Ce que j’ai Appris de Nombreuses Années d’Enseignement du Calcul aux Étudiants de Première année

Ce que j’ai Appris de Nombreuses Années d’Enseignement du Calcul

aux Étudiants de Première Année

Conférence de l’AMTNJ

Garder les mathématiques sur la bonne voie: Combler le fossé

Entre les mathématiques du Secondaire et du Collégial

14 janvier 2005

Brookdale Community College

Joseph L. Rosenstein (Rutgers – NewBrunswick)

Pourquoi tant d’étudiants de première année ont-ils des difficultés aveccalcul quand ils semblent bien préparés?

La dernière fois que j’ai enseigné le calcul du premier semestre, 41% des 61 étudiants de la classe se sont retrouvés avec des notes de C ou pire.

Voici quelques données supplémentaires. 82% des élèves de la classe avaient un semestre ou plus de calcul dansle lycée, et 73% avaient un an ou plus de calcul au lycée. (35% ont même eu une année de calcul AP.) Par tous les comptes, c’est un groupe qui estbien préparé pour le calcul collégial.

La mauvaise nouvelle est que si nous rassemblons les données, nous pouvons conclure qu’au moins 23% de mes élèves avaient suivi un cours de calcul au lycée mais n’avaient pas réussi à faire mieux que C dans un cours de calcul à l’école.

Pourquoi y a-t-il autant d’étudiants qui ont suivi des cours substantiels de mathématiques au lycée mais qui échouent en calcul?

Dans ce bref exposé, je vais discuter de trois types de questions – le contenu, le processus et les questions personnelles – le tout en environ 15 minutes, puis ouvrir la salle pour la discussion.

Sous « contenu », le problème principal n’est pas que les étudiants ne comprennent pas les concepts de calcul, c’est qu’ils n’ont pas de facilité avec l’arithmétique et l’algèbre.

Un étudiant a déjà observé qu’un problème particulier impliquait ce qu’il appelait « l’algèbre intense » – par quoi il voulait dire qu’il devait tirer parti d’une grande partie de ses connaissances en algèbre pour effectuer les calculs dans un problème unique. Cela se produit, par exemple, lorsque les étudiants doivent trouver la dérivée de la fonction f (x) = 1 / (x + 3) à partir de la définition – c’est-à-dire que, comme dans la transparence, ils doivent trouver la limite d’un quotient de différence, car h va à zéro. Réfléchissez aux mesures qu’ils doivent prendre pourrésoudre ce problème. Ils doivent:

écrire une expression correcte pour f(x + h) étant donné l’équation pour f(x);

combiner deux fractions du numérateur en une seule fraction;

combiner une somme et une différence de termes;

transforme une fraction qui a une fraction dans le numérateur en une fraction qui ne le fait pas;

trouve un facteur commun du numérateur et du dénominateur et l’annule correctement;

prend une limite et exprime le résultat dans la forme appropriée.

Non seulement ils doivent être capables d’effectuer chacun de ces étapes individuellement, mais ils ont également besoin d’un système de surveillance de haut niveau fonctionnel qui voit la « vue d’ensemble » qui est impliquée dans la recherche de la dérivée et qui leur indique ce qu’ils doivent faire à chaque étape.

Pourtant, beaucoup d’entre eux font encore des erreurs qui ont été persistantes depuis les classes moyennes – par exemple, annuler incorrectement les infractions aux termes.

Une question comme celle-ci est donnée à mi-parcours et à l’examen final, et bien qu’ils sachent tous que c’est ce qu’ils devraient pouvoir faire, beaucoup d’entre eux sont incapables de terminer la tâche correctement.

Lorsque nous parlons des normes NCTM, nous agissons souvent comme si les normes de processus avaient remplacé les normes de contenu, c’est-à-dire qu’elles avaient remplacé l’installation. Ce n’est pas le cas. Nous voulons nous concentrer sur le raisonnement et la résolution de problèmes, mais nous voulons aussi que nos étudiants aient la capacité appropriée avec les opérations mathématiques.

Quelle installation est  » appropriée « ? Cela dépend de l’élève. Ceux qui vont finir par prendre plusieurs étudiants en calcul au collège sont définitivement désavantagés s’ils ont des difficultés avec l’arithmétique et l’algèbre.

D’autre part, ceux qui ont peu de chances de continuer à calculer n’auront pas besoin d’algèbre intense. Mais le fait de supposer qu’un étudiant en particulier se trouve dans cette catégorie peut finir par être une prophétie auto-réalisatrice.

Une digression sur les compétences en algèbre. Beaucoup de gens ont critiqué le test de placement de Rutgers au motif qu’il n’est pas aligné sur les normes, avec nos efforts de réforme, car il se concentre sur les compétences. Mais je dois vous dire que c’est une bonne mesure de la probabilité de succès du précalcul et du calcul, et cela a été le cas au cours des 20 dernières années depuis que nous l’avons introduit. Il mesure la facilité des étudiants avec les compétences préalables because car la facilité avec les prérequis est essentielle à la réussite de ces cours.

Je partagerai avec vous mon expérience personnelle. Il y a quelques années, une de mes filles a marquéjuste en dessous du seuil de précalcul. Comme j’ai un peu d’influence, j’ai pu l’inscrire dansprécalcul, en raisonnant que si elle avait des difficultés, elle avait accès à un bon tuteur. C’était correct … mais c’était aussi une erreur – j’ai fini par faire beaucoup de tutorat. Elle n’était pas prête pour le calcul.

C’est la fin de la digression.

Maintenant, une clarification est nécessaire. Lorsque nous disons que la facilité en algèbre est essentielle au succès en calcul, nous ne voulons pas seulement apprendre des règles pour les manipulations algébriques. Facility inalgebra signifie également comprendre les mathématiques qui sous-tendent cesrègles. Lorsque les étudiants font des erreurs, elles résultent souvent d’une mauvaise compréhension des mathématiques, et nous devons tous consacrer plus de temps à découvrir les idées erronées qui ont conduit à ces erreurs, et aider les étudiants à les remplacer par des sous-normes mathématiques plus précises. Cela signifie discuter des erreurs en classe et avec les élèves individuellement, et pas seulement les noter incorrectement sur leurs devoirs et leurs tests.

La facilité en algèbre signifie également pouvoir s’appuyer sur sa propre expérience mathématique pour déterminer une prochaine étape appropriée dans un problème – c’est ce que j’ai appelé ci-dessus le suivi de ses progrèsknowing savoir quoi faire ensuite.

Cela nous amène à des « problèmes de processus ».

Nous avons tous tendance à compartimenter ce que nous apprenons – en partie parce que nous rencontrons de nouvelles informations linéairement et que nous devons les stocker quelque part. Mais il est très important quel’apprentissage soit connecté. Tout ce que nous pouvons faire en tant qu’enseignants pour établir des liens entre les sujets, pour concentrer les élèves sur la vue d’ensemble, est très important.

Donner des exemples et des problèmes de devoirs qui lient différents concepts est important, tout comme donner des examens cumulatifs réguliers. Sinon, les élèves apprennent ce dont ils ont besoinconnaître pour le quiz de cette semaine, puis l’oublier.

Dans certaines écoles, la réussite des élèves est récompensée en les exemptant des examens de mi-parcours et finaux. Je crois que cette pratique est une grave erreur – les étudiants n’ont pas la chance de rassembler les différentes connaissances qu’ils ont acquises. De plus, cela ne les prépare pas aux examens cumulatifs qui sont de routine au collège. Dans ce sens, un rapport publié il y a trois semaines a noté que le calcul de l’AP au lycée n’était pas un prédicteur du succès au collège, bien que l’examen de l’AP l’ait été.

Nous devons aider nos étudiants à avoir une vue d’ensemble. Une partie de cela implique la dissociation et l’intégration des connaissances, comme nous en avons discuté. Mais il y a aussi quelques autres aspects.

On encourage les étudiants à suivre plusieurs cours. Par exemple, ils devraient se familiariser avec différents aspects de l’idée d’une fonction – en tant qu’équation, en règle générale, en tant que graphique, en tant que tableau, en tant que machine d’entrée-sortie – et pouvoir se déplacer facilement entre ces représentations.

De même, ils devraient pouvoir se déplacer d’avant en arrière entre l’algèbre et la géométrie. Lorsqu’ils discutent de la solution d’équations linéaires simultanées, ils doivent reconnaître que c’est la même chose que de demander où deux lignes se croisent. Lorsque vous donnez une fonction quadratique, ils devraient être capables de visualiser la parabole qu’elle définit – peut-être pas tous les détails, mais ils devraient certainement être conscients qu’elle définit une parabole et savoir si elle s’ouvre vers le haut ou vers le bas. Non seulement ils devraient être capables de visualiser une parabole, mais ils devraientfaites-le concrètement. L’équation et le graphique doivent être deux vues du même objet.

Et lorsque vous trouvez les solutions d’une équation quadratique, elles devraient pouvoir traduire cela avec facilité au graphe de la fonction quadratique – de sorte que si les racines d’une fonction quadratique sont, par exemple, 3 +/-sqrt2, elles devraient pouvoir imaginer où le graphe de la fonction croise l’axe des abscisses.

Le premier jour de classe, je donne aux élèves un petit bout de papier – 1/8 d’une feuille de 8,5×11 et leur demande de trouver la tangente de l’angledont le sinus est 3/5. Certains des étudiants dessinent un triangle; presque tous obtiennent ensuite la bonne réponse. Certains des étudiants ne dessinent pas de triangle; aucun d’entre eux n’obtient la bonne réponse.

Comme je ne leur demande pas de mettre leur nom sur les papiers, je ne peux pas relier les solutions à ce problème à leurs notes au cours, mais je pense qu’il y aurait un degré élevé de corrélation. Les étudiants qui peuvent visualiser l’algèbre, qui peuvent facilement passer de l’algèbre à la géométrie et inversement, sont susceptibles de réussir dans le calcul.

En deuxième classe, je rends compte aux élèves des résultats de cette expérience et renforce l’importance de la visualisation. Je les encourage à activer leur commutateur de visualisation afin qu’ils dessinent une image dans leur esprit de chaque expression algébrique qui se trouve dans leur livre ou sur le tableau.

Je souligne qu’une image peut contenir beaucoup d’informations. Par exemple, s’ils peuvent visualiser et interpréter les graphes des fonctions sinus, cosinus et tangente, ils doivent seulement se souvenir de trois faits – que sin 30 = ½, que tan 45 = 1 et quesin2x + cos2x = 1. À peu près tout ce qu’ils doivent savoir sur la trigonométrie peut être dérivéde ceux-ci. En particulier, ils n’ont pas besoin de mémoriser beaucoup de faits. C’est ce qu’ils devront faire s’ils ne comprennent pas les images. Certains trouvent cela difficile à croire et persistent à essayer de se souvenir de nombreux faits sur les fonctions trigonométriques. Il n’est pas étonnant qu’ils sentent parfois queleurs têtes sont pleines.

Il y a environ une douzaine d’images qui encapsulent beaucoup de calculs du premier semestre – si vous comprenez et pouvez expliquer ce qu’il y a dans ces images, alors vous ferez très bien en calcul. Ils trouvent cela difficile à croire aussi.

Un autre problème que je mentionnerai brièvement est que les étudiants doivent avoir une meilleure idée si une réponse qu’ils génèrent est raisonnable. Une condition préalable à cela, bien sûr, est qu’ils se demandent réellement si leurs réponses sont raisonnables. En fait, s’ils se posent la question, ils sont susceptibles de répondre de manière appropriée. Le but est donc de les amener à poser cette questionquestion – cette réponse est-elle raisonnable?

Enfin, les élèves doivent avoir le sens des mathématiques comme un langage. Les mathématiques ont des mots etdes symboles et des règles sur leur utilisation. Nous ignorons souvent la grammaire des mathématiques et permettons à nos élèves de parler et d’écrire incorrectement les mathématiques – une pratique qui ne serait pas autorisée dans une classe espagnole. Donc, ils finissent par ne pas utiliserparenthèses quand ils le devraient et font toutes sortes d’erreurs en conséquence. Ils n’utilisent pas le signe égal pour séparer les expressions égales dans leurs phrases mathématiques et, par conséquent, les quantités se déplacent d’une expression à une autre. Et ils sont souvent incapables de traduire leurs réponses aux problèmes de la langue mathématique vers la langue anglaise. Cette question nécessite plus d’attention de la part de tousnous.

Et maintenant nous arrivons à ce que j’ai appelé des problèmes personnels. Je vais faire quatre remarques. La première est que de nombreux étudiants viennent en premierle calcul du moniteur pensant qu’ils connaissent déjà le calcul. C’est peut–être vrai – mais ce n’est vrai que pour certains d’entre eux. Cependant, c’est une hypothèse dangereuse, pour ceux qui croient que cela ne fera rien pendant les quatre premières semaines du semestre … et qu’il est alors trop tard pour rattraper son retard.

Veuillez avertir vos étudiants que même s’ils peuvent réussir dans votre cours, ils ne réussiront pas automatiquement dans un cours avec le même titre au collège. Bien que les deux cours couvrent le même matériel, le cours collégial va plus en profondeur.

Un deuxième point est que les étudiants doivent savoir qu’ils devront travailler au collège. Certains d’entre eux pourront s’en sortir sans trop de travail – auquel cas ils auraient dû suivre un cours plus difficile – mais la plupart d’entre eux auront les mains libres avec le cours qu’ils suivent – que ce soit le calcul ou le précalcul ou même l’algèbre – qu’ils aient ou non obtenu une bonne note dans ce cours au lycée.

J’ai appris que le meilleur prédicteur d’une bonne note danscalc 1 est d’obtenir une bonne note au tout premier examen. Regardez les données dans le graphique. Il montre que 86% des étudiants qui ont obtenu 70% au premier examen ont obtenu une note de C + ou mieux pour le cours. D’autre part, seulement 17% de ceux qui ont suivi moins de 70% au premier examen ont obtenu une note de C + ou mieux pour le cours. Un travail constant est payant. Ceux qui commencent bien et travaillent bien font constamment bien.

Étudiants dans mes classes de Calcul 1

Automne 1999, Automne 2000, Automne 2001, Automne 2002

# des étudiants	70% ou plus au premier examen	69 ou moins au premier examen	Total
Note Finale: C+ ou supérieur	74	21	105
Note finale: C ou moins	12	102	114
	86	123	219

86% ceux qui ont obtenu 70% ou mieux au premier test ont obtenu un C + ou mieux au cours;17% de ceux qui ont obtenu 69% ou pire au premier test ont obtenu un C + ou mieux au cours

Une autre chose que je fais le premier jour de classe est de demander à chaque étudiant de faire une évaluation réaliste de la note qu’il s’attend à obtenir au cours – en tenant compte de toutes sortes de choses – et de remettre cela sur un autre petit bout de papier. Chaque étudiant, sans exception, s’attend à obtenir un B ou mieux!

Je signale cela aux élèves de la deuxième classe et leur montre ensuite ce tableau. Je leur dis qu’ils ne peuvent pas commencer le semestre en pensant que parce qu’ils connaissent les formules pour quelques dérivées, ils connaissent le calcul. Je leur dis qu’ils doivent commencer le semestre en travaillant sur le calcul. Peut-être que cela fait adifference. Je leur dis que je ferai tout ce que je peux pour aider chacun à obtenir la note qu’il espère obtenir – mais à la fin, c’est à eux de décider.

C’est le troisième point que je veux faire – les étudiants doivent apprendre à assumer la responsabilité de leur propre éducation. Au lycée, vous les voyez tous les jours et vous pouvez les cajoler en prenant leurs études au sérieux. C’est génial. Mais quand ils arrivent à l’université, ils sont seuls, et s’ils n’ont pas appris à assumer la responsabilité de leur éducation, ils auront un temps difficile.

Je ne sais pas comment les amener à prendre leurs responsabilités, maisil y a une expérience modeste que vous pourriez essayer. Dites-leur que vous ne collecterez pas de devoirs pour les deux prochaines missions. Ensuite, donnez-leur un examen sur le matériel. Certains d’entre eux ne feront pas les tâches et feront mal sur l’examen. Peut-être que leur performance sur thatexam leur fera comprendre que votre non-collecte des devoirs ne devrait pas avoir été interprétée comme n’ayant pas besoin de le faire.

Un autre aspect de la responsabilité de son éducation est de demander de l’aide et de profiter des opportunités qui leur sont offertes. Moins de 20% des mystérieuses viennent me voir, même si je les encourage régulièrement à faire du doso. Moins de 20% de mes étudiants m’envoient leurs questions, même si je leur dis qu’ils obtiendront probablement une réponse dans quelques heures. Bien qu’un tiers de mes élèves se retrouveront avec un D ou un F, peu d’entre eux chercheront les différents types d’aide à leur disposition.

La plupart des étudiants n’ont pas encore appris que c’est bon pour eux de demander de l’aide – ils n’ont pas appris que s’ils ont des difficultés dans un cours, ils devraient demander de l’aide dès que possible. Ils doivent savoir que l’attente n’est pas une bonnestratégie. Peut-être que votre dire qu’ils feront une différence.

Cela m’amène à la fin de mes remarques. J’ai parlé un peu des problèmes de contenu, des problèmes de processus et des problèmes personnels qui interfèrent avec le succès des étudiants dans les cours de précalcul et de calcul, et je vous ai donné quelques suggestions sur la façon dont vous pourriez aider à préparer les étudiants à surmonter les obstacles à leur réussite.

Je vous remercie beaucoup de votre attention, et nous allons maintenant discuter de ces questions.