calcul

în acest subiect, vom studia cum să integrăm anumite combinații care implică produse și puteri ale funcțiilor trigonometrice.

considerăm \(8\) cazuri.

pentru a evalua integralele produselor sinusului și cosinusului cu argumente diferite, aplicăm identitățile

integrale ale formei \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\,{\cos^n}xdx}\)

presupunem aici că puterile \(m\) și \(n\) sunt numere întregi non-negative.

pentru a găsi o integrală a acestui formular, utilizați următoarele substituții:

integralele de tip \(\int {{{\sin }^n}xdx} \) și \(\int {{{\cos }^n}xdx}\) pot fi evaluate prin formule de reducere

\

\

integralele formei \({\large\int\normalsize} {{\tan^n}xdx}\)

puterea integrandului poate fi redusă folosind identitatea trigonometrică \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) și formula de reducere

\

integralele formei \({\large \ int \ normalsize} {{{\cot }^n}xdx}\)

puterea integrandului poate fi redusă folosind identitatea trigonometrică \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^N}x\) și formula de reducere

\

integralele formei \({\large \ int \ normalsize} {{\sec^n}xdx}\)

acest tip de integrale poate fi simplificat cu ajutorul formulei de reducere:

\

integralele formei \({\large \ int \ normalsize} {{\csc^n}xdx}\)

similar exemplelor anterioare, acest tip de integrale poate fi simplificat prin formula

\

integralele formei \({\large\int\normalsize} {{\tan^m}x\, {\sec^n}xdx}\)

integralele formei \ ({\large \ int \ normalsize} {{\cot^m}x\, {\csc^n}xdx} \)

rezolvate probleme

Faceți clic sau atingeți o problemă pentru a vedea soluția.

Exemplul 1.

calculați integrala \({\large \ int \ normalsize} {{\sin^3}xdx}.\ )

soluție.

lasa \(u = \cos x,\) \(du = -\păcat xdx.\ ) Apoi

Exemplul 2.

evaluați integrala \({\large \ int \ normalsize} {{\cos^5}xdx}.\ )

soluție.

efectuând substituția \(u = \sin x,\) \(du = \cos xdx\) și folosind identitatea \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x,\) obținem

Exemplul 3.

găsiți integrala \({\large \ int \ normalsize} {{\sin ^ 6}xdx}.\ )

soluție.

folosind identități \({\sin ^2}x = {\large\frac{{1 – \cos 2x}}{2}\normalsize}\) și \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\) putem scrie:

calculați integralele din ultima expresie.

\

pentru a găsi integrala \({\large \ int \ normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) facem substituția \(u = \sin 2x,\) \(du=\) \ (2\cos 2xdx.\ ) Atunci

prin urmare, integrala inițială este

Exemplul 4.

găsiți integrala \(\int {{{\sin }^2}x\, {{{\cos }^3}x}dx}.\ )

soluție.

puterea cosinusului este ciudată, așa că facem înlocuirea

\

rescriem integrala în termeni de \(\sin x\) pentru a obține:

exemplu 5.

calculați integrala \({\mare \ int \ normalsize} {{{\sin }^2}x\, {{\cos }^4}xdx}.\ )

soluție.

putem scrie:

\

convertim integrand folosind identitățile

\

aceasta produce

exemplul 6.

evaluează integrala \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^4}xdx}.\ )

soluție.

deoarece puterea sinusului este impară, folosim substituția

\

integrala este scrisă ca

\

prin identitatea pitagoreică,

\

prin urmare,

exemplul 7.

evaluează integrala \(\int {{{\sin }^3}x\, {{\cos }^5}xdx}.\ )

soluție.

vedem că ambele puteri sunt impare, deci putem înlocui fie \(u = \sin x\), fie \(u = \cos x.\ ) Alegând cel mai puțin exponent, avem

\

integralul ia forma

\

utilizarea identității pitagoreice,

\

putem scrie

exemplul 8.

evaluează integrala \(\int {{{\sin } ^ 3}x\, {{\cos }^3}xdx}.\ )

soluție.

\

prin identitatea pitagoreică,

\

așa că obținem

Pagină 1
probleme 1-8

Pagină 2
probleme 9-23