O que eu Aprendi a partir de Muitos Anos de Ensino de Cálculo para a Primeira YearCollege Alunos

o Que eu Aprendi a partir de Muitos Anos de Ensino de Cálculo

para o Primeiro Ano da Faculdade os Alunos

AMTNJ Conferência

Manutenção de Matemática na Pista: Bridging the Gap

Entre o ensino médio e a Faculdade de Matemática

Janeiro 14, 2005

Brookdale Community College

Joseph G. Rosenstein (Rutgers-NewBrunswick)

por que razão tantos estudantes do primeiro ano têm dificuldades com ocalculus quando parecem estar bem preparados?

a última vez que eu ensinei cálculo do primeiro semestre 41% dos 61 alunos da classe acabou com notas de C ou pior.Aqui estão mais alguns dados. 82% dos alunos da turma tinham um semestre ou mais de cálculo no ensino médio, e 73% tinham um ano ou mais de cálculo no ensino médio. (35% até tinha um ano de cálculo AP.) Por todas as contas, este é um grupo que está bem preparado para cálculo Universitário.

a má notícia é que se juntarmos os dados, podemos concluir que pelo menos 23% dos meus alunos tinham feito um curso de cálculo no ensino médio, mas não tinham conseguido fazer melhor do que C em um curso de cálculo incolege.

por que existem tantos estudantes que fizeram cursos de matemática substantiva no ensino médio, mas não têm sucesso no cálculo?Nesta breve palestra, vou discutir três tipos de questões –conteúdo, processo e questões pessoais – tudo em cerca de 15 minutos e, em seguida, abrir o piso para discussão.

em “conteúdo”, a questão principal não é que os alunos não entendem os conceitos de cálculo, é que eles não têm facilidade com aritmética e álgebra.

um estudante observou uma vez que um problema particular envolveu o que ele chamou de “álgebra intensa” – com o que ele quis dizer que ele tinha que extrair muito de seu conhecimento de álgebra para realizar os cálculos em um único problema. Isto acontece, por exemplo, quando os alunos precisam encontrar a derivada da função f(x) =1/(x+3) a partir da definição – isto é, como na transparência, eles precisam encontrar o limite de um quociente de diferença, como h vai para zero. Pense nos passos que eles precisam dar para resolver este problema. Eles precisam:

escrever uma expressão correta para f (x+h) dada a equação para f (x);

combinar duas frações no numerador em uma única fração;

combinar uma soma e diferença de termos;

transformar uma fracção que tem uma fracção no numerador em uma que não tem;

encontrar um factor comum do numerador e denominador e canalizá-lo adequadamente;

tomar um limite e expressar o resultado na forma adequada.

Não só têm que ser capazes de realizar cada um dos thesesteps individualmente, eles também precisam de um funcionando para monitoramento de alto nível systemthat vê o “big picture”, que está envolvido em encontrar a derivada e thattells-lhes o que eles precisam fazer em cada etapa.

no entanto, muitos deles ainda estão cometendo erros que têm sido persistentes desde as notas médias – por exemplo, anulando indevidamente Termos infrações.

uma pergunta como esta é dada no meio do exame e no final do exame, e embora todos saibam que isso é o que se espera que eles sejam capazes de fazer, muitos deles são incapazes de completar a tarefa corretamente.Quando falamos sobre os padrões NCTM, muitas vezes agimos como se os padrões de processo tivessem substituído os padrões de conteúdo, que entendiam como uma instalação substituída. Não é esse o caso. Queremos concentrar-nos na razão e na resolução de problemas, mas também queremos que os nossos alunos tenham a estabilidade adequada com operações matemáticas.

que instalação é “adequada”? Depende do aluno. Aqueles que vão acabar tomando severalsemesters de cálculo na faculdade definitivamente estão em desvantagem Se eles têm dificuldade com aritmética e álgebra.

por outro lado, aqueles que não são susceptíveis de continuar a calcular não precisarão de álgebra intensa. Mas considerar que um determinado estudante está nessa categoria pode acabar sendo uma profecia que se realiza a si mesmo.

a divression on algebra skills. Muitas pessoas criticaram o teste de implantação da Rutgers com base no argumento de que não está alinhado com os padrões, com os nossos esforços de reforma, uma vez que se concentra em habilidades. Mas devo dizer-vos que é uma boa medida da probabilidade de sucesso em Pré-Cálculo e cálculo, e tem sido assim ao longo dos últimos 20 anos desde que o introduzimos. Medem a facilidade dos estudantes com as competências necessárias … porque a facilidade com os requisitos prévios é essencial para o sucesso destes cursos. Vou partilhar convosco a minha experiência pessoal. Há alguns anos, uma das minhas filhas marcava abaixo do limite para a pré-Calculus. Uma vez que eu tenho um pouco de influência, eu fui capaz de inscrevê-la no cálculo interno, argumentando que se ela estava tendo dificuldades, ela tinha acesso a um tutor de agood. Estava correcto, mas também foi um erro.acabei por dar muitas explicações. Ela não estava pronta para recalculus.É o fim da digressão.

agora é necessário um esclarecimento. Quando dizemos que a facilidade em álgebra é essencial para o sucesso em cálculo, não queremos dizer apenas aprender regras para manipulações algébricas. Facility inalgebra também significa compreender a matemática subjacente a estas regras. Quando os alunos cometem erros, são muitas vezes o resultado de um mal-entendido com a matemática, e todos nós precisamos de passar mais tempo descobrindo as ideias erradas que levaram a esses erros, e ajudando os alunos a substituí-los por pontos de referência matemáticos mais precisos. Isso significa discutir errosna aula e com os alunos individualmente, e não apenas marcá-los directamente nos seus trabalhos de casa e testes.

facilidade em álgebra também significa ser capaz de tirar partido de sua experiência matemática para descobrir um próximo passo apropriado em um problema – isso é o que eu referi acima como monitorando o progresso de alguém …sabendo o que fazer a seguir.

isso nos leva a “questões de processo”.

todos nós temos uma tendência para compartimentar o que aprendemos-em parte porque deparamos com novas informações linearmente e temos de armazenar o seu lugar. Mas é muito importante que a aprendizagem esteja ligada. Qualquer coisa que possamos fazer como professores para estabelecer ligações entre tópicos, para concentrar os alunos no panorama geral, é muito importante. É importante dar exemplos e problemas de trabalho de casa que relacionem conceitos diferentes, bem como efectuar exames cumulativos regulares. Caso contrário, os alunos aprendem o que precisam de saber para o questionário desta semana e depois esquecem-no. Em algumas escolas, o sucesso dos alunos é recompensado isentando-os dos exames intercalares e finais. Acredito que esta prática é um grave erro – os alunos não têm a oportunidade de reunir as diferentes peças de conhecimento que adquiriram. Além disso, não os prepara para os exames cumulativos que são rotineiros na faculdade. Ao longo dessas linhas, um relatório divulgado há três semanas atrás observou que tomar cálculo AP no ensino médio não era um preditor de sucesso na faculdade, embora marcando bem no exame AP foi.Temos de ajudar os nossos alunos a perceber tudo. Uma parte disso envolve a descentralização e a integração do conhecimento, como já discutimos. Mas há também alguns outros aspectos.

um está a encorajar os estudantes a terem multiperspectivas. Por exemplo,eles devem estar familiarizados com diferentes aspectos da ideia de uma função – como uma equação, como uma regra, como um gráfico, como uma tabela, como uma máquina de entrada-saída – e ser capazes de ir e vir facilmente entre essas representações.

similarmente, eles devem ser capazes de se mover para trás e para a frente entre álgebra e geometria. Quando se discute a solução de equações lineares simultâneas, eles devem reconhecer que isso é o mesmo que perguntar onde duas linhas se cruzam. Quando você dá uma função quadrática eles devem ser capazes de visualizar a parábola que ela define – talvez não todos os detalhes, mas eles certamente devem estar cientes de que é define uma parábola,e saber se ela se abre ou para baixo. Não só devem ser capazes de visualizar uma parábola, como devem realmente fazê-lo. A equação e o gráfico devem ser duas vistas do mesmo objeto.

E quando você encontrar as soluções de uma equação quadrática,eles devem ser capazes de traduzir com facilidade para o gráfico de thequadratic função – de modo que, se as raízes de uma função quadrática são, forexample, 3 +/- sqrt2, eles devem ser capazes de imagem sobre o local onde o gráfico da função cruza o eixo x.

no primeiro dia de aula, eu dou aos alunos um pequeno pedaço de papel – 1/8 de uma folha 8.5×11 e pedir-lhes para encontrar a tangente do seno anglewhose é 3/5. Alguns dos estudantesdraw um triângulo; quase todos eles recebem a resposta certa. Alguns destes estudos não desenham um triângulo; nenhum deles obtém a resposta certa.

desde que eu não lhes peço para colocar seus nomes nos jornais, Eu não posso relacionar soluções a este problema com suas notas no curso, mas myguess é que haveria um alto grau de correlação. Estudantes que podem visualizar álgebra, que podem passar facilmente da álgebra à geometria e voltar, são susceptíveis de ser bem sucedidos incalculus.

na segunda classe, relato aos alunos os resultados desta experiência e reforça a importância da visualização. Encorajo-os a ligarem o interruptor de visualização para que desenhem na sua mente uma expressão eachalgébrica que está no seu livro ou no quadro.

saliento que uma imagem pode conter muita informação. Por exemplo, se eles podem visualizar e interpretar os grafos das funções seno , cosseno e tangente, então eles só precisam lembrar três fatos – que sin 30=½, que tan 45 =1, e quesin2x + cos2x =1 . Quase tudo o resto que eles precisam saber sobre trigonometria pode ser derivado deles. Em particular, não precisam de memorizar muitos e muitos factos. É isso que terão de fazer se não compreenderem as imagens. Alguns acham isso difícil de acreditar, e persistin tentando lembrar muitos fatos sobre Funções trigonométricas. Não admira que às vezes sintam que as suas cabeças estão cheias.

há cerca de uma dúzia de fotos que encapsulam muito cálculo do primeiro semestre-se você entender e pode explicar o que está em thosepictures, então você vai fazer muito bem no cálculo. Eles também acham difícil de acreditar.Uma outra questão que mencionarei brevemente é que os estudantesnecessitam de ter um melhor sentido de saber se uma resposta que geram é razoável. Um pré-requisito disso, é claro, é que se perguntem se as suas respostas são razoáveis. Na verdade, se eles próprios perguntarem a questão, é provável que respondam adequadamente. Então o objetivo é fazê – los perguntar essa pergunta-essa resposta é razoável?

finalmente, os estudantes precisam ter o senso de matemática como língua. A matemática tem palavras e regras sobre o seu uso. Weoften ignore the grammar of mathematics, and allow our students to speak andwrite mathematics incorretamente – a practice that would not be allowed in a Spanishclass. Por isso, acabam por não usar avós quando deviam e por cometer todo o tipo de erros como resultado. Eles não usam o sinal de igual para expressões separadas em suas sentenças matemáticas, e, como resultado, quantieswander para fora de uma expressão e para outra. E muitas vezes são incapazes de traduzir as suas respostas para os problemas da língua materna para a língua inglesa. Esta questão requer mais atenção de todos nós.

E agora chegamos ao que eu chamei de problemas pessoais. Farei quatro observações. Um é que muitos estudantes vêm ao cálculo de firstsemester pensando que eles já sabem cálculo. Isso pode ser verdade-mas só é verdade para alguns deles. No entanto, essa é uma suposição perigosa, para aqueles que acreditam que isso não fará nada nas primeiras quatro semanas do semestre … e então descobrir que é tarde demais para recuperar.

por favor, alerte os seus alunos para o facto de que, embora possam ter êxito no seu curso, não serão automaticamente bem sucedidos num curso com o mesmo título na faculdade. Embora ambos os cursos abranjam o mesmo material, o curso universitário é mais aprofundado.Um segundo ponto é que os estudantes precisam de saber que terão de trabalhar na faculdade. Alguns deles serão capazes de sobreviver sem muito trabalho – caso em que deveriam ter seguido um curso mais difícil – mas a maioria deles terá a mão cheia com o curso que tomam – quer seja cálculo ou pré – cálculo ou álgebra-quer tenham ou não uma boa nota nesse curso no ensino secundário.

I have learned that the best predictor of a good grade inCalc 1 is getting a good grade on the very first exam. Veja os dados no gráfico. Isso mostra que 86% dos alunos que marcaram 70% no primeiro exame obtiveram um grau de C+ ou melhor para o curso. Por outro lado, apenas 17% dos que obtiveram menos de 70% no primeiro exame obtiveram um grau de C+ ou melhor para o curso. Trabalho consistente compensa. Aqueles que começam bem e trabalham conscientemente fazem bem.

Alunos em minha Cálculo 1 classes

Outono De 1999, Outono de 2000, no Outono de 2001, Outono 2002

# de alunos	70% ou mais no exame de primeira	69 ou menos no primeiro exame	Total
Classificação Final: C+ ou superior	74	21	105
classificação Final: C ou inferior	12	102	114
	86	123	219

86% ofthose que tem 70% ou mais no primeiro teste tem um C+ ou superior em curso;17% de quem tem mais de 69%, ou pior, no primeiro teste tem um C+ ou melhor, na thecourse

Outra coisa que eu faça no primeiro dia de aula é pedir eachstudent fazer uma avaliação realista de qual é a série que ele ou ela espera getin o curso de tirar todos os tipos de coisas em consideração e mão thatin em outro pequeno pedaço de papel. Todos os alunos, sem excepção, esperam ter um B ou melhor!

informo os alunos da segunda classe e depois mostro – lhes este gráfico. Digo-lhes que não podem começar o semestre a pensar que, porque conhecem as formulações para alguns derivados, conhecem o cálculo. Digo-lhes que têm de começar o semestre a trabalhar no Liceu. Talvez faça diferença. Digo – lhes que farei tudo o que puder para ajudar cada um a ter a nota que espera obter-mas, no final, cabe-lhes a eles.Este é o terceiro ponto que quero salientar – os estudantes têm de aprender a assumir a responsabilidade pela sua própria educação. No ensino médio você vê-los todos os dias e pode convencê-los a levar seus estudos a sério. Isso é óptimo. Mas quando eles chegam à faculdade, eles estão por conta própria, e se eles ainda não aprenderam a assumir a responsabilidade por sua educação, eles terão um tempo difícil. Não sei como fazê-los assumir a responsabilidade, mas há uma experiência modesta que pode tentar. Diz-lhes que não vais coleccionar trabalhos para os próximos twoweeks. Então, faz-lhes um exame ao material. Alguns deles não vão fazer as tarefas e vão fazer mal no theexam. Talvez a sua actuação noexame lhes transmita que a sua não recolha da lição de casa não deveria ter sido interpretada como a sua não necessidade de o fazer.Um outro aspecto de assumir a responsabilidade pela educação é pedir ajuda e tirar partido das oportunidades que lhes são oferecidas. Menos de 20% dos meus alunos vêm ver-me, embora os encoraje regularmente a fazê-lo. Menos de 20% dos meus alunos nunca me enviaram as suas perguntas, embora lhes diga que irão muito bem obter uma resposta dentro de algumas horas. Embora um terço dos meus alunos vá acabar com um D ou F, poucos deles irão procurar os vários tipos de ajuda que estão disponíveis para eles.

a maioria dos estudantes ainda não aprendeu que está tudo bem para eles procurarem assistência – eles não aprenderam que se eles estão tendo dificuldades em um curso, eles devem procurar ajuda o mais rápido possível. Precisam de saber que esperar não é uma boa estratégia. Talvez dizer – lhes isso faça a diferença.Isto leva-me ao fim das minhas observações. Eu falei um pouco sobre as questões de conteúdo,as questões de processo, e as questões pessoais que interferem com o sucesso dos alunos em cursos de pré-cálculo e cálculo, e eu dei-lhe um fewsuggestions para como você pode ajudar a preparar os alunos para superar os obstáculos para o seu sucesso. Muito obrigado pela vossa atenção, e agora vamos ter uma discussão sobre estas questões.