Vad jag har lärt mig från många års Undervisningsberäkning till första Åretcollege studenter

vad jag har lärt mig från många års Undervisningsberäkning

till förstaårsstudenter

Amtnj konferens

att hålla matematik på rätt spår: överbrygga klyftan

mellan gymnasiet och College matematik

14 januari 2005

Brookdale Community College

Joseph G. Rosenstein (Rutgers-NewBrunswick)

Varför har så många förstaårsstudenter svårigheter medkalculus när de verkar vara väl förberedda?

förra gången jag undervisade i första terminskalkylen slutade 41% av 61-eleverna i klassen med betyg av C eller sämre.

här är lite mer data. 82% av eleverna i klassen hade en termin eller mer av kalkyl igymnasiet, och 73% hade ett år eller mer av kalkyl i gymnasiet. (35% hade till och med ett år med AP-kalkyl.) Av alla konton är detta en grupp som ärväl förberedd för college calculus.

den dåliga nyheten är att om vi sätter ihop data kan vi dra slutsatsen att minst 23% av mina elever hade tagit en kalkylkurs i gymnasiet men inte lyckats göra bättre än C i en kalkylkurs icollege.

Varför finns det så många studenter som har tagit substantialmath kurser i gymnasiet men misslyckas i kalkyl?

i detta korta föredrag kommer jag att diskutera tre typer av frågor-innehåll, process och personliga frågor – allt på cirka 15 minuter och sedan öppna golvet för diskussion.

Under ”innehåll” är huvudproblemet inte att eleverna inte förstår begreppen kalkyl, det är att de inte har möjlighet med aritmetik och algebra.

en elev observerade en gång att ett visst problem involverade det han kallade ”intensiv algebra” – med vilket han menade att han var tvungen att rita på mycket av sin algebrakunskap för att utföra beräkningarna i ett enda problem. Detta händer, till exempel när eleverna behöver hitta derivatet av funktionen f(x) =1/(x+3) från definitionen – det vill säga som i transparensen måste dehitta gränsen för en skillnadskvotient, eftersom h går till noll. Tänk på de steg de behöver ta tilllösa detta problem. De behöver:

skriv ett korrekt uttryck för f (x + h) med ekvationenför f (x);

kombinera två fraktioner i täljaren till en endafraktion;

kombinera en summa och skillnad i termer;

omvandla en bråkdel som har en bråkdel i täljarenin i en som inte gör det;

hitta en gemensam faktor för täljaren och nämnaren ochavbryt den ordentligt;

ta en gräns och uttrycka resultatet i lämplig form.

inte bara måste de kunna utföra var och en av dessa steg individuellt, de behöver också ett fungerande övervakningssystem på hög nivå som ser den ”stora bilden” som är inblandad i att hitta derivatet och detberättar dem vad de behöver göra vid varje steg.

men många av dem gör fortfarande fel som har beenpersistent sedan mitten betyg – till exempel felaktigt avbryta termer överträdelser.

en fråga som denna ges på midterm och på finalexam, och även om de alla vet att detta är vad de förväntas kunnaatt göra, kan många av dem inte slutföra uppgiften korrekt.

när vi pratar om NCTM-standarderna, agerar vi ofta som omprocessstandarderna har ersatt innehållsstandarderna, den förståelsen har ersatt anläggningen. Det är inte fallet. Vi vill fokusera på reasoningand problemlösning, men vi vill också att våra studenter att ha lämpligafacility med matematiska operationer.

vilken anläggning är ”lämplig”? Det beror på studenten. De som kommer att sluta ta fleramästare av kalkyl på college har definitivt en nackdel om de harsvårigheter med aritmetik och algebra.

å andra sidan, de som sannolikt inte kommer att fortsätta att beräknakommer inte att behöva intensiv algebra. Menatt anta att en viss student är i den kategorin kan hamna som en självuppfyllande profetia.

en utvikning på algebra färdigheter. Många har kritiserat Rutgers ’ placeringstest på grund av att det inte är anpassat till standarderna, med vårreform ansträngningar, eftersom det fokuserar på färdigheter. Men jag måste säga er att det är ett bra mått på sannolikheten för framgång i precalculus och calculus, och har varit så under de senaste 20 åren sedan vi introducerade det. Det mäter studenternas anläggning med de nödvändiga färdigheterna … eftersom anläggningen med Prerequisites är avgörande för framgång i dessa kurser.

jag kommer att dela med dig min personliga erfarenhet. För några år sedan gjorde en av mina döttrarstrax under cut-off för precalculus. Eftersom jag har lite inflytande kunde jag registrera henne inprecalculus och resonerade att om hon hade svårigheter hade hon tillgång till agood tutor. Det var rätt … men det var också ett misstag – jag slutade göra mycket handledning. Hon var inte redo för Precalculus.

det är slutet på utpressningen.

nu behövs en förtydligande. När vi säger att anläggningen i algebra är avgörande för framgång i kalkylen, menar vi inte bara att lära sig regler föralgebraiska manipuleringar. Facility inalgebra betyder också att förstå matematiken som ligger till grund för demregler. När eleverna gör fel är de ofta ett resultat av missförstånd i matematiken, och vi behöver alla spendera mer tid på att avslöja de felaktiga ideerna som ledde till dessa fel och hjälpa eleverna att ersätta dem med mer exakta matematiskaförstånd. Det innebär att diskuterafel i klassen och med eleverna individuellt, och inte bara markera demfelaktig på sina läxor och tester.

anläggning i algebra innebär också att kunna dra nytta av en ’ sentire matematisk erfarenhet för att räkna ut ett lämpligt nästa steg i aproblem – det är vad jag hänvisade till ovan som att övervaka sina framsteg …att veta vad man ska göra härnäst.

som leder oss till”processfrågor”.

vi har alla en tendens att dela upp det vi lär oss –delvis för att vi stöter på ny information linjärt och vi måste lagra detnågonstans. Men det är mycket viktigt attinlärning vara ansluten. Allt vi kan göra som lärare för att skapa kopplingar mellan ämnen, för att fokusera eleverna på den stora bilden är mycket viktigt.

att ge exempel och läxproblem som länkar olikabegrepp är viktigt, liksom att ge regelbundna kumulativa undersökningar. Annars lär eleverna vad de behövervet för veckans frågesport och glöm det sedan.

i vissa skolor belönas elevernas framgång genom att undanta dem från halvtids-och slutprov. Itror att denna praxis är ett allvarligt misstag-eleverna får inte en chansatt dra ihop de olika kunskaperna de har förvärvat. Dessutom förbereder det dem inte för kumulativa undersökningar som är rutinmässiga på college. Längs dessa linjer, en rapport släpptes threeweeks sedan noteras att ta AP kalkyl i gymnasiet var inte en prediktor ofsuccess i college, även om scoring bra på AP examen var.

vi behöver hjälpa våra elever att få den stora bilden. En del av detta innebär att dela upp och integrera kunskap, som vi har diskuterat. Men det finns några andra aspekter också.

en uppmuntrar eleverna att ha multipleperspectives. Till exempel borde Devara bekant med olika aspekter av tanken på en funktion – som en ekvation,som regel som en graf, som en tabell, som en inmatningsmaskin-och kunnaflytta fram och tillbaka lätt bland dessa representationer.

på samma sätt borde de kunna röra sig fram och tillbaka mellan algebra och geometri. Närdiskutera lösningen av samtidiga linjära ekvationer, bör de känna igenatt det är detsamma som att fråga var två linjer korsar. När du ger en kvadratisk funktion borde de kunna visualisera parabolen som den definierar – kanske inte alladetaljer, men de borde säkert vara medvetna om att det är definierar en parabel och vet om den öppnas upp eller ner. Inte bara ska de kunna visualisera en parabola, de bordefaktiskt göra det. Ekvationen och thegraph bör vara två vyer av samma objekt.

och när du hittar lösningarna på en kvadratisk ekvation, borde de kunna översätta det med möjlighet till grafen för den kvadratiska funktionen – så att om rötterna till en kvadratisk funktion är, för exempel, 3 +/- sqrt2, borde de kunna bilda sig om var grafen för funktionen korsar x-axeln.

på klassens första dag ger jag eleverna ett litet skrot avpapper – 1/8 av ett 8, 5×11 ark och be dem att hitta tangenten till vinkelnvars sinus är 3/5. Några av studenternarita en triangel; nästan alla av demfå sedan rätt svar. Några avstudenter ritar inte en triangel, ingen av dem får rätt svar.

eftersom jag inte ber dem att sätta sina namn på tidningarna, kan jag inte relatera lösningar på detta problem till deras betyg i kursen, men myguess är att det skulle finnas en hög grad av korrelation. Studenter som kan visualisera algebra, som kanflytta lätt från algebra till geometri och tillbaka, kommer sannolikt att bli framgångsrik icalculus.

i andra klassen rapporterar jag till eleverna resultaten av detta experiment och förstärker vikten av visualisering. Jag uppmuntrar dem att slå på theirvisualization switch så att de ritar en bild i sitt sinne av varje algebraiskt uttryck som finns i deras bok eller på tavlan.

jag påpekar att en bild kan innehålla mycketinformation. Till exempel, om de kan visualiseraoch tolka graferna för sinus–, cosinus-och tangentfunktionerna, behöver de bara komma ihåg tre fakta-den synden 30 = GHz, den solbränna 45 =1 och densin2x + cos2x =1 . Nästan allt annat de behöver veta om trigonometri kan härledas från dessa. I synnerhet gör de inte detbehöver memorera massor av fakta. Det är vad de måste göra om de inte förstår bilderna. Vissa tycker att det är svårt att tro, och kvarståi försöker komma ihåg massor av fakta om trigonometriska funktioner. Det är inte konstigt att de ibland känner detderas huvuden är fulla.

det finns ungefär ett dussin bilder som inkapslar mycket avförsta termin calculus-om du förstår och kan förklara vad som finns i dessa bilder, kommer du att göra mycket bra i calculus. De har svårt att tro också.

en annan fråga som jag kommer att nämna kortfattat är att studenternabehöver ha en bättre känsla av om ett svar som de genererar är rimligt. En förutsättning för detta är naturligtvis att de faktiskt frågar sig om deras svar är rimliga. Egentligen, om de frågarsjälva frågan, kommer de sannolikt att svara på lämpligt sätt. Så målet är att få dem att fråga detfråga – är det svaret rimligt?

slutligen måste eleverna ha känslan av matematik som språk. Matematik har ord ochsymboler och regler om deras användning. Vi ignorerar ofta matematikens grammatik och låter våra elever tala och skriva matematik felaktigt – en praxis som inte skulle tillåtas i en Spanskklass. Så de slutar inte använda sig avparenteser när de borde och gör alla slags misstag som ett resultat. De använder inte likhetstecknet för att separeralika uttryck i sina matematiska meningar, och som ett resultat kvantitetervandra ut ur ett uttryck och in i ett annat. Och de kan ofta inte översätta sina svar på problem frånmatematiskt språk till engelska. Denna fråga kräver mer uppmärksamhet från allaav oss.

och nu kommer vi till vad jag kallade personliga frågor. Jag kommer att göra fyra punkter. En är att många studenter kommer till firstsemesterkalkyl och tänker att de redan känner till kalkyl. Det kan vara sant – men det är bara sant förnågra av dem. Men det är ett farligt antagande, för dem som trordetta kommer inte att göra någonting under de första fyra veckorna av terminen … och sedanhitta att det är för sent att komma ikapp.

vänligen varna dina elever att även om de kan vara framgångsrika i din kurs, kommer de inte automatiskt att lyckas med samma titel på college. Även om båda kurserna täcker samma material, går högskolekursen till mer djup.

en andra punkt är att eleverna behöver veta att de kommermåste arbeta på college. Några av dem kommer att kunna klara sig utan för mycket arbete – i vilket fall de borde ha tagit en svårare kurs – men de flesta kommer att ha sin handfull med den kurs de tar – oavsett om det är kalkyl eller precalculus elleräven algebra-oavsett om de fick ett bra betyg i den kursen i gymnasiet eller inte.

jag har lärt mig att den bästa prediktorn för ett bra betyg inCalc 1 får ett bra betyg på den allra första tentamen. Titta på data i diagrammet. Det visar att 86% av de studenter som scored70 % på den första tentamen fick betyget C + eller bättre för kursen. Å andra sidan fick endast 17% av dem somgjorde mindre än 70% på den första tentamen ett betyg på C+ eller bättre förkursen. Konsekvent arbete lönar sig. De som börjar bra och arbetarkonsekvent gör det bra.

studenter i min kalkyl 1 klasser

Fall 1999, Fall 2000, Fall 2001, Fall 2002

# av studenter	70% eller mer på första tentamen	69 eller mindre på första tentamen	totalt
slutbetyg: C + eller högre	74	21	105
slutbetyg: C eller lägre	12	102	114
	86	123	219

86% ofthose som fick 70% eller bättre på det första testet fick en C+ eller bättre i kursen;17% av dem som fick 69% eller sämre på det första testet fick en C + eller bättre in thecourse

en annan sak jag gör på den första dagen i klassen är att be varje student att göra en realistisk bedömning av vilken klass han eller hon förväntar sig att få i kursen – med alla möjliga saker i beaktande – och lämna det på en annan liten papperslapp. Varje elev, utan undantag, förväntar sig att få en B eller bättre!

jag rapporterar detta till eleverna i andra klassen och visar dem sedan detta diagram. Jag säger till dem att de inte kan börja terminen och tänka att eftersom de känner till formlerna för några derivat känner de till kalkylen. Jag säger till dem att de måste börja terminen arbetar oncalculus. Kanske gör det en skillnad. Jag säger till dem att jag kommer att göra allt jag kan för att hjälpa var och en att få det Betyg som han eller hon hoppas få – men i slutändan är det upp till dem.

det är den tredje punkten Jag vill göra – eleverna måste lära sig att ta ansvar för sin egen utbildning. På gymnasiet ser du dem varje dag och kan övertala dem att ta sina studier på allvar. Det är toppen. Men när de kommer till college, de är på egen hand, och om de haven ’ tyet lärt sig att ta ansvar för sin utbildning, de kommer att ha en toughtime.

jag är inte säker på hur man får dem att ta ansvar, mendet finns ett blygsamt experiment som du kan försöka. Berätta för dem att du inte kommer att samla uppdrag för de kommande tvåveckorna. Ge dem sedan en tentamen påmaterial. Vissa av dem kommer inte att göra uppdragen och kommer att göra dåligt påexamen. Kanske deras prestanda på thatexam kommer att förmedla till dem att du inte samla läxor bör inte havebeen tolkas som att de inte behöver göra det.

en annan aspekt av att ta ansvar för sin utbildningär att be om hjälp och utnyttja de möjligheter som är tillgängliga för dem. Färre än 20% av mystudents någonsin kommer att se mig, även om jag regelbundet uppmuntra dem att doso. Färre än 20% av mina elever skickar e-post till mig med sina frågor, även om jag säger till dem att de sannolikt kommer att få svar inom några timmar. Även om en tredjedel av mina elever kommer att sluta med en D eller F, få av dem kommer att söka de olika typerna av hjälp som är tillgängliga för dem.

de flesta elever har ännu inte lärt sig att det är ok för dem att söka hjälp – de har inte lärt sig att om de har svårigheter i kursen bör de söka hjälp så snart som möjligt. De behöver veta att väntan inte är brastrategi. Kanske din berättar att tothem kommer att göra en skillnad.

det leder mig till slutet av mina kommentarer. Jag har pratat lite om innehållsfrågorna, processfrågorna och de personliga frågorna som stör elevernas framgång i precalculus och calculus kurser, och jag har gett dig några förslag på hur du kan hjälpa till att förbereda eleverna för att övervinna hindren för deras framgång.

Tack så mycket för din uppmärksamhet, och vi kommer nu att haen diskussion om dessa frågor.