Calculus II-More on Sequences
Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes
Secção 4-2 : More on Sequences
In the previous section we introduced the concept of a sequence and talked about limits of sequences and the idea of convergence and divergence for a sequence. Nesta seção queremos dar uma olhada rápida em algumas idéias envolvendo sequências.
vamos começar com alguma terminologia e definições.
dada qualquer sequência \(\left\ {{{{{a_n}}} \right\}\) temos o seguinte.
- chamamos a sequência de aumento se \({a_n} < {a_{n + 1}}}\) para cada \(n\).
- chamamos a sequência a diminuir se \({a_n} > {a_{n + 1}}}\) para cada \(n\).
- se \(\esquerda\ {{{{{{{a_n}} \direita\}) é uma sequência crescente ou \(\esquerda\ { {{{{{a_n}} \direita\}) é uma sequência decrescente que lhe chamamos monotónica.
- Se existe um número \(m\) tal que \(m \le {a_n}\) para cada \(n\) dizemos que a seqüência é limitada abaixo. O número \(M\) é algumas vezes chamado de limite inferior para a sequência.
- Se existe um número \(M\) tal que \({a_n} \le M\) para cada \(n\) dizemos que a seqüência é limitada acima. O número \(M\) é às vezes chamado de limite superior para a sequência.
- se a sequência é simultaneamente delimitada por baixo e delimitada por cima, chamamos à sequência delimitada.
Note que para que uma sequência esteja aumentando ou diminuindo ela deve estar aumentando/diminuindo para cada \(n\). Em outras palavras, uma sequência que aumenta por três termos e depois diminui para o resto dos Termos não é uma sequência decrescente! Note também que uma sequência monotônica deve sempre aumentar ou deve sempre diminuir.
Antes de seguir em frente devemos fazer um ponto rápido sobre os limites para uma sequência que é limitada acima e/ou abaixo. Faremos o ponto sobre os limites inferiores, mas poderíamos facilmente chegar aos limites superiores.
uma sequência é delimitada abaixo se pudermos encontrar qualquer número \(m\) tal que \(m \le {a_n}\) para cada \(n\). Note no entanto que se encontrarmos um número \(M\) para usar para um limite inferior, então qualquer número menor que \(M\) também será um limite inferior. Além disso, só porque encontramos um limite inferior, isso não significa que não haverá um limite inferior “melhor” para a sequência do que aquele que encontramos. Em outras palavras, há um número infinito de limites inferiores para uma sequência que é limitada abaixo, alguns serão melhores do que outros. Na minha turma, tudo o que procuro será um limite inferior. Não preciso necessariamente do melhor limite inferior, apenas um número que será um limite inferior para a sequência.
vamos dar uma olhada em alguns exemplos.
- \(\left\{ { – {n^2}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
Mostrar Todas as Soluções Ocultar Todas as Soluções
Esta sequência é uma diminuição da sequência (e, portanto, monotônicas) porque,
\
para cada \(n\).
também, uma vez que os termos da sequência serão zero ou negativos, esta sequência é limitada acima. Podemos usar qualquer número positivo ou zero como o limite, \(M\), no entanto, é padrão para escolher o menor limite possível se pudermos e é um número agradável. Então, vamos escolher \(M = 0\) uma vez que,
\
esta sequência não é limitada abaixo, no entanto, uma vez que podemos sempre chegar abaixo de qualquer potencial limitado por tomar \(n\) Grande o suficiente. Portanto, enquanto a sequência é limitada acima, ela não é limitada.
como uma nota lateral podemos também notar que esta sequência diverge (para \ (- \infty \) se queremos ser específicos).
b \(\left\{ {{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Mostrar a Solução
A sequência de termos dessa seqüência alternativa entre 1 e -1 e, portanto, a seqüência não é nem um aumento da sequência ou de uma sequência decrescente. Uma vez que a sequência não é uma sequência crescente ou decrescente, ela não é uma sequência monotônica.
a sequência é delimitada, no entanto, uma vez que é delimitada acima por 1 e delimitada abaixo por -1.Mais uma vez, podemos notar que esta sequência também é divergente.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \) Mostrar a Solução
Esta sequência é uma diminuição da sequência (e, portanto, monotônicas) pois,
\
Os termos dessa seqüência são todos positivos e por isso é limitado abaixo de zero. Além disso, uma vez que a sequência é uma sequência decrescente, o primeiro termo de sequência será o maior e assim podemos ver que a sequência também será delimitada acima por \(\frac{2}{{25}}\). Portanto, esta sequência é limitada.
podemos também ter um limite rápido e notar que esta sequência converge e o seu limite é zero.
agora, vamos trabalhar mais alguns exemplos que são projetados para garantir que não nos acostumamos muito a confiar em nossa intuição com esses problemas. Como observamos na seção anterior, nossa intuição pode muitas vezes nos desviar com alguns dos conceitos que estaremos olhando neste capítulo.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{n}{{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
Mostrar Todas as Soluções Ocultar Todas as Soluções
vamos começar com o limitado parte deste exemplo, primeiro, e, em seguida, voltar e lidar com o aumento/diminuição questão, uma vez que é onde os alunos muitas vezes cometemos erros com este tipo de sequência.
First, \(n\) is positive and so the sequence terms are all positive. A sequência é, portanto, delimitada abaixo de zero. Da mesma forma, cada termo sequencial é o quociente de um número dividido por um número maior e assim é garantido ser menos de um. A sequência é então limitada acima por um. Então, esta sequência é limitada.Agora vamos pensar sobre a questão monotônica. Em primeiro lugar, os estudantes muitas vezes cometerão o erro de supor que porque o denominador é maior o quociente deve estar diminuindo. Nem sempre será assim e, neste caso, estaríamos errados. Esta sequência está a aumentar, como veremos.
para determinar a natureza crescente / decrescente desta sequência, precisaremos de recorrer a técnicas de cálculo I. Primeiro considere a seguinte função e sua derivada.
\
podemos ver que a primeira derivada é sempre positiva e assim, a partir do Cálculo I sabemos que a função deve ser então uma função crescente. Então, como é que isto nos ajuda? Note que,
\
Portanto, porque \(n < n + 1\) e \(f\esquerda (x \direita)\) está a aumentar, podemos também dizer que,
\
por outras palavras, a sequência deve estar a aumentar.
Note que agora que sabemos que a sequência é uma sequência crescente podemos obter um limite inferior melhor para a sequência. Uma vez que a sequência está aumentando o primeiro termo na sequência deve ser o menor termo e assim, uma vez que estamos começando em \(n = 1\), também poderíamos usar um limite inferior de \(\frac{1}{2}\) para esta sequência. É importante lembrar que qualquer número que seja sempre menor ou igual a todos os Termos de sequência pode ser um limite inferior. Alguns são melhores do que outros.
um limite rápido também nos dirá que esta sequência converge com um limite de 1.Antes de passar à parte seguinte, há uma questão natural que muitos estudantes terão neste momento. Por que usamos o cálculo para determinar a natureza crescente/decrescente da sequência quando poderíamos ter apenas conectado um par de \(n\)’s e rapidamente determinado a mesma coisa?
a resposta a esta pergunta é a próxima parte deste exemplo!
B \(\left\ {\displaystyle \frac {{{{{n^3}}} {{{{n^4} + 10000}}}} \right\}_{n = 0}^ \ infty \) Show Solution
esta é uma sequência confusa, mas precisa de ser para fazer o ponto desta parte.
em primeiro lugar, observe que, como na parte anterior, os Termos de sequência são todos positivos e serão todos menos de um (uma vez que o numerador é garantido ser menor que o denominador) e assim a sequência é limitada.Agora, vamos passar à questão crescente/decrescente. Como com o último problema, muitos alunos vão olhar para os expoentes no numerador e denominador e determinar com base em que os termos da sequência deve diminuir.No entanto, esta não é uma sequência decrescente. Vamos dar uma olhada nos primeiros termos para ver isso.
\
os primeiros 10 termos desta sequência estão todos a aumentar e por isso claramente a sequência não pode ser uma sequência decrescente. Lembre-se que uma sequência só pode estar a diminuir se todos os Termos estiverem a diminuir.
agora, não podemos cometer outro erro comum e assumir que, porque os primeiros termos aumentam, então toda a sequência também deve aumentar. Se o fizéssemos, estaríamos também enganados, uma vez que esta não é também uma sequência crescente.Esta sequência não está a diminuir ou a aumentar. A única maneira segura de ver isso é fazer o Cálculo I abordagem para aumentar / diminuir funções.Neste caso, precisaremos da seguinte função e sua derivada.
\
esta função terá os seguintes três pontos críticos,
\{{30000}} \aprox 13.1607,\hspace{0.25 in}\,\,\,\, x = – \sqrt {{30000}} \ approx-13.1607\]
Why critical points? Lembre-se que estes são os únicos lugares onde o derivado pode mudar o sinal! A nossa sequência começa em \(n = 0\) e por isso podemos ignorar a terceira, uma vez que está fora dos valores de \(N\) que estamos a considerar. Ao ligar alguns valores de teste de \(x\) podemos rapidamente determinar que a derivada é positiva para \(0 < x < \sqrt {{{30000}}} \approx 13.16\) e assim a função está a aumentar nesta gama. Da mesma forma, podemos ver que a derivada é negativa para \(x > \sqrt{{30000}} \approx 13.16\) e assim a função estará diminuindo nesta faixa.
assim, a nossa sequência estará a aumentar para \(0 \le n \le 13\) e a diminuir para \(n \ge 13\). Portanto, a função não é monotônica.
Finalmente, note que esta sequência também convergirá e tem um limite de zero.
então, como o último exemplo mostrou, precisamos ter cuidado em fazer suposições sobre sequências. Nossa intuição muitas vezes não será suficiente para obter a resposta correta e nós nunca podemos fazer suposições sobre uma sequência baseada no valor dos primeiros termos. Como a última parte mostrou, há sequências que irão aumentar ou diminuir por alguns termos e depois mudar de direção.
Observe bem o que disse “primeiros termos” aqui, mas é completamente possível que uma sequência para diminuir para os primeiros 10.000 termos e, em seguida, começar a aumentar para os restantes termos e condições. Em outras palavras, não há nenhum valor “mágico” de \(N\) para o qual tudo o que temos que fazer é verificar até esse ponto e então saberemos o que toda a sequência vai fazer.
the only time that we’ll be able to avoid using Calculus I techniques to determine the increasing/decreating nature of a sequence is in sequences like part (C) of Example 1. Neste caso, aumentar \(n\) só mudou (de fato aumentou) o denominador e assim fomos capazes de determinar o comportamento da sequência com base nisso.
no Exemplo 2 no entanto, o aumento \(n\) aumentou tanto o denominador como o numerador. Em casos como este não há nenhuma maneira de determinar que aumento vai “ganhar para fora” e fazer com que os termos da seqüência para aumentar ou diminuir e assim que nós precisamos recorrer às técnicas Calculus I para responder à pergunta.
vamos fechar esta seção com um belo teorema que vamos usar em algumas das provas mais tarde neste capítulo.
Theorem
If \(\left\ {{{{{a_n}} \right\}) is bounded and monotonic then \(\left\ {{a_n}} \ right\}) is convergent.
tenha cuidado para não abusar deste teorema. Ele não diz que se uma sequência não é limitada e/ou não monotônica que ela é divergente. O exemplo 2b é um bom exemplo disso mesmo. A sequência nesse exemplo não era monotônica, mas converge.
Note as well that we can make several variants of this theorem. Se o \(\esquerda\ {{{{{a_n}}} \direita\}) é delimitado acima e aumentando, então converge e da mesma forma se o \(\esquerda\ {{{{{{{a_n}}}} \direita\}\) é delimitado abaixo e diminuindo então converge.