Valori proprii, vectori proprii și componente proprii

ce trebuie să știți pentru a înțelege acest subiect?

• elementele de bază ale algebrei liniare

secțiuni

• ce?
• Eigendecomposition
• un exemplu
• de ce este utilă eigendecomposition?
• matrice inversă
• puterea unei matrice
• proprietățile compoziției proprii
• cum se calculează compoziția proprie?
• iterație de putere
• algoritm QR

ce anume?

Eigen înseamnă propriul sau sinele. În algebra liniară, valoarea proprie, vectorul propriu și compoziția proprie sunt termeni care sunt intrinsec legați. Compoziția proprie este metoda de a descompune o matrice pătrată în valorile proprii și vectorii proprii. Pentru o matrice $a$, dacă$$\begin{equation}a\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}\label{eq:Avlv}\end{equation}$$atunci $\mathbf{V}$ este un vector propriu al matricei $A$ și $\lambda$ este valoarea proprie corespunzătoare. Adică, dacă matricea $A$ este înmulțită cu un vector și rezultatul este o versiune scalată a aceluiași vector, atunci este un vector propriu al $a$ și factorul de scalare este valoarea sa proprie.

Eigendecomposition

deci, cum găsim vectorii proprii ai unei matrice? De la $ \ eqref{eq: Avlv}$:$$a\mathbf{v}-\lambda i \mathbf{v} = 0$$$$$\begin{ecuație}(a -\lambda I) \mathbf{v} = 0\label{EQ:AlI}\end{ecuație},$$unde$ I $ este matricea identității. Valorile $ \ lambda $ unde$ \ eqref{EQ:AlI} $ sunt valorile proprii ale $a$. Se pare că această ecuație este echivalentă cu:$$ \ begin{equation}det (a – \lambda I) = 0,\label{EQ:detAlI} \ end{equation}$$unde det () este determinantul unei matrice.

dovada că $det (a-\lambda I)\equiv (a – \lambda i) \ mathbf{v}=0$

un exemplu

să vedem compoziția proprie pentru matrice:$$a=\left$$From $\eqref{EQ:detAlI}$:$$det \ left (\left \ right) = 0$$$$(1-\lambda) (3 – \ lambda) = 0$$obținem direct $\lambda_1 = 1$ și $\lambda_2 = 3$. Expresia de mai sus este denumită de obicei ecuația polinomială caracteristică sau caracteristică a unei matrice.
conectarea $ \ lambda_1 $ în $ \ eqref{eq: Avlv}$, obținem:$$ \ stânga\stânga = 1 \ stânga$$din care obținem $v_{11} = -2v_{12}$. Adică, orice vector $ \ mathbf{v_1} = $ unde $v_{11} = – 2v_{12}$ este un vector propriu de $a$ cu valoarea proprie 1.
conectând $ \ lambda_2$ în $ \ eqref{EQ: Avlv}$, obținem:$$\left\left= 3 \left$$din care obținem $v_{21} = 0$ și $v_{22} \în \mathbb{R}$. Adică, orice vector $ \ mathbf{v_2} = $ unde $v_{21} = 0$ este un vector propriu de $a$ cu valoarea proprie 3.

de ce este utilă eigendecomposition?

referindu-ne la exemplul nostru anterior, ne putem alătura atât vectorilor proprii, cât și valorilor proprii într-o singură ecuație matricială:$$A\left = \left\left =\left\left =\left\left$$dacă înlocuim:$$\Lambda = \left$$$$V = \left$$$este de asemenea adevărat că:$$AV = V\Lambda$$$$$\begin{ecuația}a = V\Lambda V^{-1}\label{eq:AVLV}\end{ecuația} $$ Eigendecompoziția descompune o matrice $a$ într-o multiplicare a unei matrice de vectori proprii $V$și o matricea diagonală a valorilor proprii $ \lambda$. Acest lucru se poate face numai dacă o matrice este diagonalizabilă. De fapt, definiția unei matrice diagonalizabile $a \in \mathbb{R}^{n \times n}$ este că poate fi eigendecompusă în vectori proprii $n$, astfel încât $V^{-1}AV = \Lambda$.

matrice inversă cu compoziția proprie

din $\eqref{eq:AVLV}$:$$a^{-1} = V \Lambda^{-1}V^{-1}$$inversul $\Lambda$ este doar inversul fiecărui element diagonal (valorile proprii).

puterea unei matrice cu compoziție proprie

din $\Eqref{EQ:AVLV}$:$$a^2 = V \Lambda V^{-1} V \Lambda V^{-1} = V \Lambda^{2} V^{-1}$$$$A^N = V \Lambda^N V^{-1}$$puterea $\Lambda$ este doar puterea fiecare element diagonal. Acest lucru devine mult mai simplu decât multiplicările lui A.

proprietățile compoziției proprii

• $det (A)=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i$ (determinantul lui A este egal cu produsul valorilor proprii)
• $tr (a)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i$ (urma lui A este egală cu suma valorilor proprii)
• valorile proprii ale lui $a^{-1} $sunt $ \lambda_i^{-1}$
• valorile proprii ale $a^{n} $ sunt$\lambda_i^{n} $
• în general, valorile proprii ale$ f(A) $sunt$f (\lambda_i) $
• vectorii proprii ai$ a^{-1} $sunt aceiași cu vectorii proprii ai$a$.
• dacă $a$ este hermitian (transpunerea sa conjugată este egală cu ea însăși) și full-rank (toate rândurile sau coloanele sunt liniar independente), atunci vectorii proprii sunt reciproc ortogonali (produsul punct dintre oricare doi vectori proprii este zero) și valorile proprii sunt reale.
• $a$ este inversabil dacă toate valorile sale proprii sunt diferite de zero și invers.
• dacă valorile proprii ale matricei $A$ sunt distincte (nu se repetă), atunci A poate fi eigendecompus.

cum se calculează compoziția proprie?

calcularea polinomului caracteristic și apoi rezolvarea acestuia în raport cu valorile proprii devine impracticabilă pe măsură ce dimensiunea matricei crește. În practică, algoritmii iterativi sunt utilizați pentru a compune o matrice.

iterația de putere

iterația de putere este o metodă iterativă pentru a calcula cea mai mare valoare proprie și vectorul propriu asociat. Numai cea mai mare valoare/vector este găsit, astfel încât această metodă ca utilizare limitată.

în primul rând, începem cu un vector $b_0$, care poate fi o presupunere educată a vectorului propriu dominant sau a unui vector aleatoriu. Apoi, iterați prin următoarea ecuație:$$b_{k + 1} = \frac{a B_k}{\left\Vert a b_k \right\Vert}.$$La fiecare iterație, vectorul este lăsat-înmulțit cu matricea $A$ și normalizat, convergând la vectorul propriu dominant. Această metodă funcționează numai dacă:

• $a$ are o valoare proprie mai mare sau egală cu toate celelalte.
• Vector $b_0$ are o componentă diferită de zero în direcția vectorului propriu dominant (adică produsul lor punct este diferit de zero)

folosind exemplul nostru matrice $a$ și vector inițial:$$b_0 = \ left$$pentru primul pas:$$b_1 = \frac{\left\left}{\left\Vert\left\left\right\Vert}= \frac{\left}{5} = \left$$pentru următorii pași, reutilizați ultimul $B$ și:$$b_2= \left, b_3= \left, B_4=\left, b_5= \left$$și$$ \left\Vert a b_5 \right\Vert = 2.99$$ dacă vă amintiți, cea mai mare valoare proprie de $a$ este 3 și vectorul său propriu este $\mathbf{v} = $, unde $V_{21} = 0$ și $v_{22}$ pot avea orice valoare.

algoritm QR

algoritmul QR utilizează descompunerea QR iterativ pentru a face eigendecomposition. Reamintim că descompunerea QR descompune o matrice $a$ într-o matrice ortogonală $Q$ și o matrice triunghiulară superioară $R$ ca $a = QR$.