Decomposição de colesky com exemplo R

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método de decomposição de uma matriz positiva definida. Uma matriz positiva definida é definida como uma matriz simétrica onde para todos os vetores possíveis \(x\), \(x’Ax > 0\). A decomposição de colesky e outros métodos de decomposição são importantes, pois não é muitas vezes possível realizar cálculos de matriz explicitamente.

decomposição de Colesky, também conhecida como fatoração de Colesky, é o ametod de decompor uma definitematrix positiva. A matriz Positive-definite é definida como uma matriz simétrica onde para vetores allpossíveis \(x\), \(x’Ax > 0\). A decomposição de colesky e outros métodos de decomposição são importantes, pois não é muitas vezes viável computações de matriz deforme explicitamente. Algumas aplicações da Coleskydecompositionincluem a resolução de sistemas de equações lineares, simulação de Monte Carlo, e filtros de Kalman.

factores de decomposição de Colesky uma matriz positiva definida \(a\) em:

$$ A = LL^T$$

Como Decompor uma Matriz com a Decomposição de Cholesky

Existem muitos métodos para o cálculo de uma matriz de decomposição com theCholesky abordagem. Esta publicação adopta uma abordagem semelhante a esta implementação.

os passos na factorização da matriz são os seguintes::

  1. calcular \(L_1 = \sqrt{a_{11}}\)

  2. para \(k = 2, \dots, n\):

  3. Encontrar \(L_{k-1} l_k = a_k\) para \(l_k\)

  4. \(l_{kk} = \sqrt{a_{kk} – l_k^T l_k}\)
  5. \(L_k =
    \begin{bmatrix} L_{k-1} & 0 \\ l_k^T & l_{kk}\end{bmatrix}

    \)

Um Exemplo de Decomposição de Cholesky

Considere a seguinte matriz \(A\).

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{bmatrix}$$

matriz \(A\) acima é obtido a partir do Exercício 2.16 no livro Métodos ofMultivariate Análise por Alvin Rencher.

comece por encontrar \(L_1\).

$$ L_1 = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{3} = 1.732051 $$

a seguir encontramos \(l_2\)

$$ l_2 = \frac{a_{21}}{L_1} = \frac{4}{\sqrt{3}} = 2.309401 $$

Então \(l_{22}\) pode ser calculado.

$$ l_{22} = \sqrt{a_{22} – l_2^T l_2} = \sqrt{8 – 2.309401^2} = 1.632993 $$

agora temos a \(L_2\) matriz:

$$L_2 = \begin{bmatrix} L_1 & 0 \\ l_2^T & l_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end{bmatrix}$

uma vez que a matriz é \(3 \vezes 3\), só precisamos de mais uma iteração.

Com \(L_2\) calculados, \(l_3\) pode ser encontrada em:

$$ l_3 = \frac{a_3}{L_2} = a_3 L_2^{-1} = \begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 3 \\ 6\end{bmatrix}$$
$$l_3 = \begin{bmatrix} 1.7320508 \\ 1.224745 \end{bmatrix}$$

\(l_{33}\) é encontrado:

$$ l_{33} = \sqrt{a_{33} – l_3^T l_3} = \sqrt{9 – \begin{bmatrix}1.7320508 & 1.224745\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1.7320508 \\ 1.224745\end{bmatrix}} = 2.12132 $$

o Que nos dá a \(L_3\) matriz:

$$L_3 = \begin{bmatrix} 1.7320508 & 0 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 & 0 \\ 1.7320508 & 1.224745 & 2.12132\end{bmatrix}$$

A \(L_3\) a matriz pode então ser tomada como a solução. Transpondo a decomposição, a matriz transforma-se numa matriz triangular superior.

decomposição de Colesky em R

a função chol() apresenta decomposição de Colesky em matriz positiva-definida. Nós definimos a matriz \(a\) como segue.

A = as.matrix(data.frame(c(3,4,3),c(4,8,6),c(3,6,9)))colnames(A) <- NULLA
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

em seguida, fator a matriz com a função chol().

A.chol <- chol(A)A.chol
## ## 1.732051 2.309401 1.732051## 0.000000 1.632993 1.224745## 0.000000 0.000000 2.121320

a função chol() devolve uma matriz triangular superior. Transposindo a matriz decomposta, produz uma matriz triangular mais baixa, como no nosso resultado.

t(A.chol)
## ## 1.732051 0.000000 0.00000## 2.309401 1.632993 0.00000## 1.732051 1.224745 2.12132

o nosso resultado acima corresponde à saída da função chol().

podemos também mostrar a identidade \(A = LL^T\) com o resultado.

t(A.chol) %*% A.chol
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

resumo

a decomposição de Colesky é frequentemente utilizada quando a computação direta de uma matriz não é ótima. O método é utilizado numa variedade de aplicações, tais como análises multivariadas, devido à sua natureza e estabilidade relativamente eficientes.

(2011). Retrieved fromhttp://www.seas.ucla.edu/~vandenbe/103 / lectures / chol.pdf

Algorithm for Cholesky decomposition. Retrieved fromhttp://www.math.sjsu.edu/~foster / m143m / cholesky.pdf

Cholesky decomposition (2016). Na Wikipedia. Retrieved fromhttps: / / en.taxa.org/wiki / Cholesky_decomposition

Recher, A. C. (2002). Métodos de análise multivariada. New York: J. Wiley.

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