Autovalores, autovectores e composição de autovalores

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o que precisa de saber para compreender este tópico?

  • Basics of linear algebra

Sections

  • eigen what?
  • Eigendecomposition
    • An example
  • Why is eigendecomposition useful?
    • Matrix inverse
    • Power of a matrix
  • Properties of eigendecomposition
  • How to compute eigendecomposition?Algoritmo QR

eigen quê?

Eigen means own or self. Em álgebra linear, autovetor, autovetor e composição de autovetor são termos intrinsecamente relacionados. A eigendecomposição é o método para decompor uma matriz quadrada em seus autovalores e autovetores. Para uma matriz $A$ se$$\begin{equation}A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}\label{eq:Avlv}\end{equation}$$, então $\mathbf{v}$ é um eigenvector da matriz $A$ e $\lambda$ é o correspondente eigenvalue. Isto é, se matrix $A$ é multiplicado por um vetor e o resultado é uma versão em escala do mesmo vetor, então é um autovetor de $A$ e o Fator de escala é o seu autovalor.

Eigendecomposition

so how do we find the eigenvectors of a matrix? A partir de $\eqref{eq:Avlv}$:$$A\mathbf{v}-\lambda I \mathbf{v} = 0$$$$\begin{equation} de(A -\lambda I) \mathbf{v} = 0\label{eq:AlI}\end{equation},$$, onde $I$ é a matriz identidade. Os valores de $\lambda$ onde $\eqref{EQ: AlI}$ são os valores de $ a$. Acontece que esta equação é equivalente a:$$\begin{equation}det ( a – \lambda I) = 0,\label{EQ:detAlI}\end{equation}$$where det () is the determinant of a matrix.A prova de que o título (a – \lambda I) \ equiv (a – \lambda I) \ mathbf {v}=0$

primeiro, você deve saber que uma matriz não é invertível se e somente se seu determinante for zero. Então, para os valores de $\lambda $ que $\eqref{EQ: detAlI}$ detém, $a-\lambda I$ é não-invertível (singular). Nesses casos, você não pode deixar-multiplicar ambos os lados de $\eqref{EQ: AlI}$ por $(a – \lambda I)^{-1}$ (uma vez que não há inverso) para obter:$$\mathbf{v} = 0,$$, o que significa que, nesses casos, a solução para $\eqref{eq:Avlv}$ é diferente de $\mathbf{v} = 0$ e $\lambda$ é um eigenvalue de $A$.

exemplo

Vamos ver o eigendecomposition para a matriz:$$A=\left$$Do $\eqref{eq:detAlI}$:$$det\left(\left\right) = 0$$$$(1-\lambda)(3-\lambda) = 0$$ficamos directamente $\lambda_1 = 1$ e $\lambda_2 = 3$. A expressão acima é geralmente referida como a equação polinomial característica ou característica de uma matriz.A ligar $ \ lambda_1$ em $\eqref {EQ: Avlv}$, recebemos:$ $ $ \esquerda\esquerda= 1 \esquerda$ $ $ da qual recebemos $v_{11} = -2v_{12}$. Isto é, qualquer vector $\mathbf{v_1} = $ onde $v_{11} = -2v_{12}$ é um autovetor de $a$ com o autovalue 1.
Ligar $\lambda_2$ em $\eqref{eq:Avlv}$, temos:$$\left\left= 3 \left$$do qual nós obtemos $v_{21} = 0$ e $v_{22} \in \mathbb{R}$. Isto é, qualquer vector $\mathbf{v_2} = $ onde $v_{21} = 0$ é um autovetor de $a$ com autovalue 3.

por que é útil a combinação eigendecomposição?

Referindo-se ao exemplo anterior, podemos participar de ambos os autovetores e autovalores de uma única equação matricial:$$A\left = \left\left =\left\left =\left\left$$Se substituirmos:$$\Lambda = \left$$$$V = \left$$também é verdade que:$$AV = V\Lambda$$$$\begin{equation}A = V\Lambda V^{-1}\label{eq:AVLV}\end{equation}$$Eigendecomposition se decompõe uma matriz $A$ em uma multiplicação de uma matriz de autovetores $V$ e uma matriz diagonal de autovalores $\Lambda$. Isto só pode ser feito se uma matriz for diagonalizável. De facto, a definição de uma matriz diagonalizável $a \in \mathbb{R}^{n \times n}$ é que pode ser eigendecomposta em $n$ eigenvectores, de modo que $V^{-1}AV = \Lambda$.

matriz inversa com eigendecomposição

de $\eqref{EQ: AVLV}$:$A^{-1} = V \Lambda^{-1}$o inverso de $\Lambda$ é apenas o inverso de cada elemento diagonal (os autovalores).

Potência de uma matriz com eigendecomposition

a Partir de $\eqref{eq:AVLV}$:$$A^2 = V \Lambda V^{-1} V \Lambda V^{-1} = V \Lambda^{2} V^{-1}$$$$A^n = V \Lambda^n V^{-1}$$O poder do $\Lambda$ é apenas o poder de cada elemento diagonal. Isto torna-se muito mais simples do que multiplicações de A.

Propriedades de eigendecomposition

  • $det(A)=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i$ (o determinante de A é igual ao produto de seus autovalores)
  • $tr(A)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i$ (o traço de A é igual à soma de seus autovalores)
  • Os autovalores de $A^{-1}$ são $\lambda_i^{-1}$
  • Os autovalores de $A^{n}$ são $\lambda_i^{n}$
  • Em geral, os autovalores de $f(A)$ são $f(\lambda_i)$
  • Os autovetores de $A^{-1}$ são o mesmo que os autovetores de $A$.
  • se $A$ é hermitiana (seu conjugado transpor é igual a si mesmo) e full-rank (todas as linhas ou colunas são linearmente independentes) e, em seguida, os autovetores são mutuamente ortogonais (o ponto-produto entre dois coeficientes é igual a zero) e os autovalores são reais.
  • $a$ é invertível se todos os seus autovalores são diferentes de zero e vice-versa.
  • If the eigenvalues of matrix $A$ are distinct( not repeated), then a can be eigendecomposed.Como calcular a composição de eigend?

    calcular a polinomial característica e depois resolvê-la com respeito aos autovalores torna-se impraticável à medida que o tamanho da matriz aumenta. Na prática, algoritmos iterativos são usados para eigendecomposir uma matriz.

    iteração de potência

    iteração de potência é um método iterativo para calcular o maior autovetor e o seu autovetor associado. Apenas o valor mais alto/vetor é encontrado, de modo que este método como uso limitado.

    primeiramente, começamos com algum vetor $b_0$, que pode ser um palpite educado do autovetor dominante ou um vetor Aleatório. Então, iterate através da seguinte equação:$$b_{k+1} = \frac{a b_k}{\left\Vert a b_k \right\Vert}.$$A cada iteração, o vetor é multiplicado pela matriz $a$ e normalizado, convergindo para o autovetor dominante. Este método só funciona se::

    • $ um$ tem um valor eigen maior ou igual a todos os outros.
    • Vector $b_0$ tem um componente não-zero na direcção do autovetor dominante (ou seja, o seu produto-Ponto é diferente de zero)

    usando a nossa matriz de exemplo $a$ e vector inicial:$$b_0 = \deixou$$para o primeiro passo:$$b_1 = \frac{\left\left}{\left\Vert\left\left\right\Vert}= \frac{\left}{5} = \left$$Para as próximas etapas, reutilizar a última $b$ e$$b_2= \left, b_3= \left, b_4=\left, b_5= \left$$e$$ \left\Vert Um b_5 \right\Vert = 2.99$$ se você Se lembrar, a maior eigenvalue de $A$ 3 e a sua eigenvector é $\mathbf{v} = $, onde $v_{21} = 0$ e $v_{22}$ pode ter qualquer valor.

    QR algorithm

    the QR algorithm uses the QR decomposition iteratively to make the eigendecomposition. Lembre-se que a decomposição QR decompõe uma matriz $a$ em uma matriz ortogonal $Q$ e uma matriz triangular superior $R$ como $a = QR$.

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