Calculus II-mer om sekvenser
Visa Mobile Notice Visa alla anteckningar Dölj alla anteckningar
avsnitt 4-2 : Mer om sekvenser
i föregående avsnitt introducerade vi begreppet en sekvens och pratade om gränser för sekvenser och tanken på konvergens och divergens för en sekvens. I det här avsnittet vill vi ta en snabb titt på några ideer som involverar sekvenser.
låt oss börja med lite terminologi och definitioner.
givet vilken sekvens som helst \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) har vi följande.
- vi kallar sekvensen ökar om \({a_n} < {a_{n + 1}}\) för varje \(n\).
- vi kallar sekvensen minskar om \({a_n} > {a_{n + 1}}\) för varje \(n\).
- om \(\left \ { {{a_n}} \right\}\) är en ökande sekvens eller \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) är en minskande sekvens som vi kallar den monoton.
- om det finns ett tal \(m\) så att \(m \le {a_n}\) för varje \(n\) säger vi att sekvensen är avgränsad nedan. Numret \(m\) kallas ibland en nedre gräns för sekvensen.
- om det finns ett tal \(M\) så att \({a_n} \le M\) för varje \(n\) säger vi att sekvensen är avgränsad ovan. Numret \(M\) kallas ibland en övre gräns för sekvensen.
- om sekvensen är både avgränsad nedan och avgränsad ovan kallar vi sekvensen avgränsad.
Observera att för att en sekvens ska öka eller minska måste den öka/minska för varje \(n\). Med andra ord, en sekvens som ökar för tre termer och sedan minskar för resten av termerna är inte en minskande sekvens! Observera också att en monotonisk sekvens alltid måste öka eller att den alltid måste minska.
innan vi går vidare bör vi göra en snabb punkt om gränserna för en sekvens som är avgränsad över och/eller under. Vi kommer att göra punkten om lägre gränser, men vi kan lika lätt göra det om övre gränser.
en sekvens avgränsas nedan om vi kan hitta ett tal \(m\) så att \(m \le {a_n}\) för varje \(n\). Observera dock att om vi hittar ett nummer \(m\) att använda för en nedre gräns, kommer ett tal som är mindre än \(m\) också att vara en nedre gräns. Också, bara för att vi hittar en nedre gräns betyder det inte att det inte kommer att finnas en ”bättre” nedre gräns för sekvensen än den vi hittade. Med andra ord finns det ett oändligt antal lägre gränser för en sekvens som begränsas nedan, vissa kommer att vara bättre än andra. I min klass kommer allt jag är ute efter att vara en lägre gräns. Jag behöver inte nödvändigtvis den bästa nedre gränsen, bara ett nummer som kommer att vara en nedre gräns för sekvensen.
Låt oss ta en titt på några exempel.
- \(\vänster \ { {- {n^2}} \höger\} _ {n = 0}^ \ infty \)
- \(\vänster\ { {{{\vänster ({- 1} \ höger)}^{n + 1}}} \ höger\}_{n = 1}^ \ infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{2}{{{n^2}}} \right\}_{n = 5}^\infty \)
Visa alla lösningar Dölj alla lösningar
denna sekvens är en minskande sekvens (och därmed monoton) eftersom,
\
för varje \(n\).
också, eftersom sekvensvillkoren kommer att vara antingen noll eller negativ begränsas denna sekvens ovan. Vi kan använda något positivt tal eller noll som bunden, \(M\), men det är standard att välja den minsta möjliga gränsen om vi kan och det är ett bra nummer. Så vi väljer \(M = 0\) sedan,
\
denna sekvens är inte begränsad under men eftersom vi alltid kan komma under någon potential bunden genom att ta \(n\) tillräckligt stor. Därför är sekvensen begränsad ovanför den inte begränsad.
som sidoanteckning kan vi också notera att denna sekvens avviker (till \( – \infty \) om vi vill vara specifika).
b \(\left \ { {{{\left ({- 1} \right)}^{n + 1}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Visa lösning
sekvenstermerna i denna sekvens växlar mellan 1 och -1 och så är sekvensen varken en ökande sekvens eller en minskande sekvens. Eftersom sekvensen varken är en ökande eller minskande sekvens är det inte en monoton sekvens.
sekvensen begränsas emellertid eftersom den begränsas ovan av 1 och begränsas nedan av -1.
återigen kan vi notera att denna sekvens också är divergerande.
c \(\left \ { {\displaystyle \ frac{2}{{{n^2}}} \right\}_{n = 5}^\infty \) Visa lösning
denna sekvens är en minskande sekvens (och därmed monoton) eftersom,
\
termerna i denna sekvens är alla positiva och så begränsas den nedan med noll. Eftersom sekvensen är en minskande sekvens kommer den första sekvensperioden att vara den största och så kan vi se att sekvensen också kommer att begränsas ovan av \(\frac{2}{{25}}\). Därför begränsas denna sekvens.
vi kan också ta en snabb gräns och notera att denna sekvens konvergerar och dess gräns är noll.
låt oss nu arbeta med ett par exempel som är utformade för att se till att vi inte blir vana vid att förlita oss på vår intuition med dessa problem. Som vi noterade i föregående avsnitt kan vår intuition ofta leda oss vilse med några av de begrepp vi ska titta på i det här kapitlet.
- \(\vänster \ { {\displaystyle \ frac{n}{{n + 1}}} \ höger\}_{n = 1}^ \ infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
Visa alla lösningar Dölj alla lösningar
vi börjar med den begränsade delen av detta exempel först och sedan komma tillbaka och ta itu med den ökande/minskande frågan eftersom det är där eleverna ofta gör misstag med denna typ av sekvens.
först är \(n\) positiv och så är sekvensvillkoren alla positiva. Sekvensen begränsas därför nedan med noll. På samma sätt är varje sekvensterm kvoten för ett tal dividerat med ett större antal och så garanteras att det är mindre än ett. Sekvensen avgränsas sedan ovan av en. Så är denna sekvens begränsad.
låt oss nu tänka på den monotona frågan. För det första kommer eleverna ofta att göra misstaget att anta att eftersom nämnaren är större måste kvoten minska. Detta kommer inte alltid att vara fallet och i det här fallet skulle vi ha fel. Denna sekvens ökar som vi ser.
för att bestämma den ökande/minskande karaktären av denna sekvens måste vi tillgripa Calculus i-tekniker. Först överväga följande funktion och dess derivat.
\
vi kan se att det första derivatet alltid är positivt och så från kalkyl jag vet vi att funktionen då måste vara en ökande funktion. Så, hur hjälper detta oss? Lägg märke till att
\
därför eftersom \(n < n + 1\) och \(f\vänster( x \höger)\) ökar kan vi också säga att
\
med andra ord måste sekvensen öka.
Observera att nu när vi vet att sekvensen är en ökande sekvens kan vi få en bättre nedre gräns för sekvensen. Eftersom sekvensen ökar måste den första termen i sekvensen vara den minsta termen och eftersom vi börjar vid \(n = 1\) kan vi också använda en nedre gräns på \(\frac{1}{2}\) för denna sekvens. Det är viktigt att komma ihåg att ett tal som alltid är mindre än eller lika med alla sekvenstermer kan vara en nedre gräns. Vissa är dock bättre än andra.
en snabbgräns kommer också att berätta att denna sekvens konvergerar med en gräns på 1.
innan vi går vidare till nästa del finns det en naturlig fråga som många studenter kommer att ha vid denna tidpunkt. Varför använde vi Kalkyl för att bestämma sekvensens ökande/minskande natur när vi bara kunde ha anslutit ett par \(n\) och snabbt bestämt samma sak?
svaret på denna fråga är nästa del av detta exempel!
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{n^3}}}{{{n^4} + 10000}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Visa lösning
det här är en rörig sekvens, men det måste vara för att göra punkten i denna del.
först märker du att, som med föregående del, sekvensvillkoren är alla positiva och kommer alla att vara mindre än en (eftersom täljaren garanteras vara mindre än nämnaren) och så är sekvensen begränsad.
Låt oss nu gå vidare till den ökande/minskande frågan. Som med det sista problemet kommer många elever att titta på exponenterna i täljaren och nämnaren och bestämma utifrån att sekvensvillkoren måste minska.
Detta är dock inte en minskande sekvens. Låt oss ta en titt på de första termerna för att se detta.
\
de första 10 termerna i denna sekvens ökar alla och så tydligt kan sekvensen inte vara en minskande sekvens. Kom ihåg att en sekvens bara kan minska om alla termer minskar.
nu kan vi inte göra ett annat vanligt misstag och anta att eftersom de första termerna ökar måste hela sekvensen också öka. Om vi gjorde det skulle vi också misstas eftersom det inte heller är en ökande sekvens.
denna sekvens minskar eller ökar inte. Det enda säkra sättet att se detta är att göra kalkylen jag närmar mig att öka/minska funktioner.
i det här fallet behöver vi följande funktion och dess derivat.
\
denna funktion kommer att ha följande tre kritiska punkter,
\{{30000}} \ca 13.1607,\hspace{0.25 in}\,\,\,\, x = – \ sqrt{{30000}} \ca-13.1607\]
varför kritiska punkter? Kom ihåg att det här är de enda platserna där derivatet kan ändra tecken! Vår sekvens börjar vid \(n = 0\) och så kan vi ignorera den tredje eftersom den ligger utanför värdena på \(n\) som vi överväger. Genom att plugga in några testvärden på \(x\) kan vi snabbt bestämma att derivatet är positivt för \(0 < x < \sqrt{{30000}} \ca 13.16\) och så ökar funktionen i detta intervall. På samma sätt kan vi se att derivatet är negativt för \(x > \sqrt{{30000}} \ca 13.16\) och så kommer funktionen att minska i detta intervall.
så kommer vår sekvens att öka för \(0 \le n \le 13\) och minska för \(n \ge 13\). Därför är funktionen inte monotonisk.
Slutligen notera att denna sekvens också kommer att konvergera och har en gräns på noll.
så som det sista exemplet har visat måste vi vara försiktiga när vi gör antaganden om sekvenser. Vår intuition är ofta inte tillräcklig för att få rätt svar och vi kan aldrig göra antaganden om en sekvens baserad på värdet av de första termerna. Som den sista delen har visat finns sekvenser som kommer att öka eller minska för några termer och sedan ändra riktning efter det.
notera också att vi sa” första termerna ” här, men det är helt möjligt för en sekvens att minska för de första 10 000 termerna och sedan börja öka för de återstående termerna. Med andra ord finns det inget ”magiskt” värde på \(n\) för vilket allt vi behöver göra är att kolla upp till den punkten och då vet vi vad hela sekvensen kommer att göra.
den enda gången vi kommer att kunna undvika att använda Calculus i-tekniker för att bestämma den ökande/minskande naturen hos en sekvens är i sekvenser som del (c) i Exempel 1. I det här fallet ökade \ (n\) bara (faktiskt ökat) nämnaren och så kunde vi bestämma sekvensens beteende baserat på det.
I exempel 2 ökade dock ökande \(n\) både nämnaren och täljaren. I sådana fall finns det inget sätt att bestämma vilken ökning som kommer att ”vinna ut” och få sekvensvillkoren att öka eller minska och så måste vi tillgripa Calculus i-tekniker för att svara på frågan.
vi stänger detta avsnitt med en fin sats som vi kommer att använda i några av bevisen senare i detta kapitel.
Sats
om \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) är avgränsad och monoton då \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) är konvergent.
var noga med att inte missbruka denna sats. Det säger inte att om en sekvens inte är begränsad och/eller inte monoton att den är divergerande. Exempel 2b är ett bra exempel. Sekvensen i det exemplet var inte monotont men det konvergerar.
notera också att vi kan göra flera varianter av denna sats. Om \(\left \{{{a_n}}\ right\}\) avgränsas ovanför och ökar konvergerar den och på samma sätt om \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) avgränsas nedan och minskar konvergerar den.