twierdzenie o punkcie stałym
twierdzenie o punkcie stałym, każde z różnych twierdzeń w matematyce zajmujących się przekształceniem punktów zbioru w punkty tego samego zbioru, gdzie można udowodnić, że co najmniej jeden punkt pozostaje stały. Na przykład, jeśli każda liczba rzeczywista jest kwadratowa, liczby zero i jeden pozostają stałe; natomiast przekształcenie, w którym każda liczba jest zwiększona o jeden, NIE pozostawia liczby stałej. Pierwszy przykład, przekształcenie składające się z kwadratu każdej liczby, przy zastosowaniu do otwartego przedziału liczb większych niż zero i mniejszych niż jeden (0,1), również nie ma punktów stałych. Jednak sytuacja zmienia się dla zamkniętego interwału, z uwzględnieniem punktów końcowych. Transformacja ciągła to taka, w której sąsiednie punkty są przekształcane w inne sąsiednie punkty. (Patrz ciągłość.) Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym mówi, że każda ciągła transformacja dysku zamkniętego (w tym granicy) w siebie pozostawia co najmniej jeden punkt stały. Twierdzenie jest również prawdziwe dla ciągłych przekształceń punktów na zamkniętym przedziale, w zamkniętej kuli lub w abstrakcyjnych wyższych zbiorach wymiarowych analogicznych do kuli.
twierdzenia o punkcie stałym są bardzo przydatne do ustalenia, czy równanie ma rozwiązanie. Na przykład w równaniach różniczkowych przekształcenie zwane operatorem różniczkowym przekształca jedną funkcję w drugą. Znalezienie rozwiązania równania różniczkowego można następnie zinterpretować jako znalezienie funkcji niezmienionej przez powiązane przekształcenie. Rozważając te funkcje jako punkty i definiując zbiór funkcji analogicznych do powyższego zbioru punktów składających się na dysk, można udowodnić twierdzenia analogiczne do twierdzenia Brouwera o punkcie stałym dla równań różniczkowych. Najbardziej znanym tego typu twierdzeniem jest twierdzenie Leray-Schaudera, opublikowane w 1934 roku przez Francuza Jeana Leray ’ a i Polaka Juliusa Schaudera. To, czy ta metoda daje rozwiązanie (tj. to, czy można znaleźć punkt stały, czy nie), zależy od dokładnej natury operatora różniczkowego i zbioru funkcji, z których poszukiwane jest rozwiązanie.