Vetenskaplig Notation och signifikanta siffror
i föregående exempel borde du ha märkt att svaret presenteras i det som kallas vetenskaplig notation.
vetenskaplig notation…
…är ett sätt att uttrycka mycket små eller mycket stora tal
…används oftast i ”vetenskapliga” beräkningar där analysen måste vara mycket exakt
…består av två delar: ett tal och en effekt på 10. Ex: 1,22 x 103
för att ett tal ska vara i korrekt vetenskaplig notation kan endast en siffra vara till vänster om decimalen. Så,
\ begin{align}1.22 & \ gånger 10^3 \text{ är korrekt} \ \ 12.2 & \gånger 10^2 \text{ är inte} \ end{align}
Hur konverterar man icke-exponentiella tal till exponentiella tal:
exempel 1
$$ 234,999 $$
detta är ett stort antal och den underförstådda decimalpunkten är i slutet av numret.
$$ 234,999. $$
för att konvertera detta till ett exponentiellt tal måste vi flytta decimaltalet till vänster tills endast en siffra finns framför decimalpunkten. I detta nummer flyttar vi decimalpunkten 5 gånger.
$$ 2.34999 \ text {(fem siffror)} $$
…och sålunda exponenten vi placerar på kraften av 10 är 5. Det resulterande exponentiella talet är då:
$$2.34999 \tider 10^5 $$
andra exempel:
\ begin{align}21 & \till 2,1 \ gånger 10^1 \\16600.01 & \till 1.660001 \ gånger 10^4 \\455 & \till 4,55 \ gånger 10^2\end{align}
små tal kan konverteras till exponentiell notation på ungefär samma sätt. Du flyttar helt enkelt decimaltalet till höger tills endast en siffra som inte är noll är framför decimalpunkten. Exponenten motsvarar sedan antalet siffror du var tvungen att passera längs vägen.
exempel 2
$$ 0.000556 $$
den första icke-nollsiffran är 5 så numret blir 5,56 och vi var tvungna att skicka decimalpunkten med 4 siffror för att få den till den punkt där det bara fanns en icke-nollsiffra på framsidan av numret så exponenten blir -4. Det resulterande exponentiella talet är då:
$$ 5.56 \tider 10^{-4} $$
andra exempel
\ begin{align}0.0104 & \till 1.04 \ gånger 10^{-2} \\0.0000099800 & \till 9.9800 \ gånger 10^{-6} \\0.1234 & \till 1.234 \ gånger 10^{-1} \ end{align}
så för att sammanfatta, flyttar decimalpunkten till vänster ger en positiv exponent. Att flytta decimalpunkten till höger ger en negativ exponent.
en annan anledning till att vi ofta använder vetenskaplig notation är att tillgodose behovet av att behålla lämpligt antal signifikanta siffror i våra beräkningar.
signifikanta siffror
det finns tre regler för att bestämma hur många signifikanta siffror som finns i ett nummer:
- icke-noll siffror är alltid signifikanta.
- alla nollor mellan två signifikanta siffror är signifikanta.
- en slutlig noll eller efterföljande nollor i decimaldelen är endast signifikanta.
exempel
- 2003 har 4 signifikanta siffror
- 00.00300 har 3 signifikanta siffror
- 00067000 har 2 signifikanta siffror
- 00067000.0 har 6 signifikanta siffror
exakta siffror
exakta siffror, såsom antalet personer i ett rum, har ett oändligt antal signifikanta siffror. Exakta siffror räknar upp hur många av något är närvarande, de är inte mätningar gjorda med instrument. Ett annat exempel på detta är definierade siffror, såsom
$$ 1 \text{ foot} = 12 \ text{ inches} $$
det finns exakt 12 inches i en fot. Därför, om ett tal är exakt, påverkar det inte noggrannheten i en beräkning eller expressionen av uttrycket. Några fler exempel:
- det finns 100 år på ett sekel.
- intressant är ljusets hastighet nu en definierad kvantitet. Per definition är värdet 299 792 458 meter per sekund.
för att presentera ett värde i rätt antal signifikanta siffror måste du ofta avrunda värdet till det antalet siffror. Nedan följer reglerna när du gör detta:
tillämpningen av betydande siffror regler när du slutför beräkningar är viktigt och det finns olika sätt att tillämpa reglerna baserat på vilken typ av beräkning som utförs.
signifikanta siffror och Addition eller subtraktion
dessutom och subtraktion antalet signifikanta siffror som kan rapporteras baseras på antalet siffror i det minst exakta numret som anges. Specifikt betyder detta antalet siffror efter decimal bestämmer antalet siffror som kan uttryckas i svaret.
exempel
signifikanta siffror och multiplikation eller Division
i multiplikation och division bestäms antalet signifikanta siffror helt enkelt av värdet av lägsta siffror. Detta innebär att om du multiplicerat eller delat tre siffror: 2.1, 4.005 och 4.5654, värdet 2.1 som har minst antal siffror skulle mandat att svaret ges endast till två signifikanta siffror.