What I ’ve Learned from Many Years of Teaching Calculus to First year-year college Students

What I’ ve Learned from Many Years of Teaching Calculus to First year College Students

to First Year College Students

AMTNJ Conference

Keeping Math on Track: Bridging the Gap

Between High School and College Mathematics

14. tammikuuta 2005

Brookdale Community College

Tri Joseph G. Rosenstein (Rutgers-NewBrunswick)

miksi niin monet ensimmäisen vuoden opiskelijat ovat vaikeitakaskelus, kun he näyttävät olevan hyvin valmistautuneita?

viimeksi kun opetin ensimmäisen lukukauden matematiikkaa 41% luokan 61 oppilaasta päätyi C-tai huonompiin arvosanoihin.

tässä hieman lisää tietoa. 82% luokan oppilaista oli lukukauden tai enemmän calculus inigh school, ja 73% oli vuosi tai enemmän calculus lukiossa. (35% oli jopa vuoden AP Calculus.) Kaikesta päätellen, tämä on ryhmä, joka on hyvin valmistautunut college calculus.

huono uutinen on, että jos laitamme tiedot yhteen, voimme canconcude, että vähintään 23% minun opiskelijat olivat suorittaneet calculus kurssin highschool vielä ei ollut onnistunut tekemään paremmin kuin C, calculus tietenkin incoollege.

miksi on niin paljon opiskelijoita, jotka ovat käyneet oppikoulussa substantalmath-kursseja, mutta eivät onnistu matematiikassa?

tässä lyhyessä puheenvuorossa käsittelen kolmenlaisia kysymyksiä –sisältöä, prosessia ja henkilökohtaisia kysymyksiä – kaikki noin 15 minuutissa, minkä jälkeen avaan puheenvuoron keskustelua varten.

kohdassa ”sisältö” pääasia ei ole se,etteivätkö opiskelijat ymmärtäisi laskennan käsitteitä, vaan se, että heillä ei ole mahdollisuutta aritmetiikkaan ja algebraan.

eräs opiskelija totesi kerran, että tietty probleminvolved mitä hän kutsui ”intense algebra” – jolla hän tarkoitti, että hän oli todraw paljon hänen algebra tietoa suorittaa laskelmat asingle ongelma. Tämä tapahtuu esimerkiksi silloin, kun opiskelijoiden on löydettävä funktion f(x) =1/(x+3) derivaatta määritelmästä – toisin sanoen, kuten avoimuudessa, heidän on löydettävä eroavuusosamäärän raja, sillä h menee nollaan. Mieti vaiheet he tarvitsevat ottaaongelman ratkaisemiseen. Niiden on:

kirjoitettava oikea lauseke f(x+h): lle ottaen huomioon yhtälön f (x);

yhdistettävä kaksi osoittajan murtolukua yhtenäiseksi fraktioksi;

yhdistettävä summa ja termien erotus;

Muunna murtoluku, jossa on osoittajan murtoluku, sellaiseksi, joka ei;

etsi osoittajan ja nimittäjän yhteinen tekijä ja kumoa se oikein;

ota raja ja ilmaise tulos asianmukaisessa muodossa.

niiden on pystyttävä toteuttamaan jokainen toimenpide erikseen, ja ne tarvitsevat myös toimivan korkean tason seurantajärjestelmän, joka näkee johdannaisen löytämiseen liittyvän ”kokonaiskuvan” ja kertoo, mitä niiden on tehtävä kussakin vaiheessa.

silti monet heistä tekevät edelleen virheitä, jotka ovat pysyneet voimassa keskimmäisistä luokista lähtien – esimerkiksi peruuttavat sopimattomasti termejä koskevia rikkomuksia.

tämänkaltainen kysymys esitetään väli-ja loppukokeessa, ja vaikka he kaikki tietävät, että heidän odotetaan pystyvän tähän, monet heistä eivät pysty suoriutumaan tehtävästään asianmukaisesti.

kun puhumme NCTM-standardeista, toimimme usein ikään kuin prosessistandardit olisivat korvanneet sisältöstandardit, joiden ymmärtäminen on korvannut laitoksen. Asia ei ole niin. Haluamme keskittyä järkeilyyn ja ongelmanratkaisuun, mutta haluamme myös, että opiskelijoillamme on riittävä valmius matemaattisiin operaatioihin.

mikä laitos on ”sopiva”? Se riippuu oppilaasta. Ne, jotka aikovat päätyä ottaen severalsemesters, calculus college ehdottomasti ovat epäedullisessa asemassa, jos ne havedifficulty kanssa aritmeettinen ja algebra.

toisaalta ne, jotka eivät todennäköisesti jatka laskemista, eivät tarvitse intensiivistä algebraa. Mutta se, että joku oppilas on siinä kategoriassa, voi päätyä itseään täyttäväksi ennustukseksi.

A digression on algebran taitoja. Monet ihmiset ovat arvostelleet Rutgers ’ placement test sillä perusteella, että ei ole linjassa standardien kanssa, meidän uudistustoimia, koska se keskittyy taitoja. Minun on kuitenkin kerrottava teille, että se on hyvä mittari esi-ja laskutoimitusten onnistumisen todennäköisyydelle, ja se on ollut niin viimeisten 20 vuoden aikana siitä lähtien, kun otimme sen käyttöön. Se mittaa opiskelijoiden valmiuksia, joilla on vaadittavat taidot … koska valmiudet, joilla on prerequences, ovat välttämättömiä näiden kurssien onnistumiselle.

kerron teille henkilökohtaisen kokemukseni. Muutama vuosi sitten yksi tyttäristäni sai alle alarajan. Koska minulla on hieman vaikutusvaltaa, pystyin ilmoittautua hänen inprecculus, päättely, että jos hänellä oli vaikeuksia, hän oli pääsy Hyvä tutor. Se oli oikein … mutta se oli myös virhe – päädyin tekemään paljon tutorointia. Hän ei ollut valmis laskemaan.

siihen eksyminen päättyi.

nyt tarvitaan selvennystä. Kun sanomme, että laitos algebra on välttämätön menestys calculus, emme tarkoita vain oppimisen sääntöjä algebraic manipulointia. Facility inalgebra tarkoittaa myös ymmärtää matematiikan, että taustalla thoserules. Kun opiskelijat tekevät virheitä, ne ovat usein seurausta väärinymmärryksestä matematiikan, ja meidän kaikkien täytyy viettää enemmän aikaa paljastamalla virheellisiä ideoita, jotka johtivat näihin virheisiin, and helping opiskelijat korvata ne tarkempia mathematicalunderstandings. Tämä tarkoittaa sitä, että oppilaat keskustelevat virheistätunnilla ja oppilaiden kanssa yksittäin, eikä heitä vain merkitä oikein läksyissä ja kokeissa.

algebran laitos tarkoittaa myös sitä, että pystyy hyödyntämään omaa matemaattista kokemustaan selvittääkseen sopivan seuraavan askeleen ongelmassa – sitä, mitä olen edellä viitannut oman edistymisen seuraamiseen …tietäen, mitä tehdä seuraavaksi.

tästä päästään ”prosessikysymyksiin”.

meillä kaikilla on taipumus lokeroida oppimamme –osittain siksi, että kohtaamme uutta tietoa lineaarisesti ja joudumme tallentamaan sen jonnekin. Mutta on erittäin tärkeää, ettäoppiminen on yhteydessä. Kaikki, mitä voimme tehdä opettajina yhteyksien luomiseksi aiheiden välille ja oppilaiden keskittymiseksi kokonaiskuvaan, on erittäin tärkeää.

eri käsityksiä yhdistävien esimerkkien ja kotitehtäviin liittyvien ongelmien esittäminen on tärkeää, samoin kuin säännöllisten kumulatiivisten tutkimusten antaminen. Muuten opiskelijat oppivat, mitä he tarvitsevatkään tämän viikon tietokilpailu ja sitten unohtaa sen.

joissakin kouluissa oppilaiden menestys palkitaan vapauttamalla heidät väli-ja loppukokeista. Uskon, että tämä käytäntö on vakava virhe-opiskelijat eivät saa mahdollisuutta vetää yhteen eri paloja tietoa he ovat hankkineet. Se ei myöskään valmista heitä korkeakouluissa rutiininomaisiin kokeisiin. Näiden linjojen, raportti julkaistiin kolme viikkoa sitten totesi, että ottaen AP calculus lukiossa ei ollut ennustaja ofsuccess Collegessa, vaikka pisteytys hyvin AP tentti oli.

meidän on autettava oppilaitamme saamaan kokonaiskuva. Yksi osa tätä on tiedon vertaaminen ja integroiminen, kuten olemme keskustelleet. Mutta on myös muutamia muita näkökohtia.

yksi kannustaa oppilaita moniperspektiiveihin. Niiden tulisi esimerkiksi tuntea funktion idean eri osa – alueet-yhtälönä,pääsääntöisesti kuvaajana, taulukkona, Tulo – ja lähtökoneena-ja pystyä liikkumaan edestakaisin helposti näiden representaatioiden joukossa.

vastaavasti niiden pitäisi pystyä liikkumaan edestakaisin algebran ja geometrian välillä. Whendiscussing ratkaisu samanaikaisten lineaaristen yhtälöiden, niiden pitäisi tunnustaa, että se on sama kuin kysyä, missä kaksi riviä ristiin. Kun annat quadratic funktio theysh should be able to Visual the parabola that it defines-maybe not all of thedetails,mutta niiden pitäisi varmasti olla tietoisia siitä, että se on ei määritellä paraabeli, ja tietää, onko se avautuu ylös tai alas. Sen lisäksi, että he pystyvät kuvittelemaan paraabelin, heidän pitäisi itse tehdä se. Yhtälö ja thegraph pitäisi olla kaksi näkemystä saman objektin.

ja kun löydät ratkaisut, jotka quadratic yhtälö, niiden pitäisi pystyä kääntämään, että laitos, kuvaaja, thequadratic funktio – niin, että jos juuret, quadratic funktio ovat, forexample, 3 +/- sqrt2, niiden pitäisi pystyä kuva siitä, missä kuvaaja funktio ylittää x-akselin.

ensimmäisenä kurssipäivänä annan oppilaille pienen paperinpalan-1/8 8, 5×11-arkista ja pyydän heitä etsimään ongen tangentin, jonka Sini on 3/5. Jotkut opiskelijat piirtävät kolmion; lähes kaikki heistä saavat oikean vastauksen. Osa tutkijoista ei piirrä kolmiota, eikä yksikään heistä saa oikeaa vastausta.

koska en pyydä heitä laittamaan nimeään papereihin, en voi suhteuttaa ratkaisuja tähän ongelmaan heidän arvosanoihinsa kurssilla, mutta myguess on, että korrelaatio olisi korkea. Opiskelijat, jotka voivat visualisoida algebran, jotka voivat siirtyä helposti algebrasta geometriaan ja takaisin, ovat todennäköisesti menestyksekkäitä inculus.

toisella luokalla raportoin oppilaille tämän kokeen tuloksista ja vahvistan visualisoinnin merkitystä. Kannustan heitä käynnistämään visualisointikytkimensä niin, että he piirtävät mieleensä kuvan jokaisesta algebrallisesta ilmaisusta, joka on heidän kirjassaan tai taululla.

huomautan, että kuva voi sisältää paljon tietoa. Jos he esimerkiksi pystyvät visualisoimaan ja tulkitsemaan sini–, kosini-ja tangenttifunktioiden kuvaajia , heidän tarvitsee vain muistaa kolme tosiasiaa-että sin 30=½, että tan 45 =1 ja että sin2x + cos2x =1 . Lähes kaikki muu trigonometriasta on johdettavissa näistä. Etenkään heidän ei tarvitse opetella ulkoa paljon faktoja. Niin heidän on tehtävä, jos he eivät ymmärrä kuvia. Jotkut pitävät tätä vaikea uskoa, ja persistin yrittää muistaa paljon tosiasioita trigonometriset funktiot. Ei ole ihme, että he joskus tuntuu, että heidän päänsä ovat täynnä.

on kymmenkunta kuvaa, jotka kiteyttävät paljon ensimmäisen lukukauden matikkaa – jos ymmärrät ja osaat selittää, mitä näissä kuvioissa on, niin pärjäät hyvin laskennassa. Heidänkin on vaikea uskoa tätä.

toinen asia, jonka mainitsen lyhyesti, on se, että opiskelijoilla on oltava parempi käsitys siitä, onko heidän tuottamansa vastaus kohtuullinen. Tämän edellytyksenä on tietenkin se, että he todella kysyvät itseltään, ovatko heidän vastauksensa kohtuullisia. Itse asiassa, jos he kysyvät itseltään kysymyksen, he todennäköisesti vastaavat asianmukaisesti. Tavoitteena on siis saada heidät kysymäänkysymys-onko vastaus järkevä?

lopuksi oppilaalla pitää olla matematiikan asa-kielen taju. Matematiikassa on sanoja jasymboleja ja sääntöjä niiden käytöstä. Weoften sivuuttaa kielioppi matematiikan, ja anna oppilaidemme puhua andwrite matematiikkaa väärin-käytäntö, joka ei olisi sallittua Spanishclass. Niinpä he eivät lopulta käyttävävanhempia silloin, kun heidän pitäisi ja tekevät sen seurauksena kaikenlaisia virheitä. He eivät käytä yhtäläisyysmerkkiä erotellakseen yhtäläiset lausekkeet matemaattisissa lauseissaan, ja sen seurauksena kvantiteetit liukuvat yhdestä lausekkeesta toiseen. Lisäksi he eivät useinkaan pysty kääntämään vastauksiaan ongelmiin matemaattisesta kielestä englannin kielelle. Tämä kysymys vaatii meiltä enemmän huomiota.

ja nyt tullaan niin sanottuihin henkilökohtaisiin kysymyksiin. Esitän neljä huomautusta. Yksi on se, että monet opiskelijat tulevat firstsemester calculus ajatellen, että he tietävät calculus jo. Se voi olla totta – mutta se on totta vain joillekin heistä. Se on kuitenkin vaarallinen olettamus, sillä ne, jotka uskovat tähän, eivät tee mitään lukukauden ensimmäisiin neljään viikkoon … ja huomaavat sitten, että on liian myöhäistä ottaa kiinni.

varoittakaa oppilaitanne siitä, että vaikka he saattavatkin menestyä kurssillanne, he eivät automaattisesti menesty saman tittelin saaneessa kurssissa Collegessa. Vaikka molemmat kurssit kattavat saman aineiston, korkeakoulukurssi menee syvemmälle.

toinen seikka on, että opiskelijoiden on tiedettävä, että heidän on työskenneltävä korkeakoulussa. Jotkut heistä voivat saada ilman liikaa työtä – jolloin ne olisi pitänyt ottaa vaikeampaa tietenkin – mutta useimmat heistä on heidän handsfull kanssa tietenkin, että he ottavat – onko se calculus tai precalculus oreven algebra-onko he saivat hyvän arvosanan, että tietenkin highschool.

olen oppinut, että paras hyvän arvosanan ennustaja inCalc 1 saa hyvän arvosanan heti ensimmäisessä kokeessa. Katso kaavion tietoja. Se osoittaa, että 86% opiskelijoista, jotka pisteet 70% ensimmäinen tentti sai arvosanan C+ tai parempi kurssin. Toisaalta vain 17% niistä, jotka olivat alle 70% ensimmäisessä kokeessa, sai arvosanan C+ tai parempi kurssista. Johdonmukainen työ kannattaa. Ne, jotka aloittavat hyvin ja tekevät jatkuvasti töitä, pärjäävät hyvin.

Oman laskennan 1-luokkien opiskelijat

Syksy 1999, Syksy 2000, Syksy 2001, Syksy 2002

# opiskelijoiden	70% tai enemmän ensimmäisessä kokeessa	69 tai vähemmän ensimmäisessä kokeessa	yhteensä
Loppuluokka: C + tai suurempi	74	21	105
lopullinen arvosana: C tai alempi	12	102	114
	86	123	219

86% niistä, jotka saivat 70% tai paremmin ensimmäisessä kokeessa, saivat C + tai parempi kurssilla;17% niistä, jotka saivat 69% tai huonommin ensimmäisessä kokeessa, saivat C+: n tai paremman kurssin

toinen asia, jonka teen ensimmäisenä päivänä, on pyytää jokaista oppilasta tekemään realistinen arvio siitä, minkä arvosanan hän odottaa saavansa kurssilla – ottaen huomioon kaikenlaisia asioita – ja antaa tämän toiselle pienelle paperilapulle. Jokainen opiskelija, poikkeuksetta, odottaa saada B tai parempi!

ilmoitan tästä toisen luokan oppilaille ja näytän heille sitten tämän taulukon. Sanon heille, että he eivät voi aloittaa lukukautta ajatellen, että koska he tuntevat muutaman johdannaisen kaavat, he tietävät calculuksen. Sanon, että lukukausi pitää aloittaa. Ehkä sillä on merkitystä. Sanon heille, että teen kaikkeni auttaakseni jokaista saamaan sen arvosanan, jonka hän toivoo saavansa – mutta loppujen lopuksi se on heidän asiansa.

se on kolmas asia, jonka haluan tehdä – opiskelijoiden on opittava ottamaan vastuuta omasta koulutuksestaan. Lukiossa näkee heitä joka päivä ja voi houkutella heitä ottamaan opintonsa vakavasti. Hienoa. Mutta kun he pääsevät yliopistoon, he ovat omillaan, ja jos he eivät ole oppineet ottamaan vastuuta koulutuksestaan, heillä on vaikeaa.

en ole varma, miten saisin heidät ottamaan vastuuta, mutta siellä on vaatimaton kokeilu, jota voisi kokeilla. Kerro heille, ettet kerää tehtäviä seuraaville kahdelle viikolle. Sitten antaa heille tentti thematerial. Jotkut heistä eivät tee tehtäviä ja pärjäävät huonosti tutkimuksessa. Ehkä heidän suorituksensa tässä tutkimuksessa kertoo heille, että läksyjen keräämättä jättämistä ei olisi pitänyt tulkita siten, että heidän ei tarvitsisi tehdä sitä.

toinen koulutusvastuun ottamiseen liittyvä näkökohta on avun pyytäminen ja käytettävissä olevien mahdollisuuksien hyödyntäminen. Alle 20% mystudenteista tulee koskaan tapaamaan minua, vaikka säännöllisesti kannustan heitä dosoon. Alle 20 prosenttia oppilaistani lähettää minulle kysymyksiä, vaikka kerron heille, että he todennäköisesti saavat vastauksen muutamassa tunnissa. Vaikka kolmannes oppilaistani saa D: n tai F: n, vain harva heistä etsii tarjolla olevaa erilaista apua.

useimmat opiskelijat eivät ole vielä oppineet, että heille on ok pyytää apua – he eivät ole oppineet, että jos heillä on vaikeuksia kurssilla, heidän tulisi hakea apua mahdollisimman pian. Heidän on tiedettävä, että odottaminen ei ole hyvä strategia. Ehkä se, että kerrot sen heille, vaikuttaa asiaan.

siitä pääsenkin huomautusteni loppuun. Olen puhunut hieman sisältökysymyksistä, prosessikysymyksistä ja henkilökohtaisista asioista, jotka häiritsevät opiskelijoiden menestystä esikaskeleissa ja calculus-kursseilla, ja olen antanut teille muutaman ajatuksen siitä, miten voisitte auttaa opiskelijoita voittamaan menestyksensä esteet.

Paljon kiitoksia tarkkaavaisuudestanne, ja näistä asioista keskustellaan nyt.