Sisteme de Control – Nyquist Parcele

Nyquist parcele sunt continuarea parcele polare pentru găsirea stabilității în buclă închisă sisteme de control prin diferite ω la −∞ la ∞. Asta înseamnă că parcelele Nyquist sunt folosite pentru a desena răspunsul complet în frecvență al funcției de transfer în buclă deschisă.

criteriul de stabilitate Nyquist

criteriul de stabilitate Nyquist funcționează pe principiul argumentului. Se afirmă că dacă există poli P și zerouri Z sunt închise de calea închisă a planului ‘s’, atunci Planul $G(S)H(s)$ corespunzător trebuie să înconjoare originea $P − Z$ ori. Deci, putem scrie numărul de încercuiri n ca,

$$n = P-Z$$

• dacă planul închis închis ‘S’ conține doar poli, atunci direcția încercuirii în Planul $G(S) H (S)$ va fi opusă direcției căii închise închise din planul ‘s’.

• dacă planul închis închis ‘ S ‘ conține doar zerouri, atunci direcția încercuirii în Planul $G(S) H (S)$ va fi în aceeași direcție cu cea a căii închise închise din planul ‘s’.

să aplicăm acum principiul argumentului la întreaga jumătate dreaptă a planului’ s’, selectându-l ca o cale închisă. Această cale selectată se numește conturul Nyquist.

știm că sistemul de control în buclă închisă este stabil dacă toți polii funcției de transfer în buclă închisă se află în jumătatea stângă a planului ‘s’. Deci, polii funcției de transfer în buclă închisă nu sunt altceva decât rădăcinile ecuației caracteristice. Pe măsură ce ordinea ecuației caracteristice crește, este dificil să găsim rădăcinile. Deci, să corelăm aceste rădăcini ale ecuației caracteristice după cum urmează.

• polii ecuației caracteristice sunt aceiași cu cei ai polilor funcției de transfer în buclă deschisă.

• zerourile ecuației caracteristice sunt aceleași cu cele ale polilor funcției de transfer în buclă închisă.

știm că sistemul de control al buclei deschise este stabil dacă nu există un pol de buclă deschisă în jumătatea dreaptă a planului ‘s’.

adică$p=0 \Rightarrow N=-Z$

știm că sistemul de control în buclă închisă este stabil dacă nu există un pol în buclă închisă în jumătatea dreaptă a planului ‘s’.

adică., $Z = 0 \ Rightarrow N = P$

criteriul de stabilitate Nyquist afirmă că numărul de încercuiri despre punctul critic (1+j0) trebuie să fie egal cu polii ecuației caracteristice, care nu este altceva decât polii funcției de transfer în buclă deschisă în jumătatea dreaptă a planului ‘s’. Trecerea de origine la (1+j0) dă planul ecuației caracteristice.

reguli pentru desenarea parcelelor Nyquist

urmați aceste reguli pentru trasarea parcelelor Nyquist.

• localizați polii și zerourile funcției de transfer în buclă deschisă $G(s)H (S)$ în planul ‘s’.

• desenați complotul polar variind $ \ omega$ de la zero la infinit. Dacă pol sau zero prezent la S = 0, apoi variind $\omega$ de la 0+ la infinit pentru desen complot polar.

• desenați imaginea în oglindă a parcelei polare de mai sus pentru valori de $\omega$ variind de la − la zero (0− în cazul în care orice pol sau zero prezent la S=0).

• numărul de jumătăți de cercuri cu rază infinită va fi egal cu numărul de poli sau zerouri la origine. Raza infinită a semicercului va începe în punctul în care se termină imaginea în oglindă a complotului polar. Și acest semicerc cu rază infinită se va termina în punctul în care începe complotul polar.

după desenarea complotului Nyquist, putem găsi stabilitatea sistemului de control în buclă închisă folosind criteriul de stabilitate Nyquist. Dacă punctul critic (-1+j0) se află în afara încercuirii, atunci sistemul de control în buclă închisă este absolut stabil.

analiza stabilității folosind parcele Nyquist

din parcelele Nyquist, putem identifica dacă sistemul de control este stabil, marginal stabil sau instabil pe baza valorilor acestor parametri.

• Gain cross over frequency și phase cross over frequency
• Gain margin și phase margin

Phase Cross Over Frequency

frecvența la care graficul Nyquist intersectează axa reală negativă (unghiul de fază este 1800) este cunoscută sub numele de phase cross over frequency. Este notat cu $ \ omega_{pc}$.

Gain Cross Over Frequency

frecvența la care graficul Nyquist are magnitudinea unuia este cunoscută sub numele de gain cross over frequency. Este notat cu $ \ omega_{GC}$.

stabilitatea sistemului de control bazat pe relația dintre faza încrucișată peste frecvență și câștigul încrucișat peste frecvență este prezentată mai jos.

• dacă faza cross over frequency $ \ omega_{pc}$ este mai mare decât câștigul cross over frequency $\omega_{GC}$, atunci sistemul de control este stabil.

• dacă faza încrucișată peste frecvență $ \ omega_{pc}$ este egală cu câștigul încrucișat peste frecvență $\omega_{gc}$, atunci sistemul de control este marginal stabil.

• dacă faza cross over frequency $ \ omega_{pc} $ este mai mică decât câștigul cross over frequency $\omega_{GC}$, atunci sistemul de control este instabil.

marja de câștig

marja de câștig $GM$ este egală cu reciproca magnitudinii complotului Nyquist la frecvența încrucișată de fază.

$ $ GM = \ frac{1}{M_{pc}}$$

unde, $m_{pc}$ este magnitudinea la scară normală la faza încrucișată peste frecvență.

marja de fază

marja de fază $PM$ este egală cu suma de 1800 și unghiul de fază la câștigul încrucișat peste frecvență.

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

unde, $\phi_{gc}$ este unghiul de fază la câștigul încrucișat peste frecvență.

stabilitatea sistemului de control bazat pe relația dintre marja de câștig și marja de fază este prezentată mai jos.

• dacă marja de câștig $GM$ este mai mare decât una și marja de fază $PM$ este pozitivă, atunci sistemul de control este stabil.

• dacă marja de câștig $GM$ este egală cu una și marja de fază $PM$ este zero grade, atunci sistemul de control este marginal stabil.

• dacă marja de câștig $GM$ este mai mică de una și / sau marja de fază $PM$ este negativă, atunci sistemul de control este instabil.