Descompunerea Cholesky cu exemplul r

BY admin
|

metoda de descompunere a unei matrice pozitiv-definite. O matrice pozitiv-definită este definită ca o matrice simetrică unde pentru toți vectorii posibili \(x\), \(x ‘ ax > 0\). Descompunerea Cholesky și alte metode de descompunere sunt importante, deoarece nu este adesea fezabilă efectuarea explicită a calculelor matricei.

descompunerea Cholesky, cunoscută și sub numele de factorizare Cholesky, este ametoda de descompunere a unui pozitiv-definitematrix. Matricea definită apositiv este definită ca o matrice simetrică unde pentru toțivectori posibili \(x\), \(x ‘ ax > 0\). Descompunerea Cholesky și alte metode de decompoziție sunt importante, deoarece nu este adesea fezabilă efectuarea explicită a calculelor matricei. Unele aplicații ale Choleskydecompositioninclud rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, simulare Monte Carlo, andkalman filtre.

factori de descompunere Cholesky o matrice pozitivă definită \(a\) în:

$$ a = LL^t$$

cum se descompune o matrice cu descompunere Cholesky

există multe metode pentru calcularea unei descompuneri a matricei cuabordarea colesky. Acest post are o abordare similară cu acest lucruimplementare.

pașii în factoring matricea sunt după cum urmează:

  1. calcul \(L_1 = \ sqrt{a_{11}}\)

  2. pentru \(k = 2, \ puncte, n\):

  3. găsi \(l_{k-1} l_k = a_k\) pentru \(l_k\)

  4. \(l_{kk} = \ sqrt{a_{KK} – l_k^t l_k}\)
  5. \(L_k =
    \ begin{bmatrix} L_{k-1} & 0 \\ l_k^T & l_ {KK} \ end{bmatrix}

    \)

un exemplu de descompunere Cholesky

luați în considerare următoarea matrice \(a\).

$$A = \ începe{bmatrix} 3 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{bmatrix}$ $

matricea \(A\) de mai sus este preluată din exercițiul 2.16 din cartea metode Deanaliză multiplă de Alvin Rencher.

începeți prin a găsi \(L_1\).

$$ L_1 = \ sqrt{a_{11}} = \sqrt{3} = 1.732051 $$

în continuare găsim \(l_2\)

$$ l_2 = \ frac{a_{21}}{L_1} = \ frac{4} {\sqrt{3}} = 2.309401 $$

apoi \(l_{22}\) poate fi calculat.

$$ l_{22} = \ sqrt{a_{22} – l_2^T l_2} = \ sqrt{8 – 2.309401^2} = 1.632993 $$

acum avem matricea \(L_2\):

$$l_2 = \ begin{bmatrix} L_1 & 0 \ \ l_2 ^ T & l_{22} \ end{bmatrix} = \ begin{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 \ end{bmatrix} $ $

deoarece matricea este \(3 \ori 3\), avem nevoie doar de o iterație mai mult.

cu\ (L_2\) calculat, \(l_3\ ) poate fi găsit:

$$ l_3 = \ frac{a_3}{L_2} = a_3 L_2^{-1} = \ începe{bmatrix} 1.732051 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993\end{bmatrix}^{-1} \ begin{bmatrix} 3 \ \ 6 \ end{bmatrix}$$
$$l_3 = \ începe{bmatrix} 1.7320508 \ \ 1.224745 \ încheie{bmatrix}$$

\(l_{33}\) este apoi găsit:

$$ l_{33} = \sqrt{a_{33} – l_3^T l_3} = \sqrt{9 – \begin{bmatrix}1.7320508 & 1.224745\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1.7320508 \\ 1.224745 \ end{bmatrix}} = 2.12132 $$

ceea ce ne dă matricea \(L_3\):

$$l_3 = \ begin{bmatrix} 1.7320508 & 0 & 0 \\ 2.309401 & 1.632993 & 0 \\ 1.7320508 & 1.224745 & 2.12132\end{bmatrix} $ $

matricea \(L_3\) poate fi apoi luată ca soluție. Transpunânddecompoziția schimbă matricea într-o matrice triunghiulară superioară.

descompunerea Cholesky în R

funcția chol() efectuează descompunerea Cholesky pe matricea apositiv-definită. Definim matricea \(A\) după cum urmează.

A = as.matrix(data.frame(c(3,4,3),c(4,8,6),c(3,6,9)))colnames(A) <- NULLA
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

apoi factorizați matricea cu funcția chol().

A.chol <- chol(A)A.chol
## ## 1.732051 2.309401 1.732051## 0.000000 1.632993 1.224745## 0.000000 0.000000 2.121320

funcția chol() returnează o matrice triunghiulară superioară. Transpunerea matricei descompuse produce o matrice triunghiulară inferioară ca în rezultatul nostru de mai sus.

t(A.chol)
## ## 1.732051 0.000000 0.00000## 2.309401 1.632993 0.00000## 1.732051 1.224745 2.12132

rezultatul nostru de mai sus se potrivește cu rezultatul funcției chol().

de asemenea, putem arăta identitatea \(A = LL^T\) cu rezultatul.

t(A.chol) %*% A.chol
## ## 3 4 3## 4 8 6## 3 6 9

rezumat

descompunerea Cholesky este frecvent utilizată atunci când calculul direct al unei matrice nu este optim. Metoda este utilizată într-o varietate de aplicații, cum ar fi analiza multivariată, datorită naturii și stabilității sale relativ eficiente.

(2011). Adus dinhttp://www.seas.ucla.edu/~vandenbe/103 / lectures / chol.pdf

algoritm pentru descompunerea Cholesky. Adus de lahttp://www.math.SJSU.edu/~foster / m143m / cholesky.pdf

descompunerea Cholesky (2016). În Wikipedia. Adus dinhttps: / / ro.wikipedia.org / wiki / Cholesky_decomposition

Rencher, A. C. (2002). Metode de analiză multivariată. New York: J. Wiley.

  • analiza discriminatorie pătratică a mai multor grupuri
  • analiza discriminatorie pătratică a două grupuri
  • analiza discriminatorie a mai multor grupuri
  • analiza discriminatorie liniară pentru clasificarea mai multor grupuri
  • analiza discriminatorie liniară pentru clasificarea a două grupuri