Calculus II – mai multe despre secvențele
Afișați Notificarea mobilă Afișați toate notele ascundeți toate notele
secțiunea 4-2 : Mai multe despre secvențe
în secțiunea anterioară am introdus conceptul de secvență și am vorbit despre limitele secvențelor și ideea de convergență și divergență pentru o secvență. În această secțiune dorim să aruncăm o privire rapidă asupra unor idei care implică secvențe.
să începem cu o terminologie și definiții.
având în vedere orice secvență \(\stânga\{ {{a_n}} \dreapta\}\) avem următoarele.
- numim secvența crescând dacă \({a_n} < {a_{n + 1}}\) pentru fiecare \(n\).
- numim secvența descrescătoare dacă \({a_n} > {a_{n + 1}}\) pentru fiecare \(n\).
- dacă \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) este o secvență crescătoare sau \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) este o secvență descrescătoare pe care o numim monotonă.
- dacă există un număr \(M\) astfel încât \(m \le {a_n}\) pentru fiecare \(n\) spunem că secvența este delimitată mai jos. Numărul \(m\) este uneori numit o limită inferioară pentru secvență.
- dacă există un număr \(M\) astfel încât \({a_n} \le M\) pentru fiecare \(n\) spunem că secvența este delimitată mai sus. Numărul \(M\) este uneori numit o limită superioară pentru secvență.
- dacă secvența este atât delimitată mai jos, cât și delimitată mai sus, numim secvența delimitată.
rețineți că, pentru ca o secvență să crească sau să scadă, trebuie să crească/scadă pentru fiecare \(n\). Cu alte cuvinte, o secvență care crește pentru trei termeni și apoi scade pentru restul Termenilor nu este o secvență descrescătoare! De asemenea, rețineți că o secvență monotonă trebuie să crească întotdeauna sau trebuie să scadă întotdeauna.
înainte de a merge mai departe, ar trebui să facem un punct rapid despre limitele unei secvențe care este mărginită deasupra și/sau dedesubt. Vom face punctul despre limitele inferioare, dar am putea la fel de ușor să-l facem despre limitele superioare.
o secvență este delimitată mai jos dacă putem găsi orice număr \(m\) astfel încât \(m \le {a_n}\) pentru fiecare \(n\). Rețineți totuși că dacă găsim un număr \(M\) de utilizat pentru o limită inferioară, atunci orice număr mai mic decât \(m\) va fi, de asemenea, o limită inferioară. De asemenea, doar pentru că găsim o limită inferioară asta nu înseamnă că nu va exista o limită inferioară „mai bună” pentru secvență decât cea pe care am găsit-o. Cu alte cuvinte, există un număr infinit de limite inferioare pentru o secvență care este delimitată mai jos, unele vor fi mai bune decât altele. În clasa mea tot ceea ce sunt după va fi o limită inferioară. Nu am nevoie neapărat de cea mai bună limită inferioară, doar de un număr care va fi o limită inferioară pentru secvență.
să aruncăm o privire la câteva exemple.
- \ (\stânga \ { {- {n^2}} \ dreapta\} _ {n = 0} ^ \ infty \)
- \(\stânga\ { {{{\stânga ({ – 1} \ dreapta)}^{N + 1}}} \ dreapta\} _ {n = 1} ^ \ infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{N^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
arată toate soluțiile ascunde toate soluțiile
această secvență este o secvență descrescătoare (și, prin urmare, monotonă), deoarece,
\
pentru fiecare \(n\).
de asemenea, deoarece termenii secvenței vor fi fie zero, fie negativi, această secvență este delimitată mai sus. Putem folosi orice număr pozitiv sau zero ca legătură, \(M\), cu toate acestea, este standard să alegem cea mai mică legătură posibilă dacă putem și este un număr frumos. Deci, vom alege \(M = 0\) deoarece,
\
această secvență nu este mărginită mai jos, totuși, deoarece putem obține întotdeauna sub orice potențial legat prin luarea \(n\) suficient de mare. Prin urmare, în timp ce secvența este delimitată deasupra, nu este delimitată.
ca notă laterală putem observa, de asemenea, că această secvență diferă (la \( – \infty \) dacă vrem să fim specifici).
b \(\stânga\{ {{{\stânga( { – 1} \dreapta)}^{N + 1}}} \dreapta\}_{N = 1}^\infty \) arată soluția
termenii secvenței din această secvență alternează între 1 și -1 și astfel secvența nu este nici o secvență crescătoare, nici o secvență descrescătoare. Deoarece secvența nu este nici o secvență crescătoare, nici descrescătoare, nu este o secvență monotonă.
secvența este mărginită totuși, deoarece este mărginită mai sus de 1 și mărginită mai jos de -1.
din nou, putem observa că această secvență este, de asemenea, divergentă.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{N^2}}}} \right\}_{n = 5}^\infty \) arată soluție
această secvență este o secvență descrescătoare (și, prin urmare, monotonă) deoarece,
\
termenii din această secvență sunt toți pozitivi și deci este delimitată mai jos de zero. De asemenea, deoarece secvența este o secvență descrescătoare, primul termen de secvență va fi cel mai mare și astfel putem vedea că secvența va fi, de asemenea, delimitată mai sus de \(\frac{2}{{25}}\). Prin urmare, această secvență este limitată.
de asemenea, putem lua o limită rapidă și observăm că această secvență converge și limita sa este zero.
acum, să mai lucrăm câteva exemple care sunt concepute pentru a ne asigura că nu ne obișnuim prea mult să ne bazăm pe intuiția noastră cu aceste probleme. După cum am menționat în secțiunea anterioară, intuiția noastră ne poate duce adesea în rătăcire cu unele dintre conceptele pe care le vom analiza în acest capitol.
- \ (\stânga \ { {\displaystyle \ frac{n}{{n + 1}}} \ dreapta\} _ {N = 1} ^ \ infty \)
- \(\stânga\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{N^4} + 10000}}} \dreapta\}_{n = 0}^\infty \)
Afișează toate soluțiile ascunde toate soluțiile
vom începe mai întâi cu partea delimitată a acestui exemplu și apoi vom reveni și vom aborda întrebarea în creștere/scădere, deoarece acolo elevii fac adesea greșeli cu acest tip de secvență.
în primul rând, \(n\) este pozitiv și astfel termenii secvenței sunt toți pozitivi. Prin urmare, secvența este delimitată mai jos de zero. La fel, fiecare termen de secvență este coeficientul unui număr împărțit la un număr mai mare și astfel este garantat să fie mai mic de unul. Secvența este apoi delimitată mai sus de una. Deci, această secvență este limitată.
acum să ne gândim la întrebarea monotonă. În primul rând, elevii vor face adesea greșeala de a presupune că, deoarece numitorul este mai mare, coeficientul trebuie să scadă. Acest lucru nu va fi întotdeauna cazul și în acest caz ne-am înșela. Această secvență crește după cum vom vedea.
pentru a determina natura crescătoare/descrescătoare a acestei secvențe, va trebui să recurgem la tehnicile de calcul I. Mai întâi luați în considerare următoarea funcție și derivata acesteia.
\
putem vedea că prima derivată este întotdeauna pozitivă și astfel din calculul I știm că funcția trebuie să fie apoi o funcție în creștere. Deci, cum ne ajută asta? Observați că,
\
prin urmare, deoarece\ (n< n + 1\) și\(F \stânga( x\ dreapta)\) este în creștere, putem spune, de asemenea, că,
\
cu alte cuvinte, secvența trebuie să fie în creștere.
rețineți că acum că știm că secvența este o secvență în creștere, putem obține o limită inferioară mai bună pentru secvență. Deoarece secvența crește, primul termen din secvență trebuie să fie cel mai mic termen și astfel, deoarece începem de la \(n = 1\), am putea folosi și o limită inferioară de \(\frac{1}{2}\) pentru această secvență. Este important să ne amintim că orice număr care este întotdeauna mai mic sau egal cu toți termenii secvenței poate fi o limită inferioară. Cu toate acestea, unele sunt mai bune decât altele.
o limită rapidă ne va spune, de asemenea, că această secvență converge cu o limită de 1.
înainte de a trece la următoarea parte, există o întrebare firească pe care mulți studenți o vor avea în acest moment. De ce am folosit calculul pentru a determina natura crescândă/descrescătoare a secvenței când am fi putut doar să conectăm câteva \(n\) și să determinăm rapid același lucru?
răspunsul la această întrebare este următoarea parte a acestui exemplu!
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{N^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) arată soluția
aceasta este o secvență dezordonată, dar trebuie să fie pentru a face punctul acestei părți.
în primul rând, observați că, la fel ca în partea anterioară, termenii secvenței sunt toți pozitivi și vor fi toți mai mici decât unul (deoarece numărătorul este garantat a fi mai mic decât numitorul) și astfel secvența este mărginită.
acum, să trecem la întrebarea în creștere/scădere. Ca și în cazul ultimei probleme, mulți studenți se vor uita la exponenții din numărător și numitor și vor determina pe baza faptului că termenii secvenței trebuie să scadă.
cu toate acestea, aceasta nu este o secvență descrescătoare. Să aruncăm o privire la primii termeni pentru a vedea acest lucru.
\
primii 10 termeni ai acestei secvențe cresc cu toții și deci în mod clar secvența nu poate fi o secvență descrescătoare. Amintiți-vă că o secvență poate scădea numai dacă toți termenii scad.
acum, nu putem face o altă greșeală obișnuită și să presupunem că, deoarece primii termeni cresc, atunci întreaga secvență trebuie să crească și ea. Dacă am face asta, ne-am înșela, deoarece aceasta nu este, de asemenea, o secvență din ce în ce mai mare.
această secvență nu scade sau crește. Singura modalitate sigură de a vedea acest lucru este de a face calculul pe care îl abordez pentru creșterea/scăderea funcțiilor.
în acest caz, vom avea nevoie de următoarea funcție și derivata sa.
\
această funcție va avea următoarele trei puncte critice,
\{{30000}} \aproximativ 13.1607, \ hspace{0.25 în}\,\,\,\, x = – \sqrt{{30000}} \ aprox-13.1607\]
de ce puncte critice? Amintiți-vă acestea sunt singurele locuri în care derivatul se poate schimba semn! Secvența noastră începe de la \(N = 0\) și astfel îl putem ignora pe al treilea, deoarece se află în afara valorilor lui \(n\) pe care le luăm în considerare. Prin conectarea unor valori de testare ale \(x\) putem determina rapid că derivata este pozitivă pentru \(0 < x < \sqrt{{30000}} \aprox 13.16\) și astfel funcția crește în acest interval. De asemenea, putem vedea că derivata este negativă pentru \(x > \sqrt{{30000}} \aprox 13.16\) și astfel funcția va scădea în acest interval.
deci, secvența noastră va crește pentru \(0 \ le n \ le 13\) și va scădea pentru \(n \ge 13\). Prin urmare, funcția nu este monotonă.
în cele din urmă, rețineți că această secvență va converge și are o limită de zero.
deci, după cum a arătat ultimul exemplu, trebuie să fim atenți în a face presupuneri despre secvențe. Intuiția noastră nu va fi adesea suficientă pentru a obține răspunsul corect și nu putem face niciodată presupuneri despre o secvență bazată pe valoarea primilor Termeni. După cum a arătat ultima parte, există secvențe care vor crește sau scădea pentru câțiva termeni și apoi vor schimba direcția după aceea.
rețineți, de asemenea, că am spus „primii termeni” aici, dar este complet posibil ca o secvență să scadă pentru primii 10.000 de termeni și apoi să înceapă să crească pentru Termenii rămași. Cu alte cuvinte, nu există o valoare „magică” a \(n\) pentru care tot ce trebuie să facem este să verificăm până la acel moment și apoi vom ști ce va face întreaga secvență.
singura dată când vom putea evita utilizarea tehnicilor de calcul I pentru a determina natura crescătoare/descrescătoare a unei secvențe este în secvențe ca partea (c) din exemplul 1. În acest caz, creșterea \(n\) a schimbat doar (de fapt a crescut) numitorul și astfel am putut determina comportamentul secvenței pe baza acestuia.
în exemplul 2 cu toate acestea, creșterea \(n\) a crescut atât numitorul, cât și numărătorul. În astfel de cazuri, nu există nicio modalitate de a determina ce creștere va „câștiga” și va determina creșterea sau scăderea Termenilor secvenței și, prin urmare, trebuie să recurgem la tehnici de calcul I pentru a răspunde la întrebare.
vom închide această secțiune cu o teoremă frumoasă pe care o vom folosi în unele dintre dovezile de mai târziu în acest capitol.
Teorema
dacă \(\stânga\{ {{a_n}} \dreapta\}\) este mărginită și monotonă atunci \(\stânga\{ {{a_n}} \dreapta\}\) este convergentă.
aveți grijă să nu folosiți greșit această teoremă. Nu spune că dacă o secvență nu este mărginită și/sau nu monotonă, este divergentă. Exemplul 2b este un caz bun în acest sens. Secvența din acel exemplu nu a fost monotonă, dar converg.
rețineți, de asemenea, că putem face mai multe variante ale acestei teoreme. Dacă \(\left \ {{{a_n}} \ right\}\) este delimitat deasupra și crește, atunci converge și, de asemenea, dacă \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) este delimitat mai jos și scade, atunci converge.