fastpunktssats
Fastpunktssats, någon av olika satser i matematik som handlar om en omvandling av punkterna i en uppsättning till punkter i samma uppsättning där det kan bevisas att minst en punkt förblir fast. Till exempel, om varje reellt tal är kvadrerat, förblir siffrorna noll och en fast; medan omvandlingen varigenom varje tal ökas med en lämnar inget nummer fast. Det första exemplet, omvandlingen som består av kvadrering av varje tal, när den appliceras på det öppna intervallet av tal större än noll och mindre än en (0,1), har inte heller några fasta punkter. Situationen förändras dock för det stängda intervallet, med slutpunkterna inkluderade. En kontinuerlig omvandling är en där angränsande punkter omvandlas till andra angränsande punkter. (Se kontinuitet.) Brouwers fastpunktssats säger att varje kontinuerlig omvandling av en sluten disk (inklusive gränsen) till sig själv lämnar minst en punkt fast. Satsen gäller också för kontinuerliga omvandlingar av punkterna i ett slutet intervall, i en sluten boll eller i abstrakta högre dimensionella uppsättningar som är analoga med bollen.
fastpunktssatser är mycket användbara för att ta reda på om en ekvation har en lösning. Till exempel, i differentialekvationer, omvandlar en transformation som kallas en differentialoperatör en funktion till en annan. Att hitta en lösning av en differentialekvation kan sedan tolkas som att hitta en funktion oförändrad av en relaterad transformation. Genom att betrakta dessa funktioner som punkter och definiera en samling funktioner som är analoga med ovanstående samling av punkter som innefattar en skiva, kan satser som är analoga med Brouwers fastpunktssats bevisas för differentialekvationer. Den mest kända satsen av denna typ är Leray-Schauder-satsen, publicerad 1934 av fransmannen Jean Leray och Polen Julius Schauder. Huruvida denna metod ger en lösning (dvs. huruvida en fast punkt kan hittas eller inte) beror på differentialoperatörens exakta natur och samlingen av funktioner från vilka en lösning söks.