kalkyl
i det här ämnet kommer vi att studera hur man integrerar vissa kombinationer som involverar produkter och befogenheter för trigonometriska funktioner.
vi anser \(8\) Fall.
för att utvärdera integraler av produkter av sinus och cosinus med olika argument tillämpar vi identiteterna
Integraler av formen \({\large\int\normalsize} {{\sin^m}x\, {\cos^n}xdx}\)
vi antar här att krafterna \(m\) och \(n\) är icke-negativa heltal.
för att hitta en integral av detta formulär, använd följande substitutioner:
integralerna av typen \(\int {{{\sin }^n}xdx} \) och \(\int {{{\cos }^n}xdx} \) kan utvärderas med reduktionsformler
\
\
Integraler av formen \({\large \ int \ normalsize} {{\tan^n}xdx} \)
integralens effekt kan reduceras med hjälp av trigonometrisk identitet \(1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x\) och reduktionsformeln
\
Integraler av formen \({\large \ int \ normalsize} {{{\cot }^n}xdx} \)
integralens effekt kan minskas med den trigonometriska identiteten \(1 + {\cot ^n}x = {\csc ^n}x\) och reduktionsformeln
\
Integraler av formen \({\large \ int \ normalsize} {{\sec^n}xdx} \)
denna typ av integraler kan förenklas med hjälp av reduktionsformeln:
\
Integraler av formen \({\large \ int \ normalsize} {{\csc^n}xdx} \)
på samma sätt som tidigare exempel kan denna typ av integraler förenklas med formeln
\
Integraler av formen \({\large \ int \ normalsize} {{\tan^m}x\, {\sec^n}xdx} \)
Integraler av formen \({\large \ int \ normalsize} {{\cot^m}x\, {\csc^n}xdx} \)
Lösta problem
klicka eller tryck på ett problem för att se lösningen.
exempel 1.
beräkna integralen \({\large\int\normalsize} {{\sin^3}xdx}.\ )
lösning.
låt \(u = \cos x,\) \(du = -\sin xdx.\ ) Sedan
Exempel 2.
utvärdera integralen \({\large\int\normalsize} {{\cos^5}xdx}.\ )
lösning.
genom att göra substitutionen \(u = \sin x,\) \(du = \cos xdx\) och använda identiteten \({\cos ^2}x = 1 – {\sin ^2}x,\) får vi
exempel 3.
hitta integralen \({\large\int\normalsize} {{\sin^6}xdx}.\ )
lösning.
med identiteter \({\sin ^2}x = {\large\frac{{1 – \cos 2x}}{2}\normalsize}\) och \({\cos ^2}x = {\large\frac{{1 + \cos 2x}}{2}\normalsize},\) kan vi skriva:
beräkna integralerna i det senare uttrycket.
\
för att hitta integralen \({\large\int\normalsize} {{\cos^3}2xdx},\) gör vi substitutionen \(u = \sin 2x,\) \(du=\) \ (2\cos 2xdx.\ ) Sedan
därför är den initiala integralen
exempel 4.
hitta integralen \(\int {{{\sin} ^2}x\, {{{\cos }^3}x}dx}.\ )
lösning.
kraften i cosinus är udda, så vi gör substitutionen
\
vi skriver om integralet i termer av \(\sin x\) för att erhålla:
exempel 5.
beräkna integralen \({\large \ int \ normalsize} {{{\sin }^2}x\,{{\cos }^4}xdx}.\ )
lösning.
vi kan skriva:
\
vi konverterar integand med identiteterna
\
detta ger
exempel 6.
utvärdera integralen \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^4}xdx}.\ )
lösning.
eftersom sinusens kraft är udda använder vi substitutionen
\
integralet är skrivet som
\
den pythagoranska identiteten,
\
därför
exempel 7.
utvärdera integralen \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^5}xdx}.\ )
lösning.
vi ser att båda krafterna är udda, så vi kan ersätta antingen \(u = \sin x\) eller \(u = \cos x.\ ) Att välja den minsta exponenten, vi har
\
integralet tar formen
\
använda den pythagoranska identiteten,
\
vi kan skriva
exempel 8.
utvärdera integralen \(\int {{{\sin }^3}x\,{{\cos }^3}xdx}.\ )
lösning.
\
den pythagoranska identiteten,
\
så vi får