1.2 Kvantifierare
minns att en formel är ett uttalande vars sanningsvärdekan bero på värdena för vissa variabler. Till exempel
” $x \ le 5 \ landa x> 3$”
är sant för $x = 4$ och falskt för$x = 6$. Jämför detta med uttalandet
” för varje $x$, $x \ le 5 \ land x>3$,”
vilket är definitivt falskt och uttalandet
” det finns en $x$ så att $x \ le 5 \ land x>3$,”
vilket är definitivt sant. Uttrycket”för varje $x$”(ibland” för alla $x$”) kallasen universell kvantifierare och betecknas med $\forall x$. Uttrycket ”thereexists an $ x$ such that” kallas en existentialquantifier och betecknas av $\exists x$. En formel som innehåller variabler är inte helt enkeltsann eller falsk om inte var och en av dessa variabler är bunden av en kvantifierare. Om en variabel inte är bunden är sanningen i formeln beroende av det värde som tilldelats variabelfrån diskursens universum.
vi var försiktiga i avsnitt 1.1 för att definiera sanningsvärdena för sammansatta uttalanden exakt. Vi gör detsamma för$ \ forall x\, P(x)$ och $\existerar x\,P (x)$, även om de avsedda betydelserna av dessa är tydliga.
den universella Kvantifieraren
en mening $\forall x\,P(x)$ är sant om och endast om $P(x)$ är sant nomatter vilket värde (från diskursens universum) ersätts med $x$.
exempel 1.2.1
$\bullet$ $\forall x (x^2\ge 0)$,dvs ”kvadraten av ett tal är inte negativt.”
$\bullet$ $\forall x\,\forall y (x+y=y+x)$, dvs den kommutativa lagen om tillägg.
$\bullet$ $\forall x\,\forall y\,\forall z ((x+y)+z=x+(y+z))$,dvs den associativa lagen om tillägg.
$ \ kvadrat$
den” alla ” formen.Den universella kvantifieraren påträffas ofta i följande sammanhang:$$\forall x (P(x)\innebär Q(x)),$$som kan läsas, ”alla $x$ som uppfyller $P(x)$ uppfyller också$Q(x)$.”Parenteser är avgörande här; se till att du förstår skillnaden mellan ”All” – formen och $\forall x\,P(x)\innebär\forall x\,Q(x)$ och $(\forall x\,P(x))\innebär Q(x)$.
den senare formeln kan också skrivas som $\forall x\,P(x)\impliesQ(x)$, det vill säga att den universella kvantifieraren har högreöverträffande än den villkorliga; för att undvika missförstånd är det bäst att inkludera parenteserna. Betydelsen av denna formelkan inte vara tydlig först. $X$ i $P(x)$ är bunden avuniversell kvantifierare, men $x$ i $Q(x)$ är inte. Formeln$(\forall x\, P(x))\innebär Q (x)$ har samma betydelse som $(\forallx\,P(x))\innebär Q (y)$, och dess sanning beror på det värde som tilldelatstill variabeln i $Q (\cdot)$.
exempel 1.2.2
$ \ bullet$ $ \ forall x$ ($x$ är en kvadrat $\innebär$ $ x$ är en rektangel), dvs ”alla rutor är rektanglar.”
$ \ bullet$ $ \ forall x$ ($x$ bor i Walla Walla $ \ innebär$ $ x $ bor i Washington), dvs ”varje person som bor i Walla Walla bor i Washington.”
$ \ kvadrat$
denna konstruktion används ibland för att uttrycka enmatematisk mening i formuläret” om detta, då det”med en” förstådd ” kvantifierare.
exempel 1.2.3
$\bullet$ om vi säger,” om $x$ är negativt, så är dess kub, ”menar vi vanligtvis” varje negativ $x$ har en negativ kub.”Detta bör skrivas symboliskt som$ \ forall x ((x
$ \ bullet$ ”om två siffror har samma kvadrat, har de samma absoluta värde” ska skrivas som$\forall x\,\forall y ((x^2=y^2)\antyder(\vert x\vert = \vert y\vert))$.
$\bullet$ ”om $x=y$, då $x+z=y+z$” ska skrivas som $\forall x\,\forally\,\forall z ((x=y)\antyder (x+z=y+z))$.
$ \ kvadrat$
om $S$ är en uppsättning, meningen ”varje $x$ i $S$ uppfyller $P (x)$” skrivs formellt som$$\forall x ((x\I S)\innebär P(x))$$ för tydlighet och korthet skrivs detta vanligtvis $\forall x\, {\in}\, S\, (P(x))$. För att förstå och manipulera formeln $\forallx\,{\in}\,S\, (P(x))$ korrekt måste du ibland”förkorta” den och skriva om den som $\forall x ((x\in S)\impliesP(x))$.
exempel 1.2.4
$\bullet$ $\forall x\in (\sqrt x\ge x)$står för $\forall x (x\in \antyder \sqrt x\ge x).$
$ \ bullet$ $\forall x
$ \ kvadrat$
den existentiella Kvantifieraren
en mening $\existerar x\,P(x)$ är sant om och endast om det finns minst ett värde på $x$ (från diskursens universum) som gör $P(x)$ sant.
exempel 1.2.5
$\bullet$ $\existerar x (x \ge x^2)$är sant eftersom $x=0$ är en lösning. Det finns många andra.
$\bullet$ $\existerar X\,\existerar y (x^2+y^2=2XY)$ är sant eftersom$x=y=1$ är en av många lösningar.
$ \ kvadrat$
”någon form”. Existentialquantifier påträffas ofta i följande sammanhang: $$\existerar x\(P(x)\land Q(x)),$$ som kan läsas, ”vissa $x$ som uppfyller $P(x)$ ocksåuppfyller $Q(x)$.”
exempel 1.2.6
$\bullet$ $\existerar x\, \hbox{($x$ är en professor $\land$ $x$ är en republikan)}$, dvs ”någon professor är en republikan.”
$ \ bullet$ $ \ existerar x\, \ hbox {($x$ är ett primtal $ \ land$ $ x$ är jämnt)}$, dvs”något primtal är jämnt.”
$ \ kvadrat$
det kan först tyckas att ” vissa $x $ tillfredsställande $P(x)$uppfyller $Q (x)$” bör översättas som$$\existerar x(P(x)\innebär Q (x)),$$som den universella kvantifieraren. För att se varför detta inte fungerar,anta $P(x)=\hbox{”$x$ är ett äpple”}$ och $Q (x)=\hbox{”$x$ är anorange.”} $ Meningen ”vissa äpplen är apelsiner” är säkertfalsk, men$$\existerar x (P(x)\innebär Q(x))$$är sant. För att se detta antar $x_0$ är en viss orange. Då$ P(x_0)\innebär Q(x_0) $utvärderas till$\hbox{F}\innebär \hbox{t}$, vilket är T, och existentiell kvantifierare är nöjd.
vi använder förkortningar av ”någon” form ungefär som de för”alla” form.
exempel 1.2.7
$ \ bullet$ $ \ existerar X
$ \ bullet$ $ \existerar x \ in (2x^2 + x =1) $ står för $ \ existerar x ((x \ in) \ landa (2x^2 + x=1))$ $ \ kvadrat$
om $ \ forall$ motsvarar ” alla ”och $\existerar$ motsvarar”vissa ”behöver vi en tredje kvantifierare för att motsvara”ingen”? Som följande visar är detta inte nödvändigt:
exempel 1.2.8
$ \ bullet$ ”inga Demokrater är republikaner” kan skrivas $\forall x$ ($x$ är en demokrat $\innebär$ $x$ är inte republikan).
$\bullet$ ”inga trianglar är rektanglar” kan skrivas $\forall x$ ($x$ är en triangel $\innebär$ $x$ är inte en rektangel).
$ \ kvadrat$
i allmänhet kan uttalandet” Nej $x$ tillfredsställande $P(x)$ uppfyller $Q(x)$ ” skrivas $$\forall x (P(x)\innebär \lnot Q(x)).$$(Du kanske undrar varför vi inte använder $ \ lnot \ existerar x\, (P(x)\land Q (x))$. Faktum är att vi kunde-det motsvarar $ \ forall x(P(x)\innebär \lnot Q (x))$.)
övningar 1.2
i dessa problem antar diskursens universum att det finns tal.
Ex 1.2.1 uttrycka följande som formler som involverar kvantifierare:
A) alla tal som höjs till den fjärde effekten är icke-negativa.
b) något tal som höjts till den tredje effekten är negativt.
c) sinus för en vinkel är alltid mellan $+1$ och $-1$.
d) sekanten av en vinkel är aldrig strikt mellan $+1$ och $-1$.
Ex 1.2.2 Antag $X$ och $Y$ är uppsättningar. Uttryck följande som formler som involverar kvantifierare.
a) varje element av $X$ är ett element av $Y$.
b) något element av $X$ är ett element av $Y$.
c) något element av $X$ är inte ett element av $Y$.
d) inget element på $X$ är ett element på $Y$.
Ex 1.2.3 minns (från Kalkyl) att en funktion $f$ ökar om$$ \forall a \forall b (a
a) $f$ minskar.
b) $f$ är konstant.
c) $f$ har en nolla.
Ex 1.2.4 uttrycka följande lagar symboliskt:
a) den kommutativa lagen om multiplikation
b) den associativa lagen om multiplikation
c) fördelningslagen
Ex 1.2.5 är följande meningar sanna eller falska?
a) $\forall x \forall y (x
b) $\forall x \forall y \forall z\ne 0 (xz=yz\antyder x=y)$
c) $\existerar X
d) $\existerar X \existerar y \existerar z (x^2+y^2+z^2=2XY-2+2z)$
Ex 1.2.6 Antag att $P(x)$ och $Q(y)$ är formler.
a) är $\forall x \forall y (P(x)\innebär Q(y))$motsvarande $\forall x(P(x)) \innebär \forall y(Q (y))$?
b) är $ \ existerar x \ existerar y (P(x)\land Q(y))$motsvarande $\existerar x(P(x)) \land \existerar y(Q (y))$?