^t & l_{kk} \ end{bmatrix}

    \)

przykład rozkładu Cholesky ’ ego

rozważmy następującą macierz \(A\).

$$a = \ begin{bmatrix} 3 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{bmatrix}$$

powyższa macierz \(a\) pochodzi z Ćwiczenia 2.16 w książce metody analizy wielowymiarowej Alvina Renchera.

zacznij od znalezienia \(L_1\).

$ $ L_1 = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{3} = 1.732051 $$

następnie znajdujemy \(l_2\)

$$ l_2 = \ frac{a_{21}}{L_1} = \frac{4}{\sqrt{3}} = 2.309401 $$

następnie \(l_{22}\) można obliczyć.

$$ l_{22} = \sqrt{a_{22} – l_2^t l_2} = \sqrt{8 – 2.309401^2} = 1.632993 $$

mamy teraz macierz \ (l_2\):

$$l_2 = \ begin{bmatrix} L_1 & 0 \\ l_2^t & l_{22} \ end{bmatrix} = \ begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end{bmatrix}$$

ponieważ macierz jest \ (3\ razy 3\), wymagamy jeszcze tylko jednej iteracji.

po obliczeniu \(L_2\) można znaleźć \(l_3\):

$$ l_3 = \frac{a_3}{L_2} = A_3 L_2^{-1} = \ begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end{bmatrix}^{-1} \ begin{bmatrix} 3 \ \ 6 \ end{bmatrix}$$
$$l_3 = \ begin{bmatrix} 1.7320508 \ \ 1.224745 \ end{bmatrix}$$

\(l_{33}\) zostaje znalezione:

$$ l_{33} = \sqrt{a_{33} – l_3^t l_3} = \sqrt{9- \ begin{bmatrix}1.7320508 & 1.224745\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1.7320508 \\ 1.224745 \ end{bmatrix}} = 2.12132 $$

co daje nam macierz \(L_3\):

$$l_3 = \ begin{bmatrix} 1.7320508 & 0 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 & 0 \\ 1.7320508 & 1.224745 & 2.12132\end{bmatrix}$$

macierz \(L_3\) może być następnie przyjęta jako rozwiązanie. Transponowanie dekompozycji zmienia macierz w górną macierz trójkątną.

rozkład Cholesky 'ego w R

funkcja chol() wykonuje rozkład Cholesky’ ego na macierzy dodatnio-określonej. Definiujemy macierz \(a\) w następujący sposób.

A = as.matrix(data.frame(c(3,4,3),c(4,8,6),c(3,6,9)))colnames(A) <- NULLA
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

następnie współczynnik macierzy za pomocą funkcji chol().

A.chol <- chol(A)A.chol
## ## 1.732051 2.309401 1.732051## 0.000000 1.632993 1.224745## 0.000000 0.000000 2.121320

funkcja chol() zwraca górną macierz trójkątną. Transponując rozkładaną macierz otrzymujemy niższą macierz trójkątną, jak w naszym wyniku.

t(A.chol)
## ## 1.732051 0.000000 0.00000## 2.309401 1.632993 0.00000## 1.732051 1.224745 2.12132

nasz powyższy wynik pasuje do wyniku funkcji chol().

możemy również pokazać tożsamość \(a = LL^T\) z wynikiem.

t(A.chol) %*% A.chol
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

podsumowanie

rozkład Cholesky ’ ego jest często wykorzystywany, gdy bezpośrednie obliczenie macierzy nie jest optymalne. Metoda jest stosowana w różnych zastosowaniach, takich jak analiza wielowymiarowa ze względu na jej relatywnie efektywny charakter i stabilność.

(2011). Źródło: http://www.seas.ucla.edu/~vandenbe/103 / lectures / chol.pdf

Retrieved from http://www.math.sjsu.edu/~foster / m143m / cholesky.pdf

rozkład Cholesky (2016). W Wikipedii. Pobrano z https: / / en.wikipedia.org / wiki / Cholesky_decomposition

Rencher, A. C. (2002). Metody analizy wielowymiarowej. J. Wiley

  • kwadratowa Analiza dyskryminacyjna kilku grup
  • kwadratowa Analiza dyskryminacyjna dwóch grup
  • Analiza dyskryminacyjna kilku grup
  • liniowa Analiza dyskryminacyjna dla klasyfikacji kilku grup
  • liniowa Analiza dyskryminacyjna dla klasyfikacji dwóch grup