teorema punctului fix

teorema punctului fix, oricare dintre diferitele teoreme din matematică care se ocupă de o transformare a punctelor unui set în puncte ale aceluiași set unde se poate dovedi că cel puțin un punct rămâne fix. De exemplu, dacă fiecare număr real este pătrat, numerele zero și unu rămân fixe; întrucât transformarea prin care fiecare număr este mărit cu unul nu lasă niciun număr fix. Primul exemplu, transformarea constând în pătrarea fiecărui număr, atunci când este aplicată intervalului deschis de numere mai mari decât zero și mai puțin de unu (0,1), nu are, de asemenea, puncte fixe. Cu toate acestea , situația se schimbă pentru intervalul închis, cu obiectivele incluse. O transformare continuă este una în care punctele învecinate sunt transformate în alte puncte învecinate. (Vezi continuitate.) Teorema punctului fix a lui Brouwer afirmă că orice transformare continuă a unui disc închis (inclusiv limita) în sine lasă cel puțin un punct fix. Teorema este valabilă și pentru transformările continue ale punctelor pe un interval închis, într-o minge închisă sau în seturi abstracte de dimensiuni superioare analogice mingii.

citiți mai multe despre acest subiect

topologie: Istoria topologiei

Brouwer și teorema sa de punct fix. Deși sintagma topologie algebrică a fost folosită pentru prima dată ceva mai târziu în 1936 de către cei născuți în Rusia…

teoremele cu punct fix sunt foarte utile pentru a afla dacă o ecuație are o soluție. De exemplu, în ecuațiile diferențiale, o transformare numită operator diferențial transformă o funcție în alta. Găsirea unei soluții a unei ecuații diferențiale poate fi apoi interpretată ca găsirea unei funcții neschimbate printr-o transformare conexă. Considerând aceste funcții ca puncte și definind o colecție de funcții analoage colecției de puncte de mai sus cuprinzând un disc, teoreme analoage Teorema punctului fix a lui Brouwer poate fi dovedit pentru ecuații diferențiale. Cea mai faimoasă teoremă de acest tip este teorema Leray-Schauder, publicată în 1934 de francezul Jean Leray și Polul Julius Schauder. Dacă această metodă produce sau nu o soluție (adică dacă poate fi găsit sau nu un punct fix) depinde de natura exactă a operatorului diferențial și de colecția de funcții din care se caută o soluție.