Ce am învățat De La mulți ani de predare a calculului la studenții din primul an

ce am învățat De La Mulți Ani de predare a calculului

la studenții din primul an

Conferința AMTNJ

păstrarea matematica pe drumul cel Bun: reducerea decalajului

între liceu și colegiu matematică

14 ianuarie 2005

Brookdale Community College

Joseph G. Rosenstein (Rutgers-NewBrunswick)

de ce atât de mulți studenți din primul an au dificultățicalculul când par a fi bine pregătiți?

ultima dată când am predat calculul primului semestru, 41% Din cei 61 de elevi din clasă au terminat cu note de C sau mai rău.

iată câteva date. 82% dintre elevii din clasă au avut un semestru sau mai mult de calcul în liceu, iar 73% au avut un an sau mai mult de calcul în liceu. (35% au avut chiar un an de calcul AP.) Prin toate conturile, acesta este un grup care estebine pregătit pentru calculul Colegiului.

vestea proastă este că, dacă punem datele împreună, putem concluziona că cel puțin 23% dintre elevii mei au urmat un curs de calcul în liceu, dar nu au reușit să facă mai bine decât C într-un curs de calcul în colegiu.

de ce sunt atât de mulți studenți care au urmat cursuri de matematică substanțială în liceu, dar nu au reușit în calcul?

în această scurtă discuție, voi discuta trei tipuri de probleme –conținut, proces și probleme personale – toate în aproximativ 15 minute și apoi voi deschide podeaua pentru discuții.

sub „Conținut”, problema principală nu este că elevii nu înțeleg conceptele de calcul, ci că nu au facilități cu aritmetică și algebră.

un student a observat odată că o problemă particulară implica ceea ce el a numit „algebră intensă” – prin care a vrut să spună că a trebuit să se bazeze pe o mulțime de cunoștințe de algebră pentru a efectua calculele într-o singură problemă. Acest lucru se întâmplă, pentru căde exemplu, atunci când elevii trebuie să găsească derivatul funcției f(x) =1/(x+3) din definiție – adică, ca și în transparență, trebuie săgăsiți limita unui coeficient de diferență, deoarece h merge la zero. Gândiți-vă la pașii pe care trebuie să îi facărezolvați această problemă. Ei trebuie să:

scrie o expresie corectă pentru f (x + h) având în vedere ecuațiapentru f(x);

combinați două fracții în numărător într-o singură fracție;

combinați o sumă și o diferență de termeni;

transformă o fracție care are o fracție în numărător în una care nu;

găsește un factor comun al numărătorului și numitorului și anulează-l corect;

ia o limită și exprimă rezultatul în forma potrivită.

nu numai că trebuie să poată efectua fiecare dintre aceste etape individual, ci au nevoie și de un sistem funcțional de monitorizare la nivel înalt care vede „imaginea de ansamblu” care este implicată în găsirea derivatului și care le spune ce trebuie să facă la fiecare pas.

cu toate acestea, mulți dintre ei fac încă erori care au fost persistente de la clasele medii – de exemplu, anularea necorespunzătoare a încălcărilor Termenilor.

o întrebare ca aceasta este dată pe termen mediu și pe examenul final și, deși toți știu că acest lucru este ceea ce se așteaptă să poată face, mulți dintre ei nu sunt în măsură să finalizeze corect sarcina.

când vorbim despre standardele NCTM, adesea acționăm ca și cum standardele de proces au înlocuit standardele de conținut, că înțelegerea a înlocuit facilitatea. Asta nu e cazul. Vrem să ne concentrăm pe raționament și rezolvarea problemelor, dar dorim, de asemenea, ca studenții noștri să aibă capacitatea adecvată cu operațiile matematice.

ce facilitate este „adecvată”? Depinde de student. Cei care vor ajunge să ia mai multesemestre de calcul în colegiu sunt cu siguranță dezavantajați dacă au dificultăți în aritmetică și algebră.

pe de altă parte, cei care sunt puțin probabil să continue să calculezenu va avea nevoie de algebră intensă. Dar presupunând că un anumit student este în această categorie poate sfârși prin a fi o profeție care se împlinește de la sine.

o digresiune asupra abilităților de algebră. Mulți oameni au criticat testul de plasare al lui Rutgers pe motiv că nu este aliniat la standarde, cu eforturile noastre de reformă, deoarece se concentrează pe abilități. Dar trebuie să vă spun că este o măsură bună a probabilității de succes în precalculus și calcul, și a fost așa în ultimii 20 de ani de când l-am introdus. Se măsoară facilitatea studenților cu abilitățile prealabile … deoarece facilitatea cu cerințele preliminare este esențială pentru succesul acestor cursuri.

vă voi împărtăși experiența mea personală. Acum câțiva ani, una dintre fiicele mele a înscris chiar sub limita pentru precalculus. Din moment ce am un pic de influență, am reușit să o înscriu înprecalculus, argumentând că, dacă avea dificultăți, avea acces la un tutore bun. A fost corect … dar a fost și o greșeală – am ajuns să fac multe meditații. Nu era pregătită pentru calcul.

acesta este sfârșitul digresiunii.

acum este nevoie de o clarificare. Când spunem că facilitatea în algebră este esențială pentru succesul în calcul, nu ne referim doar la învățarea regulilor pentru manipulările algebrice. Facilitatea inalgebra înseamnă, de asemenea, înțelegerea matematicii care stă la baza acestorareguli. Când elevii fac erori, ei sunt adesea rezultatul neînțelegerii matematicii și cu toții trebuie să petrecem mai mult timp descoperind ideile greșite care au dus la aceste erori și ajutându-i pe elevi să le înlocuiască cu înțelegeri matematice mai precise. Asta înseamnă discutarea erorilor în clasă și cu elevii în mod individual, și nu doar marcarea lorincorectă la temele și testele lor.

facilitatea în algebră înseamnă, de asemenea, să poți să te bazezi pe experiența matematică a cuiva pentru a descoperi un pas următor adecvat în aproblemă – la asta m-am referit mai sus ca monitorizând progresul cuiva …știind ce să faci în continuare.

asta ne aduce la „probleme de proces”.

cu toții avem tendința de a compartimenta ceea ce învățăm –în parte pentru că întâlnim informații noi liniar și trebuie să le stocăm undeva. Dar este foarte important caînvățarea să fie conectată. Orice putem face ca profesori pentru a face conexiuni între subiecte, pentru a concentra elevii pe imaginea de ansamblu, este foarte important.

Oferirea de exemple și probleme de teme care leagă diferite concepte este importantă, la fel ca și examinările cumulative regulate. În caz contrar, elevii învață ce au nevoieștiți pentru testul din această săptămână și apoi uitați-l.

în unele școli, succesul elevilor este răsplătit prin scutirea de la examenele intermediare și finale. Cred că această practică este o greșeală gravă – elevii nu primesc o șansă de a trage împreună diferitele bucăți de cunoștințe pe care le-au dobândit. Mai mult, nu le pregătește pentru examene cumulative care sunt de rutină în facultate. De-a lungul acestor linii, un raport lansat în urmă cu trei săptămâni a menționat că luarea calculului AP în liceu nu a fost un predictor alsuccesului la facultate, deși a obținut un scor bun la examenul AP.

trebuie să-i ajutăm pe elevii noștri să obțină imaginea de ansamblu. O parte din aceasta implicădecompartimentalizarea și integrarea cunoștințelor, așa cum am discutat. Dar există și alte câteva aspecte.

unul este încurajarea elevilor să aibă multipleperspective. De exemplu,ar trebuisă fie familiarizați cu diferite aspecte ale ideii unei funcții – ca o ecuație, de regulă, ca un grafic, ca un tabel, ca o mașină de intrare-ieșire – și să poată merge înainte și înapoi cu ușurință printre aceste reprezentări.

în mod similar, ar trebui să se poată deplasa înainte și înapoiîntre algebră și geometrie. Când se discută soluția ecuațiilor liniare simultane, ar trebui să recunoască faptul că este același lucru cu a întreba unde se încrucișează două linii. Când dai o funcție pătratică, ei ar trebui să poată vizualiza parabola pe care o definește – poate nu toate detaliile, dar cu siguranță ar trebui să fie conștienți de faptul că este definește o parabolă și știu dacă se deschide în sus sau în jos. Nu numai că ar trebui să poată vizualiza o parabolă, ar trebuide fapt, o fac. Ecuația șigraf ar trebui să fie două puncte de vedere ale aceluiași obiect.

și când găsiți soluțiile unei ecuații pătratice, acestea ar trebui să poată traduce asta cu facilitatea în graficul funcției pătratice – astfel încât, dacă rădăcinile unei funcții pătratice sunt, de exemplu, 3 +/- sqrt2, ar trebui să poată imagina unde graficul funcției traversează axa X.

în prima zi de curs, le dau elevilor o mică bucată de hârtie – 1/8 dintr-o foaie de 8, 5×11 și le cer să găsească tangenta unghiuluia cărui sinus este 3/5. Unii dintre studențitrage un triunghi; aproape toțiapoi obțineți răspunsul corect. Unii dintre ei nu desenează un triunghi, niciunul dintre ei nu primește răspunsul corect.

din moment ce nu le cer să-și pună numele pe hârtii, nu pot raporta soluțiile la această problemă la notele lor din curs, dar presupunerea mea este că ar exista un grad ridicat de corelare. Elevii care pot vizualiza algebra, care potmutați cu ușurință de la algebră la geometrie și înapoi, sunt susceptibile de a avea succes incalculus.

la clasa a doua, raportez elevilor rezultatele acestui experiment și întăresc importanța vizualizării. Îi încurajez să activeze comutatorul de vizualizare, astfel încât să deseneze o imagine în mintea lor a fiecărei expresii algebrice care este în cartea lor sau pe tablă.

subliniez că o imagine poate conține o mulțime de informații. De exemplu, dacă pot vizualiza și interpreta graficele funcțiilor sinus , cosinus și tangentă, atunci ei trebuie doar să – și amintească trei fapte-că păcatul 30 = Irak, acel bronz 45 =1 și astain2x + cos2x =1 . Aproape tot ce trebuie să știe despre trigonometrie poate fi derivatdin acestea. În special, nu o factrebuie să memoreze o mulțime de fapte. Asta va trebui să facă dacă nu înțeleg imaginile. Unii găsesc acest lucru greu de crezut și persistă încercând să-și amintească o mulțime de fapte despre funcțiile trigonometrice. Nu e de mirare că uneori simt astacapurile lor sunt pline.

există aproximativ o duzină de imagini care încapsulează multcalculul primului semestru – dacă înțelegeți și puteți explica ce este în acele imagini, atunci vă veți descurca foarte bine în calcul. Și ei găsesc acest lucru greu de crezut.

o altă problemă pe care o voi menționa pe scurt este că elevii trebuie să aibă un sentiment mai bun dacă un răspuns pe care îl generează este rezonabil. O condiție prealabilă a acestui lucru, desigur, este că ei se întreabă de fapt dacă răspunsurile lor sunt rezonabile. De fapt, dacă ei întrebăei înșiși întrebarea, este probabil să răspundă în mod corespunzător. Deci, scopul este de a-i determina să întrebe astaîntrebare – este acest răspuns rezonabil?

în cele din urmă, elevii trebuie să aibă simțul matematicii ca limbă. Matematica are cuvinte șisimboluri și reguli privind utilizarea lor. Ignorăm adesea gramatica matematicii și le permitem studenților noștri să vorbească și să scrie incorect matematica – o practică care nu ar fi permisă într-o clasă Spaniolă. Deci, ei ajung să nu foloseascăpărinți atunci când ar trebui și făcând tot felul de greșeli ca rezultat. Ei nu folosesc semnul egal pentru a separa expresii egale în propozițiile lor matematice și, ca urmare, cantitățile se scot dintr-o expresie și în alta. Și adesea nu sunt capabili să-și traducă răspunsurile la problemelimba matematică în limba engleză. Această problemă necesită mai multă atenție din partea tuturordintre noi.

și acum ajungem la ceea ce am numit probleme personale. Voi face patru puncte. Unul este că mulți studenți vin la primulcalculul semestrial gândindu-se că știu deja calculul. Acest lucru poate fi adevărat – dar este adevărat doar pentru unii dintre ei. Cu toate acestea, aceasta este o presupunere periculoasă, pentru cei care credacest lucru nu va face nimic în primele patru săptămâni ale semestrului … și apoigăsiți că este prea târziu pentru a ajunge din urmă.

vă rugăm să vă avertizați elevii că, deși pot avea succes în cursul dvs., nu vor avea automat succes în cursul cu același titlu în colegiu. Deși ambele cursuri acoperă același material, cursul Colegiului merge mai adânc.

un al doilea punct este că elevii trebuie să știe că vor trebui să lucreze la facultate. Unii dintre ei vor fi capabili să se descurce fără prea multă muncă – caz în care ar fi trebuit să urmeze un curs mai dificil – dar majoritatea vor avea mâinile pline de cursul pe care îl urmează – fie că este vorba de calcul sau precalculus sau algebră – indiferent dacă au obținut sau nu o notă bună la acel curs în liceu.

am învățat că cel mai bun predictor al unei note bune inCalc 1 este obținerea unei note bune la primul examen. Uită-te la datele din diagramă. Aceasta arată că 86% dintre studenții care au marcat70 % la primul examen au obținut o notă de C+ sau mai bună pentru curs. Pe de altă parte, doar 17% dintre cei careau marcat mai puțin de 70% la primul examen au obținut o notă de C+ sau mai bună pentrucurs. Munca consistentă se plătește. Cei care încep bine și muncescîn mod constant fac bine.

elevii din clasele mele de calcul 1

toamna 1999, toamna 2000, toamna 2001, toamna 2002

# de studenți	70% sau mai multe la primul examen	69 sau mai puțin la primul examen	Total
nota finală: C + sau mai mare	74	21	105
nota finală: C sau mai mică	12	102	114
	86	123	219

86% din cei care au obținut 70% sau mai bine la primul test au obținut un C+ sau mai bine la curs;17% dintre cei care au obținut 69% sau mai puțin la primul test au obținut un C+ sau mai bun la curs

un alt lucru pe care îl fac în prima zi de curs este să – i rog pe fiecare elev să facă o evaluare realistă a notei pe care se așteaptă să o obțină la curs – luând în considerare tot felul de lucruri-și să o înmâneze pe o altă bucată de hârtie. Fiecare student, fără excepție, se așteaptă să obțină un B sau mai bun!

raportez acest lucru elevilor de la clasa a doua și apoi le arăt această diagramă. Le spun că nu pot începe semestrul gândindu-se că, deoarece cunosc formulele pentru câteva derivate, cunosc calculul. Le spun că trebuie să înceapă semestrul de lucrucalculul. Poate că face adiferență. Le spun că voi face tot ce pot pentru a – i ajuta pe fiecare să obțină nota pe care speră să o obțină-dar în cele din urmă depinde de ei.

acesta este al treilea punct pe care vreau să – l subliniez-elevii trebuie să învețesă-și asume responsabilitatea pentru propria educație. În liceu îi vezi în fiecare zi și îi poți cajola să-și ia studiile în serios. Asta e grozav. Dar când ajung la facultate, sunt pe cont propriu și, dacă nu au învățat să-și asume responsabilitatea pentru educația lor, vor avea o perioadă dificilă.

nu sunt sigur cum să-i fac să-și asume responsabilitatea, dar există un experiment modest pe care l-ați putea încerca. Spuneți-le că nu veți colecta sarcini pentru următoarele douăsăptămâni. Apoi dați-le un examenmateriale. Unii dintre ei nu vor face sarcinile și vor face prostexamen. Poate că performanța lor pe thatexam le va transmite că dvs. nu colectarea temele nu ar trebui să havebeen interpretat ca lor nu au nevoie să o facă.

un alt aspect al asumării responsabilității pentru educația cuiva este de a cere ajutor și de a profita de oportunitățile care le sunt disponibile. Mai puțin de 20% dintre studenții mei vin vreodată să mă vadă, chiar dacă îi încurajez în mod regulat să facă asta. Mai puțin de 20% dintre studenții mei mi-au trimis vreodată un e-mail cu întrebările lor, deși le spun că cel mai probabil vor primi un răspuns în câteva ore. Deși o treime dintre elevii mei vor ajunge cu un D sau F, puțini dintre ei vor căuta diferitele tipuri de ajutor care le sunt disponibile.

majoritatea studenților nu au învățat încă că este în regulă pentru ei să solicite asistență – nu au învățat că, dacă au dificultăți la un curs, ar trebui să caute ajutor cât mai curând posibil. Ei trebuie să știe că așteptarea nu este bunăstrategie. Poate că faptul că le spui asta va face diferența.

asta mă aduce la sfârșitul remarcilor mele. Am vorbit puțin despre problemele de conținut,problemele de proces și problemele personale care interferează cu succesul studenților în cursurile de precalculus și calcul și v-am oferit câteva sugestii pentru modul în care ați putea ajuta studenții să depășească obstacolele succesului lor.

vă mulțumesc foarte mult pentru atenție și acum vom discuta aceste probleme.