calcul
în acest subiect, vom studia cum să integrăm anumite combinații care implică produse și puteri ale funcțiilor trigonometrice.
considerăm \(8\) cazuri.
pentru a evalua integralele produselor sinusului și cosinusului cu argumente diferite, aplicăm identitățile
integrale ale formei \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}\)
presupunem aici că puterile \(m\) și \(n\) sunt numere întregi non-negative.
pentru a găsi o integrală a acestui formular, utilizați următoarele substituții:
integralele de tip \(\int {{{\sin }^n}xdx} \) și \(\int {{{\cos }^n}xdx}\) pot fi evaluate prin formule de reducere
\
\
integralele formei \({\large\int\normalsize} {{\tan^n}xdx}\)
puterea integrandului poate fi redusă folosind identitatea trigonometrică \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) și formula de reducere
\
integralele formei \({\large \ int \ normalsize} {{{\cot }^n}xdx}\)
puterea integrandului poate fi redusă folosind identitatea trigonometrică \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^N}x\) și formula de reducere
\
integralele formei \({\large \ int \ normalsize} {{\sec^n}xdx}\)
acest tip de integrale poate fi simplificat cu ajutorul formulei de reducere:
\
integralele formei \({\large \ int \ normalsize} {{\csc^n}xdx}\)
similar exemplelor anterioare, acest tip de integrale poate fi simplificat prin formula
\
integralele formei \({\large\int\normalsize} {{\tan^m}x\, {\sec^n}xdx}\)
integralele formei \ ({\large \ int \ normalsize} {{\cot^m}x\, {\csc^n}xdx} \)
rezolvate probleme
Faceți clic sau atingeți o problemă pentru a vedea soluția.
Exemplul 1.
calculați integrala \({\large \ int \ normalsize} {{\sin^3}xdx}.\ )
soluție.
lasa \(u = \cos x,\) \(du = -\păcat xdx.\ ) Apoi
Exemplul 2.
evaluați integrala \({\large \ int \ normalsize} {{\cos^5}xdx}.\ )
soluție.
efectuând substituția \(u = \sin x,\) \(du = \cos xdx\) și folosind identitatea \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x,\) obținem
Exemplul 3.
găsiți integrala \({\large \ int \ normalsize} {{\sin ^ 6}xdx}.\ )
soluție.
folosind identități \({\sin ^2}x = {\large\frac{{1 – \cos 2x}}{2}\normalsize}\) și \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\) putem scrie:
calculați integralele din ultima expresie.
\
pentru a găsi integrala \({\large \ int \ normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) facem substituția \(u = \sin 2x,\) \(du=\) \ (2\cos 2xdx.\ ) Atunci
prin urmare, integrala inițială este
Exemplul 4.
găsiți integrala \(\int {{{\sin }^2}x\, {{{\cos }^3}x}dx}.\ )
soluție.
puterea cosinusului este ciudată, așa că facem înlocuirea
\
rescriem integrala în termeni de \(\sin x\) pentru a obține:
exemplu 5.
calculați integrala \({\mare \ int \ normalsize} {{{\sin }^2}x\, {{\cos }^4}xdx}.\ )
soluție.
putem scrie:
\
convertim integrand folosind identitățile
\
aceasta produce
exemplul 6.
evaluează integrala \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^4}xdx}.\ )
soluție.
deoarece puterea sinusului este impară, folosim substituția
\
integrala este scrisă ca
\
prin identitatea pitagoreică,
\
prin urmare,
exemplul 7.
evaluează integrala \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^5}xdx}.\ )
soluție.
vedem că ambele puteri sunt impare, deci putem înlocui fie \(u = \sin x\), fie \(u = \cos x.\ ) Alegând cel mai puțin exponent, avem
\
integralul ia forma
\
utilizarea identității pitagoreice,
\
putem scrie
exemplul 8.
evaluează integrala \(\int {{{\sin } ^ 3}x\, {{\cos }^3}xdx}.\ )
soluție.
\
prin identitatea pitagoreică,
\
așa că obținem