Cálculo
neste tópico, vamos estudar como integrar algumas combinações envolvendo produtos e potências de funções trigonométricas.
consideramos casos \(8\).
Para avaliar integrais de produtos de seno e co-seno com diferentes argumentos, podemos aplicar as identidades
Integrais da forma \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}\)
aqui assume-se que os poderes \(m\) e \(n\) são números inteiros não negativos.
para encontrar uma integral desta forma, use as seguintes substituições::
integrais do tipo \(\int {{{\sin }^n}xdx} \) e \(\int {{{\cos }^n}xdx} \) pode ser avaliada pela redução de fórmulas
\
\
Integrais da forma \({\large\int\normalsize} {{\tan^n}xdx} \)
O poder de o integrando pode ser reduzido usando a identidade trigonométrica \(1 + {\tan ^2}x = {\s ^2}x\) e a fórmula de redução de
\
Integrais da forma \({\large\int\normalsize} {{{\berço }^n}xdx} \)
O poder de o integrando pode ser reduzido usando a identidade trigonométrica \(1 + {\berço ^n}x = {\csc ^n}x\) e a fórmula de redução de
\
Integrais da forma \({\large\int\normalsize} {{\s^n}xdx} \)
Este tipo de integrais pode ser simplificado com a ajuda da fórmula de redução de:
\
Integrais da forma \({\large\int\normalsize} {{\csc^n}xdx} \)
da mesma forma para os exemplos anteriores, este tipo de integrais pode ser simplificada através da fórmula
\
Integrais da forma \({\large\int\normalsize} {{\tan^m}x\,{\s^n}xdx} \)
Integrais da forma \({\large\int\normalsize} {{\berço^m}x\,{\csc^n}xdx} \)
Problemas Resolvidos
Clique ou toque em um problema para ver a solução.
exemplo 1.
Calcule o integral \({\large\int\normalsize} {{\sin^3}xdx}.
solução.
Let \(u = \ cos x,\) \(du = -\sin xdx.\ ) Então
Exemplo 2.
avalie o integral \({\large\int\normalsize} {{\cos^5}xdx}.
solução.
Fazendo a substituição de \(u = \sin x\) \(du = \cos xdx\) e usando a identidade \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x\) obtemos
Exemplo 3.
Encontre o integral \({\large\int\normalsize} {{\sin^6}xdx}.
solução.
o Uso de identidades \({\sin ^2}x = {\large\frac{{1 – \cos 2x}}{2}\normalsize}\) e \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\), podemos escrever:
Calcular integrais na última expressão.
\
Para encontrar a integral \({\large\int\normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) nós fazemos a substituição de \(u = \sin 2x,\) \(du =\) \( 2\cos 2xdx.\ ) Então
portanto, a integral inicial é
exemplo 4.
Encontre a integral \(\int {{\sin }^2}x\, {{{\cos }^3}x}dx}.
solução.
A potência do cosseno é ímpar, por isso fazemos a substituição
\
reescrevemos a integral em termos de \(\sin x\) para obter:
exemplo 5.
Calcule o integral \({\large\int\normalsize} {{{{\sin }^2}x\, {{\cos }^4}xdx}.
solução.
podemos escrever:
\
Nós converter o integrando usando as identidades
\
Isso produz
Exemplo 6.
avalie a integral \(\int {{\sin }^3}x\, {\cos }^4}xdx}.
solução.
Como o poder do seno é ímpar, usamos a substituição
\
A integral é escrito como
\
Pelo Pitágoras de identidade,
\
Daí
Exemplo 7.
avalie a integral \(\int {{\sin }^3}x\, {\cos }^5}xdx}.
solução.
vemos que ambos os poderes são ímpares, então podemos substituir tanto \(u = \sin x\) ou \(u = \cos X.\) Escolher o menor expoente, temos
\
A integral toma a forma
\
Usando a identidade Pitagórica,
\
podemos escrever
Exemplo 8.
avalie a integral \(\int {{\sin }^3}x\, {\cos }^3}xdx}.
solução.
\
Pelo Pitágoras de identidade,
\
obtemos assim